Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 [162] 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233

идален, например если он является ступенчатой функцией, часто бывает трудно предсказать форму выходного сигнала, даже когда известны амплитудная и фазовая характеристики системы. Однако реакция системы на любое сложное входное воздействие может быть точно установлена, если уравнения записаны в интегро-ифференциальной форме. При таком анализе прежде всего необходимо составить уравнение, связывающее входную функцию «вх (г) с мгновенным значением тока нагрузки или - при отсутствии нагрузки - с мгновенным значением тока в одном из элементов системы, шунтирующих выходные клеммы. Вторым у равнением будет у равнение, связывающее вы ход «вых(0 с током i, входящим в первое уравнение. Исключение тока из системы уравнений дает искомое уравнение связи входа uBX(t) с выходом ивых(0- Для усилителя, изображенного на рис. 18-5, связь между входным напряжением и мгновенным значением тока I через индуктивность L выражена уравнением (18-12), а связь между током i и напряжением «вых(0 - уравнением (18-13).

«выхОО =

r 1 Ri

L df

(18-12)

(18-13)

Выражение для мгновенного значения тока i, полученное из уравнения (18-12), может быть подставлено в уравнение (18-13) для определения «вых(0-

Очевидно, что передаточная функция в об-

ласти времени как функция

образована

быть не может. Поэтому термин «передаточная функция» в этом случае обычно не употребляется

Область комплексного переменного. Чтобы проще и быстрее найти решение для выхода систем при несииусоидаль-ном входном сигнале, уравнения обычно составляются как функции комплексного переменного s*. Для этого в исходном уравнении d/dt следует заменить на s, a Jdc** - на 1/s. В результате такой замены временная зависимость исключается и, следовательно, вместо и и i в уравнении должны стоять U и /. Уравнение как функция комплексного переменного математически представляется в виде

L [/(<)] = KG (s)

и читается: «преобразование Лапласа функции f(t) равно KG{s)y>. Если функция входного сиг-

Отпошен ие

записанное в символичес-

ком виде путем замены в исходном иитегродифферен-циальноч уравнении операции дифференцирования

символом D т. е. = и операции интегрирова-

ния символом (т е. J / dt = ) , является одной из

форм записи передаточной функции Другие формы могут быть получены заменой D на ;ш или s. * См. § 23 6в.

** Эти подстановки могут быть сделаны только в том случае, если начальные условия равны нулю, как указывалось в § 18-3.

нала и передаточная функция системы даны в зависимости от комплексного переменного, выходной сигнал в функции комплексного переменного может быть получен из уравнения (18-14) простым алгебраическим путем.

вых (s) U*x (s) "

--KG(s),

(18-14)

где к - постоянный множитель передаточной функции системы; G(s) - переменная часть передаточной функции системы;

UBX{s) = Цнвж(01;

ubmx(s) = Ц"вых(0]-

Чтобы проиллюстрировать применение преобразования Лапласа, т. е. переход от времени к комплексной переменной, предположим, что ко входу системы, изображенной на рис. 18-5, приложен сигнал в виде ступенчатой функции величиной 2 в. Из п. 2 табл. 23-4 видно, что преобразование Лапласа такой функции будет 2/s. Передаточная функция системы получается, как отношение преобразований Лапласа уравнений (18-12) и (18-13):

вых (S).

Um (s)

(18-15)

где К-

/г, + R \r Ri

Если (7BX(s) принять равным 2/s, то l7bux(s) будет равно

вых(8) = -2А--~. (18-16)

Решение для tVBbIX(s) получено как функция комплексного переменного. Теперь необходимо получить выходное напряжение как функцию времени. Это осуществляется с помощью обратного преобразования L которое записывается в виде

i-tBUx(s)]

l(0-

(18-17)


-0.37ft,

«3

Рис. 18-6. Переходная реакция усилителя, изображенного на рис. 18-5, на ступенчатую функцию величиной 2 в

Из п. 3 табл. 23-4 видно, что обратное преобразование уравнения (18-16) есть

L~x [вых (S)] = "вых (t) = - Ж Т , (18-18)

что и изображено на рис. 18-6.



18-36. Передаточная функция системы для усилителя с обратной связью. Передаточная функция системы, изображенной на рис. 18-7, имеет вид

£/вь,х (s) KG(s)

Сигнал обратной связь

(18-19)


Рис. 18-7. Блок-схема усилителя с обратной связью. I - суммирующее устройство, 2 - усилитель; 3 - цепь обратной связи.

18-4. МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ И ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМЕ

В § 18-4а - 18-4д рассматривается несколько методов анализа устойчивости системы. Большинство их дает также возможность наиболее просто определить переходные характеристики.

18-4а. Анализ устойчивости и переходного процесса с помощью дифференциальных уравнений. Если входная функция ивх и передаточная функция системы заданы во временнбй области t, они имеют интегродихфференциальную форму (см.§ 18-За). Следовательно, определение выхода системы "вых(0 зависит от решения такого рода уравнений. Анализ устойчивости может быть проведен путем вычисления различных выходных функций для соответствующих входных воздействий. Когда система с обратной связью используется в качестве усилителя, а не интегратора или осциллятора, считают, что она неустойчива, если реакции на ступенчатую входную функцию представляют собой установившиеся или возрастающие колебания или какие-либо другие возрастающие функции.

По причинам, изложенным в § 18-За, анализа устойчивости и переходного процесса с использованием дифференциальных уравнений обычно не производится. Вместо этого применяется один из методов, изложенных в § 18-46 - 18-4д.

18-46. Анализ устойчивости и переходного процесса с использованием преобразования Лапласа. Основным преимуществом использования преобразования Лапласа для анализа систем, имеющих несинусоидальные входные сигналы, является относительная простота математических операций по сравнению с решением ин-тегродифференциальных уравнений. Многие пары преобразований Лапласа имеются в таблицах, что еще более упрощает решение (см. табл. 23-4). Математические операции получения прямого и обратного преобразований Лапласа приводятся в § 23-6в.

Выходная функция, определяемая с помощью прямого и обратного преобразований Лапласа, является функцией времени и имеет тот же вид, что и при решении уравнений. Сле-

довательно, анализ устойчивости и переходного процесса системы аналогичен изложенному в § 18-4а.

Удовлетворительные результаты обычно дает и упрощенный анализ, состоящий в рассмотрении самой передаточной функции системы. Он позволяет установить, будет ли система устойчивой, и в большинстве случаев дает возможность с достаточной точностью определить реакцию системы на ступенчатое входное воздействие. Остальные пункты этого параграфа посвящены такому анализу.

+JOJ

--4 -3 2 I

-4 -3 -2 -!

О -1

- 3 %

- - 4

3 * -I-t-+a

-3+jff

-2+jl,5

-ju>

Рис. 18-8. Плоскость комплексного переменного (плоскость s).

Комплексные плоскости. При анализе систем с обратной связью используются две различные комплексные плоскости, и важно уяснить себе разницу между ними. Комплексное переменное s = а + /ш изображается на комплексной плоскости, которая называется плоскостью комплексного переменного или плоскостью s. Для примера на рис. 18-8 изображена комплексная плоскость с нанесенными на нее

ш=2 Годограф


Рис. 18-9. Комплексная плоскость для изображения функций /о). В качестве примера изображен годограф функции КО (;ш), равной ;2т/<1 +

тремя значениями s. Другой комплексной плоскостью, с которой сталкиваются более часто, является плоскость для изображения функций аргумента /о> Для примера на рис. 18-9 приведена такая плоскость с изображением годографа передаточной функции, заданной как



функция ju>. Поскольку комплексное переменное s равно a -f- ju>, очевидно, существует частный случай, когда s = /<л. Комплексное изображение Л"0(/м) является, таким образом, частным случаем KG(s) для всех значений s, лежащих иа оси /<о плоскости комплексного переменного, или плоскости S.

Нули и полюсы. Если передаточная функция записана как функция комплексного переменного s, нулями этой функции будут значения комплексного переменного, которые обращают ее в нуль. Отсюда следует, что корни числителя передаточной функции и будут ее нулями. Уравнение

вых (s) UBX(s)

I 4

4s

(18-20)

имеет единственный нуль при s = -

Полюса ми передаточной функции являются значения комплексного переменного s, обращающие эту функцию в бесконечность.

Для примера предположим, что передаточная функция системы задана выражением (18-20). Значения s, которые обращают это уравнение в бесконечность, обращают в нуль его знаменатель, т. е. являются корнями выражения

s9 + 4s + 3,

а именно: s = -1 и s = -3. Значит, и полюсами уравнения (18-20) будут s = -1 и s = -3.

Нули обычно изображаются на плоскости «точками, а полюсы - крестиками.

Анализ устойчивости и переходных характеристик, основанный на распределении полюсов передаточной функции системы в плоскости s. Устойчивость системы может быть легко установлена с помощью табл. 23-7 после определения полюсов передаточной функции. Из табл. 23-7 видно, что усилитель будет устойчивым, если все полюсы передаточной функции системы расположены в левой половине плоскости s. Эти полюсы могут лежать на вещественной полуоси или иметь комплексное значение, как показано на рис. 18-8.

Переходные реакции системы для различных входных функций также могут быть установлены при условии, что известны полюсы ее передаточной функции. Как указывалось выше, усилитель будет устойчивым только в том случае, если все полюсы передаточной функции лежат в левой полуплоскости. Однако для определения переходной реакции системы нужно знать точное расположение этих полюсов. Например, если входной сигнал системы является ступенчатой функцией, наличие полюсов на отрицательной вещественной полуоси показывает, что реакция системы представляет собой затухающую экспоненту (см. кривые сильного и критического демпфирования, показанные иа рис. 18-4) Пара комплексных сопряженных корней в левой полуплоскости даст колебательную компоненту с экспоненциально уменьшающейся амплитудой (см. кривую слабого демпфирования, приведенную на том же рисунке).

Частота затухающих колебаний определяется мнимой частью комплексных сопряженных корней, т. е. их смещением по вертикали от вещественной оси плоскости s. Для полюсов, расположенных на отрицательной вещественной полуоси, а также для комплексных сопряженных полюсов постоянные времени экспонент затухания - обратные величины горизонтального смещения полюсов относительно мнимой оси на плоскости s. Если реакция системы на ступенчатую входную функцию имеет колебательно затухающие экспоненты, говорят, что такая система имеет малое затухание или является слабо демпфированной системой и, следовательно, ее передаточная функция будет иметь по крайней мере одну пару комплексных сопряженных полюсов в левой полуплоскости. Увеличивая затухание в системе, можно добиться того, что комплексные сопряженные корни попадут на отрицательную часть вещественной оси плоскости s и, следовательно, не будут комплексными. В этом случае реакция системы не имеет колебательно затухающих компонент. Если все полюсы передаточной функции системы попадают на отрицательную часть вещественной оси, система является сильно или критически демпфированной. Система, которая в результате изменения нагрузки может стать как сильно, так и слабо демпфированной, становится критически демпфированной, если нагрузка увеличена только до такой степени, что комплексные сопряженные полюсы исчезают и вместо них на отрицательной части вещественной оси плоскости s появляются двукратные полюсы.


С~ mix (at -I-i

Рис. 18-10. Простая система второго порядка.

Чтобы проиллюстрировать несколько терминов, используемых для описания характеристик систем, рассмотрим цепь, приведенную на рис. 18-10.

Передаточная функция цепи1 задана в виде

UBX(s) LC s2 + Rs/L+l/LC *

(18-21)

Цепь относится к системам второго порядка, поскольку ее передаточная функция имеет два полюса. Уравнение (18-21) часто записывается в форме

вь.х(?) ,.,s -1- (18.22)

UBX (s)

вых (s) Um (s)

2as

(18-23)

1 При таком анализе неважно, имеет ли эта система обратную связь или является простой цепью, поскольку реакция определяется полной передаточной функцией системы. По этой причине для иллюстрации влияния полюсов передаточной функции на переходную реакцию может быть использована передаточная функция простой цепи.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 [162] 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233



0.0108