Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 [208] 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233

периодическая функция может быть представлена следующим образом:

е (t) = В0 + (Л„ sin nu>t + Вп cos nu>t), (22-9) где e (t)-периодическая функция времени;

(22-16), могут быть представлены как сумма четной функции с (t) и нечетной функции s (t):

Bo = y e(t)dt - постоянная составляющая сигнала; (22-10)

-Г/2

Вп = у- j е (t) cos nu>t dt; (22-11)

-Г/2 Г/2

Ла = у е (t) sin nut dt, (22-12)

- Г/2

где ui = 2тс/7\ Если на данной частоте сложить синусоидальную и косинусоидальную гармонические составляющие, то получим в результате:

A sin u>t + В cos wt = М sin (со* -)- ф);

(л- + в2)1/-;

ф = arctg (Л/В). (22-13)

Сигнал е можно тогда представить так:

с (О = S„ + М, sin (со/ + ф,; + -1-...+M„sin(n(oi-T-ф„ )+... (22-14)

Коэффициенты В0, Mlt М2, . . . , Мп являются амплитудами последовательных гармоник, составляющих амплитудный спектр Фурье функции е ((). Фазовый угол фга является начальной фазой п-й гармоники при t = 0. Наличие как синусоидального, так и косинусоидального членов в выражении для е (t) показывает, что гармонические составляющие имеют различные относительные фазовые углы, а также различные амплитуды.

Любая периодическая функция может быть отнесена либо к классу четных функций, либо к классу нечетных функций, либо к комбинации четной и нечетной функции. Четные функции симметричны относительно начала координат, например, у - х-, ж4, х~-, cos х и т. д Нечетные функции несимметричны относительно начала координат, например, у = х, х3, sin л: и т. д. Четная и нечетная функции показаны на рис. 22-5. Четная функция удовлетворяет уравнению (22-15), а нечетная функция уравнению (22-16): f (0~f (-0-Для четной функции; (22-15) f(-() = -/(t) - для нечетной функции.

(22-16)

Периодические функции, которые не удовлетворяют ни уравнению (22-15), ни уравнению

е (t) = с (О + s (t).

(22-17)

Для четных функций, содержащих только косинусоидальные члены Ап =0, фга = тс/2; Мп = Вп, уравнение (22-9) сводится к следующему:

с (t) = В0 + В, cos a>t 4- В2 cos и> t 4-

4- ...4- Вп cos пЫ, (22-18)

где «о = 2тс/, / - основная частота (повторения).

Для нечетных функций, которые содержат только синусоидальные члены, Вп = 0; фп = 0; Мп ~ Ап, уравнение (22-9) сводится к следующему:

s (О = Л, sin о4 4- Л2 sin 2»4-

4- ..-4- Ап nat. (22-19)

Начальная фаза каждой гармонической составляющей четной или нечетной функции одинакова. При изменении фазы сложного сигнала на 8 градусов фаза основной гармоники изме-

-У>

\ /

->-л>

+6>>

Рис. 22-5 Четные и нечетные функции. - четная функция; б - нечетная функция.

няется иа 6 градусов, а фаза каждой высшей гармонической составляющей на пЬ градусов, где п - порядок гармоники.

Влияние состава гармоник на симметрию сигнала:

1. Четная функция, определяемая (22-15), не содержит синусоидальных членов.

2. Нечетная функция,определяемая (22-16), не содержит косинусоидальных членов.

3. Если / (х) такова, что /л:Н-"~)==

= -fix), где Т - период, то f (х) содержит только нечетные гармоники.

/ Т \

4. Если / (х) такова, что f\x-{--j=:

~ /(X), где Т - период, то / (х) содержит только четные гармоники.

5. Сигнал прямоугольной формы выражается четной илн нечетной функцией, содержащей только нечетные гармоники.

6. Сигнал пилообразной формы выражается нечетной функцией, содержащей только четные гармоники.

В общем случае выбор начала координат, при котором функция будет либо четной, либо нечетной, упрощает гармонический анализ. Применение этих правил часто позволяет избежать вычисления амплитуд гармоник, которые на самом деле не существуют.



22-5. ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Технические данные часто приводятся в виде графиков. Исходя из этих данных, можно выполнить гармонический анализ периодических функций следующим образом [Л. 1]:

1. Выбрать один полный интервал Т на графике функции.

2. Разделить интервал на к равных подынтервалов шириною W

3. Определить коэффициенты Ап при синусоидальных членах в эквивалентном ряду Фурье следующим образом:

m =k

Лл==2 2 [.],

(22-20)

где Ап m

амплитуда n-и гармоники; номер подынтервала, равный 1, 2, 3,... -., k;

am - амплитуда в пг-м подынтервале на графике функции; 6т - фазовый угол в пг-и подынтервале на „ 2ят

основной частоте, равный -- [рао].

4. Определить коэффициенты Вп при коси-нусоидальных членах из выражения

Зя=2 J [й-а]. (22-21) т = 1

Точность анализа будет возрастать при увеличении числа интервалов. В частности, если число интервалов равно k, то наивысшая гармоникам, определяемая с помощью этого метода, будет меньше чем k/2. Этот метод поясняется следующим примером:

Пример 22-4

Определить амплитуды основной гармоники и первой гармоники, имеющей достаточную величину, которые содержатся в сигнале, показанном на рис. 22-6

Э 4 6 В 7

Рис. 22-6. Форма сигнала к примеру 22-4.

Очевидно, что сигнал этой формы является четной функцией относительно оси у, и поэтому необходимо вычислить только косинусои-дальные члены. Кроме того, / [х + Т/2] - - -/ (х), и поэтому содержатся только нечетные гармоники. Первой гармоникой с амплитудой достаточной величины будет третья, а чтобы получить величину третьей гармоники, необходимо только разделить функцию больше,

Таблица I

Ордината т

Амплитуда

Угол II

cos У

amcos 0т

sm 9m

ат sm °m

36°

0,809

0,809

0,588

0,588

72°

0,309

0,309

0,951

0,951

108"

-0,309

0,309

0,951

-0,951

144°

-0,809

0,809

0,588

-0,588

180°

-1,0

216°

-0,809

0,809

--0,588

0,588

252°

-0,309

0,309

-0,951

0,951

288°

0,309

0,309

-0,951

-0,951

324°

0,809

0,809

-0,588

-0,588

360°

S = 6,472 J i

Следовательно, At = 2 = 1,294.



чем на шесть интервалов. Выберем 10 интервалов по 36° каждый.

Решение

1. Определим амплитуду основной частоты.

2. Для того чтобы показать, что вторая гармоника отсутствует, определим ее шмпли-туду.

Знак минус показывает, что между третьей гармоникой и основной частотой существует сдвиг фаз 180°. Точная величина амплитуды основной частоты равна 4/тс = 1,272, а точная величина амплитуды третьей гармоники равна 4/Зтс = 0,425. Точность при анализе графическим методом возрастает при увеличении числа интервалов на период.

Таблица II

Орди-

Ампли-

Угол

cos 29

о„ cos 29

sin 29

a sin 23

ната т

туда ат

т т

т т

36°

72°

0,309

0,309

0,951

0,951

72°

144°

- 0,809

- 0,809

0,588

0,588

108°

216°

- 0,809

0,809

- 0,588

0,588

144°

288°

0,309

- 0,309

- 0,951

0,951

180°

360°

1,00

- 1,00

216°

432°

0,309

- 0,309

0,951

- 0,951

252°

504°

- 0,809

0,809

0,588

- 0,588

288°

576°

- 0,809

- 0,809

-0,588

- 0,588

324°

648°

0,309

0,309

-0,951

- 0,951

360°

720°

1,00

1,00

Е = 0

Следовательно, Л2 = 0.

3. Определим амплитуду третьей гармоники.

Таблица III

Ордината m

Амплитуда А

Угол

cos39m

ат cos 39m

36°

108°

- 0,309

- 0,309

72°

216°

- 0,809

- 0,809

108°

324°

0,809

- 0,809

144°

432°

0,309

- 0,309

180°

540°

- 1,000

1,000

216°

648°

0,309

- 0,309

252°

756°

0,809

- 0,809

288°

864°

- 0,809

- 0,809

324°

972°

- 0,309

- 0,309

360=

1080°

1,000

1,000

S = - 2,472

2 • 2 472

Следовательно, As =---= 0,494.

22-6. СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКИХ И НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Амплитудные и фазовые спектры периодических и непериодических сигналов могут быть получены различными способами. Выражение для ряда Фурье, приведенное в § 22-4, может быть непосредственно применено для определения амплитуд последовательных гармонических составляющих в периодическом сигнале. Фазовый спектр может быть также определен из указанного выражения. Однако часто более удобно получить выражение для огибающей амплитудного н фазового спектров. Тогда амплитуда или сдвиг фазы на любой частоте могут быть определены по амплитуде или фазе огибающей спектра на этой частоте.

Огибающие спектров находятся с помощью интеграла Фурье или преобразования Лапласа .

22-6а. Интеграл Фурье. Если частота повторения периодического сигнала непрерывно уменьшается, то число гармонических составляющих в его спектре будет соответственно возрастать. В предельном случае, когда будет получен одиночный непериодический сигнал, спектр его будет содержать бесконечное число составляющих, расположенных друг от друга на бесконечно малом расстоянии, и такой спектр можно рассматривать как непрерывный. С помощью этого предельного



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 [208] 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233



0.0096