Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 [163] 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233

где con=l/]/iC - частота собственных колебаний при слабом демпфировании, т. е. угловая частота,с которой будут происходить колебания в системе, когда R = 0; а - R/2L - коэффициент затухания; С = R YCIL/2 - коэффициент относительного затухания или коэффициент демпфирования. Полюсы Sj и s3 получаются, как корни знаменателя, т. е.

Si= -а + / т/ю* -- ай = - а 4- jw0; S2== - a- j -j/io2 - as - - a-ju>0,

где <o0 = уч>1 -

резонансная частота затухающих колебаний, т.е. частота колебаний переходной реакции, рад/ сек.

Годограф комплексных сопряженных полюсов Si и s2 (при » <С 1) для любых значений R* представляет собой полуокружность в плоскости s (рис. 18-11). Поскольку при комплексных

<«„=-= чье

scgc1

4\ j

--- -t-a

з sa i

Коэффициент демпфирования C~cos Ф-.-

-J&

Рис. 18-11. Траектория полюсов передаточной функции для цепи, приведенной на рис. 18-10, при изменении Н

и постоянных L и С 1 - слабое демпфирование; геометрическое место полюсов - полуокружность радиусом IjVLC, 2 - критическое демпфирование, при R - 2 "\/~в данной точке

комплексные сопряженные полюсы превращаются в двукратный полюс; 3 - сильное демпфирование, полюсы смещаются вдоль отрицательной части вещественной оси в положительном направлении, 4 - увеличение Я.

сопряженных полюсах система будет слабо демпфированной, сопряженные полюсы на рис. 18-11 имеют-индекс и (su и st). Подобным образом при критическом демпфировании полюсы обозначены через sr и s*, а при сильном демпфировании - через so и So. Критическое демпфирование получается, когда С = 1, а сильное, когда С > 1.

Если выходной сигнал цепи (см. рис. 18-10) является ступенчатой функцией и полюсы передаточной функции находятся на полуокружности, реакция на выходе определяется кривой,

изображенной на рис. 18-12, где м0 - круговая частота затухающих колебаний, а а - коэффициент затухания. Семейство безразмерных кривых выходной реакции контура (рис. 18-10) на ступенчатое входное воздействие приведено на рис. 18-13


Рис. 18-12. Обобщенная характеристика переходной реакции слабо демпфированной цепи (рис. 18-10) на ступенчатую входную функцию.

arctg -"


* При I/LC = const. (Прим. переводч.)

з to

Рис. 18-13. Безразмерные кривые. Переходная реакция контура (рис. 18-10) в относительных единицах на ступенчатую входную функцию при различных коэффициентах демпфирования.

Коэффициент относительного затухания меньше единицы обычно применяется в следящих системах для снижения времени нарастания выходной реакции. И хотя перерегулирова-



ние, связанное со снижением времени нарастания, обычно нежелательно, величина перерегулирования порядка 10-15% для большинства систем допустима.

Системы второго порядка, имеющие комплексные сопряженные полюсы типа изображенных на рис. 18-11, необязательно дают одинаковые реакции на одну и ту же входную функцию. В качестве примера рассмотрим цепь,


Слабое затухание

Критическое затухание

-1-„

Рис. 18-14. Схема для иллюстрации влияния коэффициента демпфирования на характер реакции усилителя при ступенчатой входной функции.

приведенную на рис. 18-14, передаточная функция которой имеет вид

вых (s) gm s

(18-24)

Um(s) С s!Ts/CT 1,LC

где «n=UVLC; «,„= ]/ - ,

- 2R V С

Годограф полюсов передаточной функций системы для различных R представляет собой полуокружность, так же как и для полюсов цепи, изображенной на рис. 18-10. Следовательно, соотношения между положениями полюсов в плоскости s и соответствующими характеристиками затухания системы, т. е. слабое демпфирование, критическое демпфирование и т. п., одни и те же как для цепи на рис. 18-10, так и для цепи на рис. 18-14. Однако эти цепи будут давать различные реакции на ступенчатую входную функцию, так как передаточная функция цепи, показанной на рис. 18-14, имеет нуль при s = 0. Следовательно, только передаточная функция цепи на рис. 18-10 содержит постоян-нуюсоставляющую. Критическое демпфирование для каждой из цепей получается, когда С = 1 и частоты <о0 и шл соответственно равны частотам затухающих и незатухающих колебаний.

Если передаточная функция системы содержит несколько полюсов, то большую амплитуду обычно имеют компоненты преобразования Лапласа, соответствующие полюсам, расположенным ближе к оси /и> на плоскости s. Исключение составляют передаточные функции, у которых несколько полюсов расположено относительно близко друг к другу, а один или два полюса в какой-то мере удалены от первой группы. Амплитуды компонент, соответствующих уда-леннымполюсам, могут быть в этом случае меньше амплитуд, определяемых полюсами главной

группы, даже если отдельно расположенные полюсы находятся много ближе к оси /м.

18-4в. Исследование устойчивости, основанное на критерии Найквиста. Система с обратной связью будет неустойчивой, если ее передаточная функция имеет какие-либо полюсы (или нули знаменателя) в правой полуплоскости s. Для усилителя с обратной связью (см. рис. 18-7) передаточная функция системы имеет вид

K3G3(s)--

KG(s)

1 -KG(s)KiG1(s)

(18-25)

вых (s)= UBX (s) ~

где K3G3(s) - передаточная функция системы с обратной связью; KG(s) - передаточная функция системы без обратной связи; KiGi(s) - передаточная функция обратной связи.

Итак, система будет устойчивой, если выражение 1 - KG(s)KiGi(s) не имеет нулей в правой полуплоскости s. Однако знаменатель часто имеет сложную форму, в связи с чем не удается проанализировать расположение его нулей. В этих случаях бывает полезен критерий Найквиста.

Общий случай. Найквист показал, что с помощью графического изображения произведения KG(s)KiGi(s) при 1 звестном числе его полюсов в правой полуплоскости s можно установить число нулей выражения 1 - KG(s) KiG,(s) в той же полуплоскости.

Первым этапом такого анализа является подстановка /<о вместо s в выражение KG(s) KiGi(s), в результате чего получается функция KG(ju>)KiGiiJui). Затем произведение KGQa) х XKiGiija) изображается в виде годографа на комплексной плоскости (при изменении и> от -со через 0 до + оо). Далее, определяют, ско 1Ы<о раз голограф охватывает (опоясывает против часовой стрелки) точку -1 + /0, т. е. находят число р. Число нулей выражения 1 - KG(s) K1Gl(s) в правой полуплоскости может быть тогда определено из уравнения

т= п - р, (18-26)

где т - число пулей 1 - KG(s)KiG,(s в правой полуплоскости s; п - число полюсов i(G(s)/(iG,(s) в правой

полуплоскости S; р - число, показывающее, сколько раз годограф опоясывает против часовой стрелки точку -1 + /0 на комплексной плоскости при изменении со от -со через 0 до + со. Система с обратной связью будет неустойчива, если 1 - KG(s)KiGl(s) имеет какие-либо нули в правой полуплоскости s.

Для иллюстрации анализа устойчивости возьмем передаточную функцию системы с обратной связью в гиде

10/(8+1)

K3G3(s)-

г -10 г

L(s+l)(s + 5)J

(18-27)

L(s+l)(s + 5).

где ATG(s)=10/(s + l); K1G1(s) = - l/(s+5).

Произведение KG(s)KiGl(s), следовательно, равно - 10/(sa + 6s + 5), a KG{MKiGi{j) рав-



но -10/(5 - <й2 + /6<о). Показаннь-й на рис. 18-15 годограф - /fG(/u>)KiG,(/u>) (для всех значений <л от -со до -\-со) не охватывает критическую точку -1 -- /0 на комплексной плоскости. Значит, р - 0. Число полюсов л выражения KG(s)KiGj(sb правой полуплоскости s также равно н>лю, поскольку корни знаменателя KG(s)KiG1(s) равны -1 и -5, Из уравнения (18-26) можно определить число нулей 1 - KG(s)KiG,(s) в правой полуплоскости:

п - р - 0

0 = 0.

Единичная окружность


<и=+0 K6(jaj)K,e,Uw)

т =0 р=0

Рис. 18-15. Годограф передаточной функции си стемы, заданной выражением (18-27).

лучается при каком-либо другом значении <и, то подобную полуокружность следует строить вокруг этой особой точки.

Упрощенный случай. Если разомкнутый контур у системы устойчив, т. е. выражение KG(s)KlG,(s) не имеет полюсов в

B(jw)H,B,bw)

/ >-

Единичная \

i / \ х

/анружногть

\ \ / 9зал

\ 4 -

/77= 0 /

л=0 /

Р = (> /

Рис. 18-16. Годограф для разомкнутого контура, полученный из выражения (18-23).

правой полуплоскости s, то замкнутая система устойчива, когда годограф - KG(j4>)KiG,(/u>) не опоясывает точку -1 + /0.

18-4г. Анализ устойчивости и переходного режима с помощью амплитудных и фазовых характеристик разомкнутого и замкнутого контуров. Запас устойчивости системы с обратной связью

Таким образом, система устойчива, поскольку 1 - KG(s)KiG,(s) не имеет нулей в правой полуплоскости s. Это равносильно утверждению, что передаточная функция (18-27) не имеет полюсов в правой полуплоскости.

В качестве второго примера рассмотрим систему, в которой передаточная функция разомкнутого контура имеет вид

KG(s)KiG,(s) = - 7 000 х

(s+ l)(s + l,5) s"(s+ 0,l)(s+ 20)(s + 30)

(18-28)

Годограф - KG (j)KiGiQ<a), изображенный на рис. 18-16, не опоясывает точку-1 + /0. Поскольку пир равны нулю, т также равно нулю; следовательно, система устойчива.

Как видно из рис. 18-16, годограф не будет непрерывной кривой, если не соединить точки, соответствующие ш = -- 0 и со = - 0. Для дополнения годографа необходимо подставить в основное уравнение [т. е. в уравнение (18-28)] бесконечно малое значение s, в результате чего коитур обхода обогнет начало координат по полуокружности, обращенной в сторону правой полуплоскости (рис. 18-17)*. Если разрыв по-

* При построении годографа <о изменяется от -со до +оо; следовательно, s ~ /со скользит по мнимой оси плоскости s. Если передаточная функция имеет полюс в начале координат ] например, передаточная функция (18-28)], то этот полюс обходится по дуге бесконечно малого радиуса: при этом ветви годографа дополняются дугами бесконечно большого радиуса.Дуга, дополняющая годограф, равна гк, где г - кратность полюса в начале координат. Для передаточной функции (18-28) кратность равна 2. (Прим. переводч.)


ПОЛуОНруЖНОСть

вокруг точки

W-IJ

Плоскость 3

Рис. 18-17. Контур обхода, применяемый для дополнения годографа передаточной функции, имеющего разрывы при со - 0 и (а = со.

и ее переходная реакция могут быть определены простым способом путем анализа амплитудной и фазовой характеристик разомкнутой системы и амплитудной характеристики замкнутой системы.

Амплитудные и фазовые характеристики разомкнутого контура. В усилителе с отрицательной обратной связью изменение знака сигнала (перемена фазы на противоположную для образования отрицательной обратной связи) является результатом прохождения .выходного сигнала через нечетное число каскадов усиления. Хотя такая инверсия непрерывной синусоидальной волны может рассматриваться как синусоида, сдвинутая по фазе на ±180°, выходной сдвиг



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 [163] 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233



0.0099