Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 [170] 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233

косинусные потенциометры. Угол (J является (19-28). Система на рис. 19-10, ж будет пре-угловым смещением между координатными образовывать прямоугольные координаты в системами. Выходы синусного и косинусного полярные согласно уравнению (19-29). Если




°Usin9

°Ucos9

----1 cos/з j------j sine I------j cusp I-----j~ SLnp

t?- «77

scn8

г 1 1 1 I

cosS


R-xcosQ+ysLn

ХследйщаА,

\ система

e, в,


Следящая система

Рис. 19 10. Преобразование координат и образование тригонометрических зависимостей, й - поворот координат, б - прямоугольные и полярные координаты, в - вращающийся трансформатор, г - синусио-косинусныи потенциометр, д - преобразование координат; е - полярные в прямоугольные, ж - прямоугольные в полярные, з - инвертирование синуса и косинуса, и - инвертирование тангенса.

преобразователей суммируются согласно уравнению (19-27) для получения значений координат х и у. Подобным образом система на рис. 19-10, е преобразует полярные координаты в прямоугольные в соответствии с уравнением

входные напряжения статорных обмоток будут составлять х и у, выходное напряжение на одной из роторных обмоток будет {у cos 9 - - х sin 9), т. е. будет соответствовать R. Выход, ное напряжение второй роторной обмотки будет



(у cos 6 - л: sin 8) и будет равно нулю, когда 8 =

= arc tg . Выходное напряжение этой обмотки

поступает на усилитель следящей системы, которая поворачивает ротор вращающегося трансформатора до тех пор, пока не будет достигнуто равенство нулю указанной зависимости .

Подобным образом с помощью схемы, показанной на рис. 19-10, з, можно вырабатывать арксинусные и арккосинусные зависимости. Ротор питается напряжением щ. Выходное напряжение (их cos 9) со статора вращающегося трансформатора сравнивается с напряжением и2, и разность подается в усилитель следящей системы. Двигатель в следящей системе поворачивает ротор вращающегося трансформатора до тех пор, пока не установится угол 9, определяемый как arc cos (u«lu{).

Арктангенсная зависимость получается с помощью схемы, показанной иа рис. 19-10, и. В этом случае обе статорные обмотки питаются сдвинутыми по фазе напряжениями «i и и2. Ротор перемещается двигателем до тех пор, пока напряжение на роторе, равное (uacos9 - - «!siri9), не станет равно нулю. Угол 9 при этом будет равен 9 = arctg usjut. Арктангенс получается также на схеме, изображенной на рис. 19-10, ж.

19-Зв. Решение уравнений 1. Множество физических задач может быть описано математическими уравнениями в стандартной или легкопреобразуемой к ней форме. Поэтому важным фактором в подборе аналогового устройства для физической задачи является способность прибора решать математические зависимости, представленные в стандартной форме. Это требует использования элементов для выполнения математических операций, описанных в предыдущих параграфах, и иллюстрируется в последующих параграфах.

Система линейных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами. Система уравнений, не содержащих члены с производными или интегралами, обычно представляется в следующей форме:

OiAi + а2х2 + biXt + b2x2 +

Kil + п2х2 +

+ anxn + a0 --+ bnxn + b0 --

= 0; = 0;

(19-30)

+ "«*„ +я0 = 0. ,

Обычный порядок решения такой системы уравнений состоит в следующем:

1. Разрешить уравнения относительно Xi, х2, ... хп. При этом система уравнений (19-30) преобразуется к виду

1 Для дополнительной информации и изучения порядка решения для рассматриваемых в этой главе уравнений в их основной форме и для дополнительных форм уравнений, таких, как нелинейные дифференциальные уравнения и уравнения с переменными коэффициентами, читатель отсылается к К о г n and К. о г п, op. cit.. Project cyclone symposium I on REAC techniques, March 15-16, 1951 and Project cyclone symposium II on REAC techniques, April 28 - May 2, 1952 sponso red by the U. S. Navy.

*2 + <*3 +

+ r-x,+ ... +

I b n , s. + u2**+*2

\ n ti 1

2. Определить суммирующие усилители и комбинации входных величин для решения этих уравнений для каждого неизвестного.

3. Соединить усилители в соответствии с уравнением. Соответствующие коэффициенты определяются величинами сопротивлений входной цепи и цепи обратной связи суммирующих усилителей.

4. Прибавить постоянные члены а0аи Ь0/Ь2 и т. д. в каждом суммирующем усилителе в виде соответствующих напряжений постоянного тока.

Этот порядок иллюстрируется следующим примером.

Пример 19-2

Определить аналоговую схему, требуемую для решения следующей системы уравнений:

2x1 + 2x3-8 = 0; i *1 + 4д-а + 8 = 0. /

Решение

1. Разрешить уравнение относительно

и Ха.

Из"

Xl =

первого уравнения

из второго уравнения х2 =--

2. Соединить суммирующие усилители для

х2 + 4;

получения Xi и ха согласно уравнениям, показано на рис. 19-11.

-*о-

/=-4

Рис. 19-11. Схема к примеру 19-2.

3. Добавить постоянные члены. Это также показано на рис. 19-11.

Напряжения постоянного тока могут быть в этом случае одной величины. При этом соотношение сопротивлений суммирующих усилителей для формирования надлежащей суммы можно подобрать. На схеме показано, что соотношение сопротивлений везде одинаково.



Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициента ми. Такие уравнения представляются обычно в следующей форме:

dnx dn~lx dn--x

М*+<11 li + вз ~dt + - +

+ в„лг + в„ = 0 (19-31)

или в операторной форме (см. § 23-6):

snx -\- eiSM* -(- a»sra"~3x -(- ...-(-

4- апх + а„==0, (19-32)

где s представляет d/di.

Теоретически уравнения такого вида могут быть инструментованы последовательными дифференцированием и суммированием. Практически, однако, дифференцирование выполняется неявно с помощью интегрирования во избежание шумов усилителя и других проблем, неизбежных в дифференцирующих системах.

Для решения таких уравнений, как (19-32), с помощью последовательного интегрирования рекомендуется следующий порядок

1. Выделить из уравнения член Лроизвод-ной наивысшей степени. Это выльется в форму

snx = -(ais"-1* -f- a<,sn~*x -j- ... +

+ anx + a0). (19-33)

2. Взять n интеграторов для последовательного интегрирования snx, переходя к производным более низких порядков sn~ix, sn~2x и т. д., пока не будет достигнут член х.

3. Использовать суммирующий усилитель для комбинирования выходов последовательных интеграторов, чтобы сформировать суммы уравнения (19-33). Если это нужно, следует воспользоваться инвертирующими усилителями для изменения знака суммируемых членов. Следует помнить, что результат каждого интегрирования умножен на 1/RC, где RC - постоянная времени электронного интегратора, использованного для интегрирования. Следует помнить также, что каждое интегрирование меняет знак величины. Вообще инвертирующих усилителей требуется не менее половины числа интеграторов.

4. Выход суммирующего усилителя с соответствующим знаком подается (по цепи обратной связи) на вход первого интегратора. Таким образом, получается входное напряжение, требуемое для последовательного интегрирования.

5. Решение снимаемся с выхода последнего интегратора. Обычно существует более чем одна структурная схема, удовлетворительно решающая данное уравнение.

Этот порядок иллюстрируется на следующем примере.

Пример 19-3

Разработать структуру аналогового устройства для решения следующего линейного дифференциального уравнения:

d%x dx . . п

Начальные условия следующие: dx

х - с при t = Q и - =0 при £ = 0. 17*

Решение

1. Преобразуем уравнение к операторной форме и разрешим его относительно члена с производной высшего порядка:

sax = - (asx -f- bx).

2. Определим число интеграторов, соответствующее порядку уравнения, и соединим их так, чтобы выработать дифференциальный член второго порядка. Интеграторы и их соединения показаны на рис. 19-12. Начальные условия для dxjdt введены в суммирующий интегратор, вырабатывающий dxjdt, а начальные условия для х - в интегратор, вырабатывающий х. Решение уравнения получается


Рис 19-12. Схема к примеру 19 3.

в точке, где появляются производные нулевого порядка, т. е. член, пропорциональный х.

Система линейных дифференциальных уравнений с постоя нны ми коэф фициента ми. Рас-смотренный выше порядок может быть использован для решения систем линейных дифференциальных уравнений. Если это требуется, для каждого уравнения применяется последовательное интегрирование. Для выполнения суммирования между цепями интеграторов делаются соответствующие соединения. Это иллюстрируется на следующем примере.

Пример 19-4

Определим аналоговые представления механической системы, показанной на рис. 19-13, а. Массы тг и т2 закреплены на пружинах с жесткостью ku ka и fe12. Амортизаторы имеют коэффициенты демпфирования ft и /3. Переменная сила F(t) прикладывается к массе тг. Величины Xi и х2 являются перемещениями и т2 соответственно.

Решение

1. Напишем уравнения движения. Уравнение движения массы т, будет

т 4W + h ~di+kiXi+kis (Xi-xi)=F {t)-

Уравнение движения массы m2 будет m% + Tit + h%x* + kl* ~~ Xl> ~ °*



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 [170] 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233



0.0018