Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 [176] 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233

График вычерчивается в виде горизонтальной прямой, как показано на рис. 19-30, а. Фазовый угол Ф коэффициента К равен нулю для всех частот.

lJw>

-fi- 7----+jw0i-t?=<i-juiK


Рис. 19 29. Графическое определение функций.

передаточных

2. Зависи мость (jat + 1) . Так как при «Г < 1

20 lg 1/соГ -+- 1 ]= 20 lg 1 = 0 дб (19-86) и при <оТ>- 1

201g]/u>r+ II = 20 1§(/соГ) =

+ 6 дб/октаву, (19-87)

то выражение j /соГ + 1 j может быть представлено двумя прямолинейными асимптотами: горизонтальной линией (наклон 0 <3б) для

3. 3 а в и с и м о с т ь (/со + l)1

Она может быть аппроксимирована асимптотами, имеющими наклон 0 дб для малых частот и - 6 дб на октаву при больших частотах. Эти линии пересекаются при частоте со, при значении соГ = 1, как показано на рис. 19-30, е.

Асимптоты также имеют погрешность + 3 дб при со = 1/Г, + 1 дб на расстоянии одной октавы в любую сторону от сопряженной частоты и +0,3 дб на расстоянии двух октав от сопряженной частоты.

Фазовые углы, относящиеся к выражениям (/соГ + 1) и (/со Г + 1)-», будут

ф = ± arctg 4>t. (19-88)

Фазовый угол положителен для (jot + 1) и отрицателен для (/«Г + I)-1. Рис. 19-31 представляет собой графики фазового угла и амплитуды для выражения (jai + I)-1. Эти графики можно использовать и при построении графиков для выражения (/шГ + 1), изменив знак ординаты.

4. Зависимость /соТ или (jat)~l. Эти коэффициенты образуются как

±20 lg /со Г \ = ±6 дб/октаву, и линейные аппроксимирующие отрезки имеют наклоны ±6 дб/октаву, принимая значение 0 дб при такой частоте со, когда со Г = 1, как показано на рис. 19-30, г.

Фазовые углы, относящиеся к этим выражениям, для всех частот будут равны:

ф = + 90° для /со Г;

ф = - 90° для 1/JaT.

5. Зависимость

ОГ)2 + 2С;соГ+1

ZOLgHdS

605/акт

w (lg ишала)


и/(Iff искала)


<ju (lg искала) -

ддб/онт Одб

бдв/онт

и/(Iff шкала)


w(Iff шкала) •

Рис. 19-S0. Аппроксимация диаграмм Боде прямолинейными отрезками, график независимого от частоты коэффициента К; 6 - график функции 0<иГ + I);

фик функции ОшТ + 1)-1;г

- график функции (;шТ)~ Юа>Г)3 + 25;о>Г + 1-М.

малых частот и линией с наклоном +6 дб на октаву для высоких частот. Эти линии пересекаются в точке излома, соответствующей сопряженной частоте со; при этом со Г = 1, как показано на рис. 19-30, б.

При использовании указанных прямых ошибка аппроксимации достигает - 3 дб при ш = 1/Г и - 1 дб на расстояния одной октавы и - 0,3 36 на расстоянии двух октав в любую сторону от сопряженной частоты.

Так как для -201gO<or)2

и для сйГ 1

- 20 lg I

д - график функции соГ<1

+ 2С/соГ + 1 =- 20 lg I =0 дб

О Г)3

12 дб/октаву, (19-92)

то для аппроксимации этой зависимости используются два линейных отрезка. Типичный график квадратичной функции показан на рис. 19-30,3;



сопряженной частотой будет со0 = 1/Т. Ошибка при аппроксимации линейными асимптотами зависит от значения относительного коэффициента демпфирования С. Если С>-1,

§

Йсимптоти!

Рис. 19-31. Амплитудно-фазовая характеристика для (Jo>T + I)-.

оба корня вещественны и знаменатель сильно зависит от изменения двух членов первого порядка. Точная амплитудная зависимость как функция С показана иа рис. 19-20. Ошибку между линейными асимптотами и действительной кривой следует всегда принимать во внимание, если значение £-<0,4, и для частот, от-

каждого из выражений в децибелах и сложением фазовых углов, соответствующих каждому выражению. Типичной передаточной функцией, состоящей из комбинации таких выражений, будет

КО (/со) = К ja (>Гз + ,} щу, + 2£>Гз + 1 ]"

(19-94)

Результирующая диаграмма Боде показана на рис. 19-32. При определении положения линии усиления 0 дб на композиционном графике Боде учитывались следующие соображения:

1. Пересечение начального наклона - 6 дб/октаву с линией <о = 1 определяет положение линии усиления 0 дб для К - 1. Вообще линия 0 дб для К = 1 определяется пересечением прямой, имеющей начальный наклон на графике Боде, с to = 1.

2. Пересечение кривой графика Боде со значением со = соъ при котором

IAriGOi)l = l,

определяет положение линии 0 дб для коэффициента усиления К = Ki- Частота со, называется частотой среза.

3. Эта линия сдвинута на величину 20 \gKi от линии 0 дб при К - 1. Смещение проводится вниз от линии Я = 1 для Ki >-1 и вверх от линии К= 1 для /d<l. Фаза передаточной функции определяется из выражения

ф (со) = arctg coTt - + arctg со7\, + , 2£соГ3 1

(19-95)

-вдд/окп,

- ZdS/onm


Линия Odd Зля H=l

-вдд/окт \20lgK,

t-ЛинияОдб

1835/опт

ш (су иснала)-»•

Рис. 19-32. Амплитудная КО <»


ш (lg шкала) в)

фазовая характеристики для K(j«>Tt + 1)

усоОГз + l)UjiaTi)* + Xja>T»+l] " а - амплитудная характеристика; 6 - фазовая характеристика.

личающихся меньше чем на октаву от сопряженной частоты. Фазовый угол для всех значений £ будет -90°, когда со Г = 1, и асимптотически приближается к 0 или -180°, когда текущая частота со приближается к 0 или бесконечности. Фазовый угол показан на рис. 19-21 как функция от С и со/со0.

Построение общей харак-теристи к и. Линейная аппроксимация отдельных выражений может быть скомбинирована в график общей передаточной функции нескольких выражений сложением амплитуд для

или графическим методом, показанным на рис. 19-29.

Следует отметить, что быстрые изменения фазы получаются только в окрестности сопряженных частот, при которых изменяется наклон амплитудной характеристики. Если амплитудная характеристика имеет постоянный наклон выше любой заметной границы частоты, то соответствующая фаза по существу постоянна. Эта взаимосвязь наклона и фазы такова, что:

1) нулевой наклон соответствует 0° сдвига

фаз;



2) dt N 636/октаву соответствует ± N 90° сдвигу фаз.

Это позволяет быстро контролировать композиционный график и делать соответствующие поправки.

Изредка приходится экспериментально определять передаточные функции отдельных элементов следящей системы, т. е. измерять амплитуду и соответственно фазу элемента при синусоидальном сигнале на входе. При методе аппроксимации, рассмотренном в связи с графиком Боде (см.гл. 18), аналитические зависимости для передаточной функции можно получить из данных частотных характеристик. Эти зависимости можно затем скомбинировать с передаточными функциями других элементов системы.

Полюс функции ° определяется ЗНа-ввХ (s)

чением, при котором

l+KO(s) = Q, (19-97)

tXG (s) = - 1 = 1/180°. (19-98)

Значения s, которые приводят к фазе 180°, определяют геометрическое место корней функции 1 + KS (s) на плоскости s. Значения К определяют частные значения s на геометрическом месте корней, которые удовлетворяют выражению KG (s) = 1 и, следовательно, устанавливают точное расположение полюсов на геометрическом месте точек.

W(s) =


fiB(s)

(ТеУ

Устойчива

s (т, s н) 2(r3 s +/) (г4 s +/)

„ „ Устойчива.

-/в неустойчива Н>н,

-SO"

-27/7


неустойчива К,<Н</<г

Устойчива л „2 3

ОддК=К3 Неустойчива к>К3

- ш -»-

Рис. 19-33. Характеристические графики Боде для анализа устойчивости а - типичный график Боде; б - график Боде для условно устойчивой системы.

Устойчивость. В устойчивой системе амплитудная кривая разомкнутой цепи должна пересекать линию 0 36 при такой частоте, при которой отставание по фазе меньше 180°. На рис. 19-33 показаны характерные диаграммы Боде и на нем видно, как может меняться устойчивость в зависимости от коэффициента усиления разомкнутой системы.

19-бд. Метод определения полюсов на годографе корней Этот метод особенно удобно применять для анализа и синтеза замкнутых систем Применение этого метода приводит к непосредственному определению расположения полюсов передаточной функции замкнутой системы на плоскости s. Система устойчива только тогда, когда все полюсы расположены в левой полуплоскости.

Основной зависимостью для передаточной функции системы будет

9вь,х(«) ATiGi(s)

Для иллюстрации этого метода рассмотрим передаточную функцию разомкнутой системы

KG(S):

s(7"iS+l)(rss+l)(r4s+l)

,(19-99)

Для наглядности применения метода годографа корней уравнение (19-99) удобнее переписать следующим образом:

7Л7Л,Г4

s(s4-l/r1)(s + l/rl)(s+l/r1).

(19-100)

9Bx(s)

l+AT,G1(s)ArsGa(s)"

(19-96)

1 Как известно авторам, этот метод был впервые предложен В. Р. Ивансом. Для более подробного ознакомления см. § 18-4д. Помните, что в § 18-4д передаточная функция разомкнутой системы состоит из управляющей или прямой функпии KG (s) и передаточной функции обратной связи KiGt (s). Здесь для упрощения передаточная функция разомкнутой системы обозначается KG (s).

Члены в круглых скобках используются для определения годографа корней. Каждый множитель может быть представлен в виде вектора, как видно на рис. 19-34. Годограф корней определяется из значений s, когда

- ф, - ф8 4- ф3 - Ф4 - фв = 180°. (19-101)

Значение К, которое определит положение корней в отдельной точке годографа, определяется из уравнения (19-97). Следовательно,

7/7*з 7*4 rLiLgLiL§

(19-102)

Все сомножители предыдущих уравнений могут быть измерены непосредственно на чертеже. Следует помнить, что все знаки в урав-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 [176] 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233



0.0227