Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 [164] 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233

фаз усилителя обычно не включает фазового угла, связанного с переменой знака фазы. Следовательно, в усилителе с отрицательной обратной связью сдвиг фаз в цепи обратной связи в среднем диапазоне равен нулю, хотя инверсия сигнала, необходимая для образования отрицательной обратной связи, и будет эквивалентна сдвигу фаз ±180°.

Если разомкнутая система с обратной связью устойчива, можно установить определенные критерии, связывающие характеристики разомкнутого контура с устойчивостью замкнутого контура. Например, замкнутый контур будет устойчивым, если сдвиг фаз, возникающий в разомкнутом контуре, меньше + 180° для частоты, при которой коэффициент усиления разомкнутого контура равен единице. Таким образом, амплитудная и фазовая характеристики устойчивого разомкнутого контура позволяют установить, будет ли устойчива замкнутая система. Если же замкнутый контур окажется неустойчивым, можно определить характеристики корректирующей цепи, которая должна быть включена последовательно с разомкнутым контуром для придания устойчивости замкнутому контуру. Если основной контур KG(s) и контур обратной связи KiGi(s) системы (рис. 18-18) содержат

«Ш Ц-

-♦-

Н6($)

h,b,(s)

Рис. 18-18. Блок-схема системы с обратной связью. Контур обратной связи разомкнут.

только минимально фазовые цепи а разомкнутый контур устойчив, передаточная функция разомкнутой системы KG(s)KiGi(s) не будет иметь нулей и полюсов в правой полуплоскости s. Поскольку существует известное соотношение между амплитудной и фазовой характеристиками системы2, передаточная функция которой не имеет ни нулей, ни полюсов в правой половине плоскости s, можно вычислить фазовую характеристику такой системы при условии, что известна ее амплитудная характеристика. Если распределение нулей устойчивого разомкнутого контура неизвестно, то для исследования устойчивости необходимо строить и амплитудную и фазовую характеристики. Выражения (18-27) и (18-28) являются примерами уравнений систем, имеющих устойчивые разомкнутые контуры и использующих только минимально фазовые цепи.

Степень устойчивости системы с отрицательной обратной связью характеризуется з а-пасом по усилению и запасом по фазе. Запас по усилению обычно определяется как абсолютное значение усиления в децибелах при частоте или частотах, для которых сдвиг фаз в разомкнутом контуре становится равным 180°. Запас по фазе есть раз-

ность между 180° и абсолютным значениемсдви-га фаз в градусах при частоте, для которой коэффициент усиления разомкнутого контура равен единице. На рис. 18-1Ь запасы по усилению равны разности между усилением в точке X и усилением в точке -1, а также между усилением в точке -1 и усилением в точке Y. Запас по фазе характеризуется углом tp3an. Хорошая устойчивость в системах с обратной связью получается, когда запас по усилению составляет примерно 10 дб и более, а запас по фазе 40° или более. На рис. 18-19 приведены амплитудная и фазовая характеристики разомкнутого контура усилителя с отрицательной обратной связью. Запасы по усилению в этой системе на низких и высоких частотах равны соответственно 19,5 и 14 дб, а оба запаса по фазе - 36°.


г3 S £6 -

+ 30°

91 +so°

Рис. 18-19. Амплитудная и фазовая характеристики разомкнутого контура усилителя с отрицательной обратной связью. 1 я2 - запасы по усилению,,? и 4 - запасы по фазе.

Если амплитудная или фазовая характеристика разомкнутого контура не удовлетворяет условиям устойчивости замкнутого контура, необходимо увеличить1 или уменьшить коэффициент усиления разомкнутого контура или ввести в этот контур корректирующую цепь и тем самым добиться устойчивости замкнутой системы.

Большинство корректирующих цепей являются минимально фазовыми, с однозначной связью между амплитудными и фазовыми характеристиками. Следовательно, определение амплитудных и фазовых характеристик системы с коррекцией не вызывает затруднений. Амплитудные и фазовые характеристики нескольких минимально фазовых цепей приведены в табл. 1-4.

Амплитудно-частотная характеристика замкнутого контура. На рис. 18-20 показано семейство кривых зависимости амплитуды от частоты для простого контура. Эти кривые показывают, как

1 Минимально фазовые цепи не имеют ни нулей, ни полюсов в правой полуплоскости s (см. § 18-5а). См. § 18-56.

1 В большинстве случаев система может быть стабилизирована путем снижения коэффициента усиления разомкнутого контура, однако устойчивость может достигаться и при увеличении коэффициента усиления относительно критического значения. Примером может служить система, годограф которой показан на рис. 18"- lb.



коэффициент демпфирования С влияет на амплитуду выходного сигнала. Частота максимального пика амплитуды примерно равна резонансной частоте <о0, а его величина характеризует степень колебательности выходного сигнала, представляющего собой реакцию на ступенчатую функцию, изображенную на рис. 18-13.


W/Ulr,

Рис. 18-20. Амплитудно-частотные характеристики контура R, L, С.

Хотя кривые, приведенные на рис. 18-20, относятся к системе второго порядка, коэффициент демпфирования С системы высшего порядка может быть аппроксимирован путем сравнения ее амплитудной характеристики с кривыми, изображенными на данном рисунке.

18-48. Метод траекторий корней для графического определения полюсов передаточной функции замкнутой системы. Выражение (18-25) является передаточной функцией усилителя с отрицательной обратной связью, изображенного на рис. 18-7. Метод траекторий корней удобен для графического определения нулей выражения 1 - KG(s)KiG1(s), т. е. полюсов передаточной функции (18-25) на плоскости s, а следовательно, и для определения устойчивости системы1. Поскольку нули выражения 1 - - KG(s)KiGi(s) являются полюсами передаточной функции (18-25), коэффициент демпфирования С может быть найден путем установления местоположения полюсов на плоскости s и определения косинуса угла ф, как показано на рис. 18-11. Метод траекторий корней имеет особое значение в связи с тем, что изображение на плоскости s траекторий корней знаменателя передаточной функции системы ясно определяет все возможные значения ее полюсов, когда меняется независимое от частоты произведение KKi.

Для иллюстрации анализа по методу траекторий корней предположим, что знаменатель передаточной функции (18-25) имеет вид

. s+ 1/20

1 - KG(s)KiG1(s) = 1

s + 1/6

s+ 1/3 • (18-29)

Отсюда следует, что нулями выражения 1 - KG(s)KiGi(s) являются значения s, которые удовлетворяют уравнению

s(s + 1/20) J 1

100 •

= 7-= "Ton- <I8-30)

(s + l6)(s+ 1/3) KKi

Первый этап состоит в определении местоположения полюсов и нулей левой части уравнения (18-30) на плоскости s. Нулями являются: s = 0 + /0 и s - - 0,05 + /0, а полюсами s = - 0,17 + /0 и s = -• 0,33 + /0. Они изображены на рис. 18-21.

Для 5=S0


1 Наличие полюсов передаточной функции системы в правой полуплоскости s показывает, что система неустойчива.

-ofi/ -о,з е=-о,зз +jo

S=-0,/7+j0

Рис. 18-21. Траектории полюсов передаточной функции системы (иллюстрация к методу траекторий корней). Для определения величины l/КК нужно провести векторы от нулей и полюсов к соответствующей точке на траектории.

Второй этап состоит в определении и нанесении на чертеж всех возможных значений s, при подстановке которых в уравнение (18-30) его левая часть будет иметь тот же знак, что и правая. В данном случае левая часть уравнения (18-30) должна быть отрицательной, что соответствует фазовому углу ±180°. Чтобы продемонстрировать, как определяются эти значения s, предположим, что s = - 0,02 + /0. Если на рис. 18-21 провести векторы от двух нулей и двух полюсов до принятого значения s, то фазовый угол, связанный с левой частью уравнения (18-30), окажется равным 180°. Это объясняется тем, что фазовый угол каждого вектора отсчитывается от горизонтальной линии, идущей вправо от каждого нуля или полюса. Фазовый угол всего выражения получается путем сложения фазовых углов векторов, проведенных от нулей к данной точке s, и вычитания суммы всех фазовых углов векторов, проведенных от полюсов к той же точке s. В этом при мере сумма фазовых углов векторов, проведенных от двух нулей к точке -0,02 + /0, равна 0 + 180, или 180°. Сумма фазовых углов векторов, проведенных от полюсов к точке -0,02 + /0, равна 0+0, или 0°. Сумма фазовых углов векторов, проведенных от нулей, минус сумма фазовых углов векторов, проведенных от полюсов, равна 180-0, или 180°.

Геометрическое место (траектория) всех значений s, при которых левая часть уравнения (18-30) отрицательна (т. е. фазовый угол равен



±180°), показано на рис. 18-21. Рассмотрение всей плоскости s показывает, что не существует никаких других точек или траекторий, которые удовлетворяли бы условию суммарный фазовый угол должен быть равен 180°. Таким образом, значения s, при которых левая часть уравнения (18-30) равна его правой части, должны лежать где-то на найденной траектории, поскольку правая часть выражения имеет знак минус. Если знаки К и Ki различны, т. е. правая часть уравнения (18-30) положительна, то необходимо определить геометрическое место точек (траекторию), для которой выражение левой части имело бы фазовый угол, равный 0°.

Так как изображенная на рис. 18-21 траектория определяет все значения s, при которых левая часть уравнения (18-30) будет отрицательной, заключительным этапом является графическое определение частных значений s, которые соответствуют действительной величине \IKKi данной системы. Для этого выбирают значения s на найденной траектории и затем проверяют, удовлетворяют ли они уравнению (18-30). Последнее графически проверяется следующим образом: на плоскости s проводятся векторы от каждого из двух нулей и двух полюсов KG(s) KiGi (s) до принятой величины s на траектории, и произведение длин векторов нулей делится на произведение длин векторов полюсов. Если результат равен величине VKKi, принятое значение s является одним из полюсов передаточной функции системы1. Число подлежащих определениюполюсов передаточной функции всегда равно числу полюсов KG (s) KiGi (s); следовательно, различные значения s на траектории подбираются до тех пор, пока не будет определено должное число полюсов передаточной функции системы. Поскольку функция KG(s)KiG,(s) в уравнении (18-29) имеет два полюса, число соответствующих полюсов передаточной функции замкнутой системы также равно 2. А так как l/KKi равно 0,01, значения полюсов передаточной функции замкнутой системы а и а, которые удовлетворяют этому условию, будут равны - 0,0422 /0 и-0,0117 + + 0.

Основываясь на рис. 18-21, отметим, что когда коэффициент усиления системы уменьшается, т. е. когда значение l/KKi увеличивается, полюсы передвигаются от точек а и а навстречу друг другу вдоль отрицательной вещественной полуоси и для одного особого значения \JKKi •они сливаются, образуя двукратный полюс в точке/). Если продолжать увеличивать 1/ККи полюсы передаточной функции системы станут комплексными сопряженными (точки с и с), затем появится полюс второго порядка в точке <i, который далее снова разделится на два полюса (точки е и е на отрицательной вещественной полуоси). Положение полюсов передаточной функции системы для различных значений коэффициента усиления KKi показывает, что система является сильно демпфированной для малых и больших значений KKi и слабо демпфированной для средних значений KKi-

1 Результат, полученный отделения произведения длин векторов нулей на произведение длин векторов полюсов, численно равен левой части уравнения (18-30) для принятого значения s.

С помощью описанной процедуры можно установить значения KKi для всех 5,располо-женных на траектории. Таким образом, переходная функция и характеристика устойчивости системы совершенно точно определяются как функции произведения коэффициентов усиления К и К\- Если, например, траектория полюсов какой-либо передаточной функции будет выходить в правую полуплоскость s, система будет неустойчивой для тех значений ККЛ, при которых траектория полюсов будет лежать в правой полуплоскости. Распределение полюсов в левой полуплоскости будет влиять на переходную реакцию, как указывалось в 5? 18-46.

Метод траекторий корней часто используется для отыскания решения уравнений высших степеней. В качестве примера рассмотрим уравнение

As + Bs3 + 6V + Ds + E = 0. (18-31)

Чтобы решить уравнение (18-31) методом траекторий корней, необходимо сначала разбить его на следующие уравнения:

s4 + sb+ Cs2+ D s+ E=Q; (]g32)

s(s2+ls+ д) - Г» (18"34)

*(+-*)=-5- (]8-35>

Первым этапом является определение значений s, которые удовлетворяли бы уравнению (18-35). Прежде всего на плоскость s наносятся нули левой части уравнения (18-35), равные

0 4-/0 и---4-0. Затем вычерчивается тра-

екторня, представляющая собой все возможные значения s, при которых левая часть уравнения

(18-35) имеет тот же знак, что и--г. После это-

го на траектории определяются значения S, при которых произведение длин векторов, проведенных от нулей до принятых значений s, будет равно С/А. Рассмотрение траектории показывает, что имеются два значения s, которые удовлетворяют этому условию.

Вторым этапом является нахождение значений S, которые удовлетворяют уравнению (18-34). Нули левой части уравнения (18-34) наносятся на чертеж в новой плоскости s и оказываются равными 0 -- /0 и двум корням уравнения (18-35), определенным выше. Затем, так же как и на первом этапе, на плоскости строятся траектории, представляющие собой все возможные значения s, при которых левая часть уравнения (18-34) будет иметь тот же знак,

что и---. Подбором определяют все значения s

на траекториях, при которых произведение длин векторов нулей равно величине D/A. Рассмотрение траекторий показывает, что уравнение (18-34) имеет три корня.

Третий этап состоит в отыскании значений s, которые удовлетворяют уравнению (18-33).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 [164] 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233



0.0021