Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 [172] 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233

Момент /Иред (t), приложенный к нагрузке через понижающий редуктор, будет.

Мред (0 = ЛШдв С) = NKsKyzKmK (t) =

= АЧ)е(г). (19-41)

где iV - передаточное число (1 V =

= / передаточное число редуктора);

к = nkekj&kyc - единиц момента/единиц угловой ошибки. Уравнение движения системы будет:

J-= J

dt~ dbyi(t) dt-

dt

9вых№ I

Ms(t); (19-44)

Авых (*) =

Л3 1 Л

= АП)ВХ(0-Л1Н(Г). (19-45)

Применяя преобразование Лапласа (см. §26-6) к уравнениям (19-44) и (19-45), получим-

= (/s3+/s)eBX(s) + /HH(s); (19-46)

(Л8 +/s + К) йвых (s) = Дйвх (s) - Л4Н (s). (19-47)

Уравнения (19-46) и (19-47) можно переписать в виде-

s ( s + -у ) SBX (s) -

M„(s)

; (19-48)

<W(s) =

К, J

,(s)-MB(s)

(19-49)

Переходные и установившиеся характеристики любой системы можно определить из знаменателя перадаточной функции (см. § 18-4в).

Характеристическое уравнение системы будет

s! + 7s + 7=0, (19-50)

Оно получается, если приравнять нулю знаменатель уравнения (19-49). Корни гх и г2 этого уравнения будут

-f± Vf1 - 4/АГ 2j

(19-51)

Для того чтобы система была устойчивой, корни уравнения rt и г2 должны быть либо неравными отрицательными и действительными, либо равными отрицательными и действительными, либо комплексными сопряженными с отрицательной действительной частью.

Для упрощения зависимостей удобно ввести следующие величины: собственная частота недемпфированных колебаний «о и относительный коэффициент демпфирования С. Величина о>о - частота колебаний системы без демпфирования, определяемая из формулы

В этом примере коэффициент затухания а, равный f!2j, будет равен нулю, когда f равно нулю. При а = 0 корни характеристического уравнения будут

Ги га = ±/]/А?77=±/<*„. (19-53)

Параметр С - отношение действующего демпфирования к критическому. Критическое демпфирование имеет место, когда гг = /-а. Величина коэффициента критического демпфирования / будет

/КР = 2УК7. (19-54)

Относительный коэффициент демпфирования будет

действующее демпфирование /

критическое демпфирование 2 ~y~K~J

Характеристическое уравнение, выраженное через «о и С, выглядит так-

где а:

s2 -f- 2Ca>0.s -ф- и3, = 0, и корни будут:

• С<л0 ± /«о V1

(19-55)

(19-56)

Частота колебаний, соответствующая критическому демпфированию, будет «к:

шк = ю0 у 1 -С3- (19-57)

Положение корней о и г2 на плоскости s показано на рис. 19-16. Обращаем внимание на то, что геометрическое место точек корней для постоянного относительного коэффициента

+ju)


YKJJ рад/сек.

(19-52)

Рис. 19-16. График размещения корней в комплексной плоскости для системы

второго порядка I-годограф корней для постоянного коэффициента демпфирования, 2 - годограф корней для постоянной о>

демпфирования-это прямая, проходящая через начало координат комплексной плоскости, а геометрическое место точек корней для постоянной щ - окружность с центром в начале координат. Для критического демпфирования (С = 1) корни характеристического уравнения расположатся на пересечении этой окружности с действительной отрицательной осью.



Уравнения (J9-48) и (19-49) могут быть переписаны в следующей форме:

,(s) =

s (s + 2С<о„) 9ВХ (s) + Мп (s)/J

9вых (s) =

1 -f 2Co)0s + «>„*

(s) -MH(s)/7 s2 + 2C«0s+

(19-58) (19-59)

Эти уравнения применимы для определения характеристики системы при специфических входных функциях.

Действие ступенчатого перемещения на входе. Если в качестве входной функции 8ВХ (t) задается ступенчатое перемещение Ф, то

«[ввх(0] = Ою(8) = т • 09-60)

Для этих условий и, в предположении Л4Н (р) уравнение (19-58) имеет вид:

в.(8)

(s + 2С0) Ф s2 -f 2U„s + «g

(19-61)

Нахождение ошибки как функции времени получается при использовании обратного преобразования согласно с принципами, изложенными в §23-6. Если учитывать лишь сопряженные комплексные корни, результат получается в следующей форме:

6е (0 = ГФ е~ Cm°siп (<>„ у\ -t,4 + )>

yi - &

(19-62)

ф= arctg

Следует обратить внимание на то, что когда t приближается к бесконечности, установившееся значение ошибки становится равным нулю. На рис. 19-17 приведены зависимости ошибки от времени для различных значений относительного коэффициента демпфирования.

Действие ступенчатого изменения скорости на входе. Если скорость на входе <лвх изменяется ступенями (скорость на входе изменяется мгновенно от 0 до <овх) и задано 9ВХ (/) при равенстве нулю всех остальных внешних условий, го получим

с(0] = вих (S) = -

(19-63)

Подставляя это выражение в уравнение (19-58) и считая, что MH(s) равно нулю, получаем

6е (8) =

(S -f- 2С<а0) ив

s (s3 + 2Co>0s -4- <*1)

(19-64)

Используя теорему о конечном значении 1 для преобразования уравнения (19-64), находим ошибку в установившемся состоянии (9е)у.с:

)у. с -

2С«В

"г/у.

" к

(19-65)

1 См. J 23-6.

es(t)

-0,6

=/,4

.1,2

\

1 1

ол\ i

сиас

ис. 19-17. Характеристики системы второго порядка для мгновенно изменяющейся входной величины.

Из уравнения (19-65) следует, что ошибка в установившемся состоянии для ступенчатого изменения скорости на входе пропорциональна коэффициенту демпфирования и обратно пропорциональна коэффициенту усиления системы. Ошибка будет равна

% (0=(e.)y.c[l

х УТ

2с у":

Q4

г- sin (м0 х ф)], (19-66)

2С У \

где ф = arctg 2£2 - 1

Рис. 19-18 иллюстрирует отношение действительной ошибки к ошибке в установившемся состоянии как функцию от <л0(-

Действие возмущений в нагрузке. Если имеет место ступенчатое возмущение в нагрузке Мн на выходной оси при 6ВХ = 0 имеем

e[AU0]=AfH(s) = . (19-67)

Подставляя (19-67) в уравнение (19-58), получим MJJ

e.(s) =

(19-68)

s (s2 4- 2Cn)0s + «o) Ошибка в установившемся состоянии будет /И„ Л4н К

(19-69)

Уравнение (19-69) устанавливает, что ошибка в установившемся состоянии для мгновенно поданного момента нагрузки обратно пропор-



циональна коэффициенту усиления системы. Ошибка эта как функция времени при таком входном сигнале будет

9.(0 = (Уу.с j/=f==7 sinKx + Ш (19-70)

1,75

1,50

e£(t}-00

* 0,75

где 7 = arctg

0,50

ошибки

Рис. 19-1 стемы втор

достигнет

Эта характеристика для различных значений £ изображена на рис. 19-19.

Кривые переходных характеристик. Перед рассмотрением безразмерных кривых на рис. 19-17-19-19 можно сделать следующие основные замечания:

1. Система в конечном счете установившегося режима при всех значениях £.

2. Значение установившегося состояния приближается, но никогда не достигает значения для С - 1; это означает, что не существует его выбросов.

3. Если С ==S 1, система колеблется относительно установившегося значения, начальные выбросы кривой малы и затухают тем быстрее, чем ближе величина £ к единице, но выбросы кривой возрастают и колебания продолжаются дольше (больше периодов) для величин С, много меньших, чем единица.

4. Время установления системы соответственно меньше для С, много меньшего единицы, и больше С, много большего единицы. Для сокращения времени установления обычно допускаются некоторые выбросы. Большинство практических следящих систем имеет относительный коэффициент демпфирования порядка 0,4-0,8.

При работе следящей системы скорость установления определяется как время, требуемое для приближения выходной величины системы с некоторой произвольной процентной погрешностью к установившемуся значению. Оно зависит только от коэффициента e- i:°>ot. Это иллюстрируется рис. 18-12, где t - С. Для этого определения постоянная времени будет

Т = - = ~. (19-71)

Характеристика лежит в пределах примерно 37% конечной величины для t>T и в пределах примерно 2% конечной величины для t AT. Следящая система имеет высокую скорость для больших значений произведения £ш0. Желательно, таким образом, делать £ш0 как можно большим для получения быстрой реакции системы. Однако, не считаясь с величиной <и0, значение относительного коэффициента демпфирования С обычно выбирают 0,4-0,8 для получения наилучшего компромисса между скоростью установления системы и выбросом характеристики. Таким образом, ш0 является параметром, который показывает скорость реакции правильно задемпфированной системы.

£>/

„и --

s с.

Безразмерные переходные характеристики ошибки си-ого порядка для мгновенно изменяющейся скорости иа входе.

В работающей следящей системе скорость реакции может быть увеличена только за счет увеличения демпфирования f или уменьшения инерции J. Если относительный коэффициент демпфирования желательно оставить постоянным, необходимо изменить коэффициент, усиления К в том случае, если произведено изменение f или J.

\ ХсР\

\о N.

Рис. 19-19. Безразмерные переходные характеристики ошибки системы второго порядка при мгновенно измененном моменте нагрузки.

Для определенного отношения f/J оптимальное соотношение (время нарастания и выброс кривой) получается при увеличении коэффициента усиления замкнутой системы К (и, следовательно, увеличении ш0 и снижении Q до тех пор, пока получится минимально допустимое С. Увеличение величины вязкого демпфирования f разрешает увеличить коэффициент усиления системы К без соответствующего снижения относительного коэффициента демпфирования £. Это увеличение вязкого демпфиро-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 [172] 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233



0.0092