Пример 23-5

Составить уравнения по методу контурных токов для цепи (рис. 23-11).

Рис. 23-11. Цепь к примеру 23-5.

Решение

а) Из уравнения (23-19)

I = е - п + s = 16 - 13 + 1 = 4.

б) Из уравнения (23-18)

р-2 = / - г = 4 - 0 = 4.

в) Направления неизвестных токов могут быть выбраны, как на рис. 23-11. Уравнения для четырех контуров будут иметь следующий вид:

+ г12г2 + 2i3i3 + zliil = щ; г mil + г2»г2 + г23г3 + г54г4 = щ; zai/j + г32г2 + z-si3 -\-z--i- = щ; Zui\ -Ь г42г2 -\- г43г3 + г44г4 = и-.

г) Пользуясь схемой, определим члены Zp

и Uf.

гц=#,+/?»; z22 = (/?2 + /?3 + /?4) + si+

г88 = (R- + Rb + /?е) + s (L,

+ т (с7 + ст + с4,/ *

«44 = Re + s (L3

12 21 :==: ?2» 23 = 32 ==

: = 23i = 0; z24 = г42 = 0;

;Zi, = 0; г34 = z43 = (Ra + sZ.4 + jgr );

и3 = ев; и- = ев.

Эти выражения после подстановки в четыре уравнения дадут полные уравнения контурных токов для цепи.

23-5. МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИИ

Уравнения для узловых напряжений цепи составляются для каждого узла путем приравнивания входных токов к выходным. Эти уравнения могут быть получены с помощью следующего метода:

1. Для данной цепи определяем число независимых пар узлов напряжения из равенства

где uv - число независимых пар узлов напряжения;

ns - число независимых пар узлов; es -число независимых генераторов напряжения.

Выражения для токов, втекающих в узел или вытекающих из узла, содержат полные проводимости элементов, связанных с этим узлом, и разности потенциалов между данным узлом и всеми другими узлами,с которыми он связан.

Чтобы подсчитать число независимых пар узлов напряжения uv, существующих в цепи, нужно определить число независимых пар узлов ns. Для каждой независимой части цепи один из узлов должен быть выбран за опорный, для того чтобы разности потенциалов во всей цепи можно было измерять относительно общего опорного узла. За опорный узел обычно принимается заземленная точка цепи. Следовательно, число независимых пар узлов ns определяется соотношением

ns = n -.s, (23-25)

где п - числе узлов; s - число независимых частей.

2. Выбираем произвольно опорный узел (s) и отмечаем все другие узлы цепи.

3. Задаем полярность каждого узла относительно соседних. Выбор полярности состоит в том, чтобы рядом с каждым элементом начертить стрелку, показывающую заданное направление тока, протекающего через элемент, и посредством этого определить токи, втекающие и вытекающие из каждого узла. При этом случае показать, что ток течет к концу каждого элемента с более низким потенциалом.

4. Составляем уравнения для каждого узла путем приравнивания выражений для входных и выходных токов. Уравнения узловых напряжений выражают равновесие токов в каждом узле. Заметим, что каждый элемент цепи должен быть общим для двух узлов и обеспечивать взаимную связь между этими узлами.

5. Выписываем в таблицу уравнения узловых напряжений, полученных согласно п. 4. В общем случае каждое уравнение для узлового напряжения будет иметь вид, показанный для первого узла цепи, содержащей п узлов,

>*ii"i - >*1з"з - ••• - Уыип = ь (23-26) где уц - полная «собственная проводимость» первого узла и является полной проводимостью между первым узлом и всеми другими узлами, когда все другие узлы соединены между собой накоротко (уп =yi + у т + у-- + ... + у щ); Ун, Ун,---, Уы - полная проводимость элемента, включенного непосредственно между узлами 1-2, 1-3 и т. д. Взаимные полные проводимости должны быть непосредственно включены между двумя рассматриваемыми узлами и не должны проходить через любой другой узел. Узлы, не имеющие такой непосредственной связи, имеют полное взаимное сопротивление связи, равное нулю; Ui - потенциал между первым и опорным узлами; ii - ток в цепи от всех генераторов, включенных непосредственно к первому узлу.

Внутренние сопротивления всех генераторов должны учитываться при определении соб-

$ 23-5\ Метод узловых напряжений 645

ственных или взаимных полных проводимостеи всех узлов. В общем случае полные проводимости цепи состоят из активного сопротивления, индуктивности и емкости и выражаются так: Г,

yjk--

+ sC

(23-27)

jjk - общая активная проводимость между узлами j и k; TL k - общая обратная индуктивность меж-1 ду узлами / и k; Cji, - общая емкость между узлами / и к. Уравнения, составленные по методу узловых напряжений, могут быть выражены с помощью следующей системы:

Уий1-УиЩ-У\ъЧг - -

- yinUn - if, ynUi+yaUi-ytiUt- ••• -

-.УзА = is, VmUi-yasUa-\-ystUa- . . .

, (23-28)

-Уыип -

Уп1-и1- Упзиз - Уп»Ог- ... + + Уппип~1п,

которая может быть записана кратко: п

У (- = Ч (/=1,2,..., л), (23-29)

где 5 = 0 для jk и Ь- 1 для j=k.

Суммирование производится для каждого значения / при всех к от 1 до п; индекс / относится к узлу, для которого пишется уравнение.

Пример 23-6

Составить уравнения по методу узловых напряжений для цепи (рис. 23-12).

Рис. 23-12. Цепь к примеру 23-6. Решение

1. Из уравнения (23-25) число независимых узлов равно:

ns = п - s = 3 - 1 =2,

а число неизвестных пар узлов напряжения из уравнения (23-24) будет:

uv -- ns - es = 2 - 0 = 2.

2. Обозначим узлы, зададим полярности относительно опорного узла и укажем направление токов, текущих через каждый элемент, как показано на рисунке.

3. Напишем уравнения по методу узловых напряжений, приравнивая выражения для токов, втекающих и вытекающих из точек с неиз-

вестным узловым напряжением ut и ut. Для первого узла

Hi-0 , Hi - 0 . Hi-а2

Ri R% R$

и для второго узла

Ri R,

i,--~i>

= 0.

Эти уравнения можно перегруппировать следующим образом:

1 , 1 . 1 \ 1

RRs+R-JUi-RsU

-r,ui+[r+rJu0

которые имеют ту же форму, что и уравнение (23-28), где

-( 1 1 4- 1 V

u = (-H--f -7r + -l = Gi + G2-r Gs;

yu=yai = -5-=Gs.

Пример 23-7

Написать уравнения по методу узловых напряжений для цепи, показанной на рис. 23-13.

"г

Рис. 23-13. Цепь к примеру 23-7 с тремя неизве*ншади парами узлов напряжения.

Решение

1. Из уравнения (23-25)

ns - n - s = 4 - 1 =3.

2. Из уравнения (23-24)

uv - ns - es - 3 - 0 = 3.

3. Три неизвестных узловых напряжения могут быть выбраны, как показано на рисунке, за опорный узел берется четвертый узел (и4). Это дает три уравнения для узловых напряжений следующего вида:

yuUi -ущЩ -упщ = U; - ynUi +у23М2 - VssUs = h\ -ymUi +Узи2-гУ3цЩ = 1ь.

Исходя из схемы, определим в этих уравнениях члены у/к и ij\ V,

Уii = у Gi -y.t = Ga-

У is-У 31 =

I - I -\ s Г

8(6?! + С,);

У is =.Vsi = 0; yiz = Gs-\- sCa; уsi =y>32 = sd;

-1a. «

= 0; i.

Если подставить в вышеприведенные три уравнения эти выражения, то они дадут полную систему уравнений цепи по методу узловых напряжений.

23-6. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЦЕПИ

Любая цепь может быть проанализирована либо по методу контурных токов, либо по методу узловых напряжений. Предпочтение отдается тому методу, при котором получается наименьшее число неизвестных (см. § 23-1 д). Метод контурных токов связан с определением полных сопротивлений цепи и составлением выражений для равновесий напряжений. Контурные токи являются зависимыми переменными, а напряжения источников цепи считаются известными. Метод узловых напряжений связан с определением полных проводимостей цепи и составлением выражений для равновесий токов. Узловые напряжения являются зависимыми переменными, а токи источников в цепи считаются известными. Метод узловых напряжений чаще всего применяется к цепям, в которых большинство элементов включено параллельно, а метод контурных токов - к цепям, в которых большинство элементов включено последовательно.

23-6 а. Алгебраическое решение. Когда в цепи нет реактивных элементов (т. е. индуктивности или емкости), законченное решение уравнений, составленных по методу контурных токов или по методу узловых напряжений, может быть получено с помощью алгебраических методов. Для этого необходимо написать систему уравнений, составленных по методу контурных токов или по методу узловых напряжений, описывающих поведение цепи. В результате получим систему совместных линейных алгебраических уравнений, которая может быть решена относительно искомого неизвестного (или неизвестных) соответствующим методом Этот метод легче всего объяснить на частном примере.

Пример 23-8

Для цепи, показанной на рис. 23-14, определить все контурные токи.

Решение

1. Уравнения, составленные по методу контурных токов, будут следующими:

(Ri + R* + Re + R7) ii + Rih = U; Rih + (Ri + Rs + Ri + Rb) h = U.

Токи ii и is являются зависимыми переменными, а напряжение U - независимой переменной.

2. Для того чтобы решить систему уравнений относительно токов, составляется определитель системы из коэффициентов при токах:

(Ri + Д3 + R- + Rb) Rl

Rt (Ri + R2 + Re + R7)

Рис. 23-14. Цепь из активных сопротивлений к примеру 23-8.

Этот определитель вычисляется, как показано ниже (см. § 23-15 в):

А = (Ri + Rs + Re + R,) X X (Ri + R3 + R* + Rb) - Rl

3. Миноры определителей образуются следующим образом.

U Ri

U(Ri + R, + R- + Rb)

(Ri + Ri + Re + R?) U

Ri U

A2 =

Как показано ниже, эти определители вычисляются следующим образом

Al = U(Ri + R- + R-+R-) - URi =

= U(R- + R- + R-); А2 = U (/?, + Ri + Re + R7)-URi =

= U(RS + Rt3 + R7).

4. Образуя отношения Ai/Д и Д2,Д, получим требуемое решение:

Ri + Ri + Rb

(Ri+Rz+Rt+Rb) (Ri + R2+Re+R7) - Rt f2 = -2 =

= <7

Д. + Дб + R7

(Ri+Rz+Ri-tRb) (Ri+Rz+Re -\-R,) - Rf

23-6 6. Ограничение алгебраического решения. Выражения, данные выше, являются законченными решениями для цепи, содержащей только активные сопротивления. Вместе с тем ясно, что при наличии в цепи реактивных элементов члены, определяющие напряжение и ток через эти элементы, содержали бы интегралы и производные.Тогда для решения уравнений цепи потребовалось бы решение системы линейных интегро-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для решения этих уравнений может быть применен метод, описанный в общих чертах в следующем параграфе.

23-6 в. Решение уравнений цепи с помощью преобразования Лапласа. Приведенный ниже материал не претендует на полноту изложения применения метода преобразования Лапласа при решении задач цепи. Несмотря на это, предполагается, что читатель, знакомый с указанным методом, найдет здесь краткую сводку наиболее полезных соотношений, а читатель, ранее не пользовавшийся им, познакомится с упрощенным изложением данного метода, полезным при решении многих задач, решение которых другими методами было бы весьма трудным [Л. 2]. В частности, в § 23-6 г приведен графический способ решения задач цепи, при котором значительно уменьшается объем вычислительной работы.

Применение преобразований Лапласа при решении задач цепи можно сравнить с применением логарифмов для упрощения математических вычислений. При применении логарифмов группа чисел преобразуется в другую