Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 [209] 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233

перехода ряд Фурье превращается в интеграл Фурье:

f(t)= А (ю) cos at с1и> -j-

- со

-f В (со) sin tof flfco. (22-22)

- CO

Это можно выразить в более общем виде: со

/(0=2 \ F («>) eJmt da (22-23)

- со

F(<»)= /(/) е-}">* dt. (22-24)

- со

В этих соотношениях / (t) является выражением для амплитудно-временной характеристики сигнала, a F (со) является комплексным частотным спектром l.F (со} содержит амплитудную функцию, описывающую относительные

F{w)

л г sw (ш т/г)

(шг/г)

Однородный спвнтр ¥Й-1-

боновые полосы я/г I я/г

Прямоугольный импульс

-Т/2 О +Т/2

Импульс

Единичный скачок

Синусоида

fiGOSWjt

Наклон на н линия

/Крутизна /наклона к

Рис. 22-7. Соотношения, определяемые интегралом Фурье.

амплитуды гармонических составляющих и фазовую функцию, описывающую начальные фазы всех гармонических составляющих.

Если форма одного интервала периодического сигнала будет идентична форме непериодического сигнала, то комплексный частотный спектр F (со), полученный по формуле (22-24) для непериодического сигнала, будет огибающей линейчатого спектра периодического сигнала и отличается только абсолютной величиной

1 F (со) называют также спектральной функцией или спектральной плотностью. (Прим. ред.)

амплитуды. При использовании уравнения (22-24) для определения спектров различных сигналов вместо / (t) подставляют аналитическое выражение сигнала и интеграл разбивают на несколько частей. Затем это выражение интегрируется и в результате получают алгебраическое выражение, содержащее действительные и мнимые члены. Амплитудный спектр является абсолютной величиной комплексного выражения. Фазовый спектр определяется фазовым углом комплексного выражения. Действительная часть F (со) дает четную составляющую функции / (t), а мнимая часть F (со) -нечетную составляющую этой функции.

Уравнения (22-23) и (22-24) образуют пару преобразований Фурье, и для многих функций существуют полные таблицы F (со) и / (() [Л. 2]. Несколько функций, наиболее полезных в инженерной практике, показаны на рис. 22-7. Применение этой таблицы может быть расширено, если заметить, что / (t) и F (со) взаимозаменяемы. Например, импульсу / (t) соответствует

„ . . sin со Т/2 величина F (со), равная--т~-, значит, для

со У /1

спектры F (со) будут

sin х

функции / (t) = иметь прямоугольную форму.

Форма сигнала

fit)

,-JluT,

/l(t)-p(t-T,)

(шТ,\

Рис. 22-8. Сложение спектров.

Применяя в качестве исходных функций показанные на рис. 22-7, можно получить спектры более сложных сигналов / (t). Если сигнал образован методом сложения нескольких функций/(Х)> например/t (t) + /2 (t) + /3 (t), то его спектр будет Fi (со) + Fa (со) + Fs (со). Однако при применении этого правила следует соблюдать осторожность, так как двусторонние преобразования, приведенные на рис. 22-7, имеют определенные начала отсчета времени. Если fi(t),f..(t) и/з(г)пе имеют указанного начала отсчета времени по отношению к t = 0, а сдвинуты по времени соответственно на величины 7\, Ts и 7"8, то их соответствующие преобразования должны быть умножены иа e~J<aT, где Т - время запаздывания, т. е. перед сложением функция Fi (со) должна быть умножена на e~la,T\ f2(co) наГ/°г! н f 3 (со) наГ№. Этот метод поясняется рис. 22-8.

22-66. Анализ спектра с помощью преобразования Лапласа. Применение преобразования



Лапласа является эквивалентным, но иногда более легким методом определения спектральной функции 1. Данный метод тождественен методу интеграла Фурье, за исключением того, что величины F (а>) находят из таблицы двустороннего преобразования Лапласа. Однако при этом методе появляется дополнительное ограничение, заключающееся в том, что функция должна равняться нулю для всех величин времени, меньших нуля. После того как получено по Лапласу изображение F (s) функции-оригинала / (t), производится подстановка s = /ю и затем определяется абсолютная величина и фазовый угол результирующей величины F (и>). Квадрат абсолютной величины комплексного выражения, содержащего jw, получается путем умножения выражения на его комплексно сопряженную величину. Изображение по Лапласу функции / (t - Т). которая начинается ct~T, вместо t = 0 будет e-~sTiF(s), где F(s) - изображение по Лапласу функции fit)

При определении изображения функции по Лапласу следует помнить несколько полезных дополнительных правил:

1. Периодические функции. Если f (t) - функция времени для одного интервала Т периодического сигнала, а изображением по Лапласу функции / (t) является F (s), то изображение по Лапласу F (s) периодической функции будет:

F(s)

F(s) =

(22-25)

Это поясняется на рис. 22-9, а.

2. Импульсные или импульсно-модулированные функции.

Если функция f (t) имеет изображение по Лапласу F (s) и является импульсной или


rfs) = P(s)U-e

,-sV

Рис. 22-9. Периодические и импульсные функции. a - периодическая функция; б - импульсная функция.

импульсно модулированной на интервале Т, так что она существует только на интервале от t = О до t = Т, то изображение по Лапласу F (s) импульсно модулированной функции будет:

TJs) = F(s) (1 -е- sr). (22-26)

Это поясняется рнс. 22-9,6. Пример 22-5

Определить с помощью интеграла Фурье и преобразования Лапласа спектр sinxjx для

прямоугольного импульса, показанного на рис. 22-10.

-+* -t


Рис. 22-10. Спектр прямоугольного импульса. а - форма импульса, б - амплитудный спектр.

Решение

1. По методу интеграла Фурье из уравнения (22-24)

FW= j" f(t)e-}wT<lt;

- со

f(t) = A - для- b<t<1J;

f(t) = 0-везде, кроме указанного интервала;

/=»= Ae-dt =

а>7\

<a/j/2

2. По методу преобразования Лапласа.

а) Выразим сигнал прямоугольной формы как функцию времени:

/ (t) = Лр. (О - Ац (t - ТО,

где (а (0 -единичная функция включения; для удобства начало отсчета импульса выбирается при t = 0.

б) Выразим / (t) в комплексной форме

в) Подставим s = /со: а

F(/»,) = ~(1 -e-imT>) = (e~mTl - 1).

г) Получим F ()со)2путем умножения У7 (/и) на его комплексно сопряженную величину:

гЧ>)Р = (1-,<оГ1)]Х -f е~>т>)] = (2 - 2 cos соГО =

со- \ 2 j (uTi/z)-

См. хл. 23.

1 См. гл. 23.



Д) Решим относительно \Р (р»)\: * (о / i/Z

22-6в. Основные свойства амплитудных спектров. Выражения для огибающих амплитудных спектров трех характерных форм импульсных сигналов приведены в табл. 22-2. Для сравнения эти спектры показаны на рис. 22-11. На рис. 22-12 построен подробный график функции

t 0.6

§ ОЛ

§~ 0,2 t 0,1

-0,1

-0.2

0.5 Л /,jV />

Рис. 22-11. Сравнение спектров импульсов различной формы.

sin х/х, которая находит широкое применение при анализе спектров.

Спектры сигналов имеют следующие основные зависимости.

1.Влияние частоты повторения. Гармонические составляющие спектра отстоят друг от друга на расстоянии, равном частоте повторения сигнала. Форма огибающей амплитудного спектра не изменяется прн изменении частоты повторения, так как она зависит

0,8 as оА

0,2 О 0,2

2П §П гя\77Г

? 1 У


Рис. 22-12. График функции - .

только от формы сигнала. Число гармонических составляющих, содержащихся в данной части частотного спектра, будет, однако, увеличиваться прн уменьшении частоты повторения.

Постоянная составляющая или среднее значение будет изменяться пропорционально частоте повторения. Поскольку с уменьшением частоты повторения число частотных составляющих увеличивается, энергия, переносимая каждой составляющей, должна уменьшаться, для того чтобы энергия сигнала сохранялась постоянной; следовательно, максимальная амплитуда частотного спектра уменьшается с уменьшением частоты повторения и увеличивается с увеличением частоты повторения.

2. Влияние амплитуды сигнала. Так как амплитуда сигнала может изменяться при сохранении других его характеристик постоянной, то амплитуда частотного спектра и среднее значение будут меняться пропорционально амплитуде сигнала.

3. Влияние длительности сигнала. При уменьшении или увеличении длительности сигнала спектра точки пересечения с осью частот будут соответственно смещаться от начала координат или к началу координат. Расстояние между точками пересечения будет меняться обратно пропорционально ширине сигнала. Это иногда называют «обратным растяжением», так как для сигналов малой длительности спектр расширяется, а для сигналов большой длительности спектр укорачивается. В общем случае может быть установлено, что чем больше крутизна фронта импульса или чем больше максимальная скорость изменения любой части сигнала, тем больше будет число гармонических составляющих достаточно большой амплитуды, необходимое для воспроизведения формы сигнала.

4. Влияние дополнительной переменной составляющей сигнала на его спектр. Иногда необходимо определить спектр периодического сигнала, подвергнутого амплитудной фазово-им-пульсной модуляции, модуляции по длительности или модуляции какого-либо другого вида. Общий подход состоит в следующем: сначала определяют спектр ие модулированного сигнала, а затем определяют влияние модуляции на спектр. Более глубокое рассмотрение этой задачи выходит за рамки этой книги, однако часто могут быть применены следующие правила [Л. 3].

1. Амплитудная модуляция. Модуляция сигнала по амплитуде другим сигналом приводит к появлению в спектре боковых полос по обеим сторонам каждой спектральной составляющей основного сигнала, причем частотная составляющая, имеющаяся в модулирующем сигнале, отстоит от каждой составляющей основного сигнала иа частоту модулирующего сигнала. Модуляция не оказывает воздействия на огибающую спектра основного сигнала. Амплитуды промодулнро-ванных составляющих в боковой полосе спектра будут пропорциональны амплитуде модуляции.

2. Фазово-импульсная модуля ц и я. В общем случае, при фазово-импульс-ной модуляции огибающая амплитудного спектра не будет меняться. Однако расположение гармоник внутри огибающей будет неоднородным и фазовый спектр.будет изменяться на каждой частоте на величину, равную угловой частоте, умноженной на сдвиг по времени.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 [209] 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233



0.0111