Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 [214] 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233

группу чисел, называемых логарифмами первоначальных чисел. Это обычно выполняется с помощью заранее составленной таблицы. Затем, чтобы выполнить желаемую математическую операцию, производятся действия с логарифмами, а результаты с помощью другой заранее составленной таблицы или той же таблицы выражают в первоначальных цифрах. Преимущество данного метода состоит в уменьшении трудности и сложности математической операции. Например, умножение первоначальных чисел сводится к сложению их логарифмов, деление сводится к вычитанию и т. д. Подобным же образом могут быть применены и преобразования Лапласа, с помощью которых решение интегро-дифференциальных уравнений сводится к чисто алгебраическому методу и, более того, сигналы сложной формы, например прямоугольной, могут быть анализированы с помощью тех же алгебраических методов. Для этого необходима таблица «пар преобразования» которая выполняет функцию, подобную таблице логарифмов,

Преобразования Лапласа. Преобразования Лапласа данной функции времени f (t) определяются следующим образом:

Lf(t)

/ (t) e~stdt. (23-30)

Как показано в уравнении (23-31), величина s является комплексной переменной, состоящей из действительной части а и мнимой части <о, at - время - является действительной переменной:

s = a+ja. (23-31)

Следующие примеры поясняют применение уравнения (23-31) для построения таблицы пар преобразования.

Пример 23-9

Получить преобразования Лапласа для единичной ступенчатой функции включения u(t), определяемой следующим образом:

* и (t) - 0, t < 0; к (0=1, *>0.

1. Из уравнения (23-30)

со со

F (s) = j и (t) e~stdt = J e~stdt = у.

Следовательно, преобразованием функции u{t) является 1/s.

2. Получим преобразование функции e~at. Из уравнения (23-30)

ОО оо

F(s)= j e~ate-stdt = j e~f*+s)tdt--

S -f a

Табл. 23-4 содержит некоторые пары преобразования. Более полные таблицы, охватываю-

щие широкое разнообразие функции, можно иайти в обычных справочниках

Первая часть табл. 23-4 дает преобразования некоторых функций времени. Вторая часть дает некоторые преобразования математических операций и тождества, полезные при расчетах цепей. Прежде чем убедиться в полезности преобразований, необходимо рассмотреть некоторые их свойства.

1. Теорема смещения (1) используется при определении изображения функции f (t -• а), где F (s) - изображение функции f (t). Эта теорема дает возможность оценить влияние времени задержки в физических системах.

2. Теорема дифференцирования наиболее полезна при преобразовании дифференциальных уравнений в алгебраические. Преобразование включает «начальное условие» f (+0) в преобразованном выражении. Начальным условием является значение функции f (t) при t = 0. В случае, если функция имеет разрыв при t - 0, предельное значение выбирается для t >. 0.

3. Теорема интегрирования наиболее полезна при преобразовании интегральных уравнений в алгебраические. Как и прежде, для учета начального условия при t = 0 используется дополнительный член ( (+0). Из теорем дифференцирования и интегрирования можно видеть, что выражения для производной и интеграла могут быть сведены к простому виду путем замены знака производной на s, а знак интеграла на 1/s.

4. Теорема о линейности полезна при преобразовании сумм функции / (t). Величина К должна быть независимой от t и s.

5. Теорема о конечном значении применяется для вычисления предельного значения (в установившемся режиме) функции времени через предел ее оригинала, когда s стремится к нулю. Ограничения, накладываемые на эту теорему, состоят в том, что и функция f (t), и ее первая производная должны допускать преобразование по Лапласу и не иметь особенностей 2 вида sF(s) на мнимой оси или в правой полуплоскости. Это исключает применение для f (t) синусоидальных функций.

6. Теорема о начальном значении применяется для вычисления значения функции f (t) в окрестностях t - 0 через предельное значение ее оригинала, когда s стремится к бесконечности. В этой теореме не существует ограничений относительно особенностей.

7. Теорема о стационарном состоянии, строго говоря, не является теоремой операционного исчисления и используется для удобства при сведении выражений с комплексным переменным к форме, удобной для анализа с помощью обычной теории цепей переменного тока для установившегося режима. Эта замена означает подстановку в уравнение (23-31) a = 0, справедливую для синусоидальных функций.

1 Таблица прямого и обратного преобразований по Лапласу наиболее часто встречающихся функций. (Прим. ред.)

1 Более полные таблицы могут быть найдены в работах [Л. 2]-[Л. 5].

2 Для надлежащего применения этого ограничения необходимо знание функций комплексного переменного, см. [Л. 2] или [Л. 6j.



Таблица 23-4

Пары преобразований Лапласа

Оригинал, / (г)

Изображение, F {s)

Математические функции

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Единичный импульс

к(*) = 0 *<с0 функция и (*) = 1 * i> 0 включения

- sin to* о»

- sh to* о»

COS u>*

ch a*

.-at

sin to*

COS to*

13. (1 - at)e-

(n- 1)! e~atf(t)

*"-

at

15. 16.

ое-"* - Be~f

1. 1

2. 1 s

3. 4. 5. 6. 7.

S + a 1

S2-r-to2

9. 10. 11.

s2-f-«>2 s

S2 - to2 1

(S + a)2 + o)2 S + a

(S + «)2 + »2 1

га - положительное число

12. f(s + «)

13. 14. 15. 16.

(S -4- a)2

(S + a)2

(S + a) (S + I

(S + a) (S + p) Математические операции и тождества

1. Смещение во времени.......

2. Дифференцирование.........

3. Интегрирование1..........

4. Линейность..............

5. Конечное значение.........

6. Начальное значение........

7. Анализ стационарного состояния

f(t-а)

if it) dt

J f(t)ut

Kfit)

/.(*) + /.()

hm /(*)

t -> oo

hm /(*) t -> о

e-sF(s)

sF(s)-/(+0)

F(s) /-(+0) s s

fi (s) dr F2 (S) lim s.F(s)

hm s/s)

s -> oo

1 Член /-1 (4-0) есть постоянная интегрирования, получаемая при определении величины интеграла от функции / {t), вычисляемого при t, равном нулю. Если в функции / (t) существует разрыв при t, равном нулю, тогда следует брать значение t с положительной стороны от нуля.



Продолжение табл. 23-4

aF (as)

tfit)

ds 1

Т/(0

\ F(s)ds s

8. Теоремяоб изменении масштаба полезна при изменении величины переменной t для облегчения перехода (от одной величины к другой).

9. Теорема о комплексном дифференцировании показывает, что дифференцирование изображения по комплексному переменному приводит к умножению функции действительного переменного.

10. Теорема о комплексном интегрировании показывает, что интегрирование изображения по комплексному переменному сводится к делению функции действительного переменного.

Обратное преобразование Лапласа. Перед тем как рассмотреть общее решение для цепей с помощью методов преобразования, необходимо рассмотреть методы получения обратного преобразования, т. е. методы получения функции времени f (t) из комплексного выражения F (s), где комплексное выражение может быть непосредственно представлено суммой одного или более выражений F(s), имеющихся в табл. 23-4. При этом обратное преобразование может быть написано непосредственно из таблицы как соответствующая сумма одного или более выражений функции f (t). Однако такого удачного обстоятельства может и не оказаться, и для того чтобы изображение разделить на члены, соответствующие табличным, нужно произвести алгебраическое преобразование изображения, подобное разложению на простые дроби, или для того чтобы получить функцию f(t), нужно выполнить прямое интегрирование комплексной функции F (s).

Рассмотрение преобразования выходного сигнала. В общем случае алгебраическое решение системы уравнений цепи, выраженное в комплексной форме, может быть разделено на составляющие части:

преобразование выходного сигнала = преобразованию переходной характеристики системы X преобразование сигнала возбуждения. (23-32)

Преобразование переходной характеристики системы 1 является обычно рациональным преобразованием относительно s * и зависит

1 В нашей литературе ее называют операторной характеристикой цепи или передаточной функцией. (Прим. ред.)

* Рациональная функция есть аналитическая функция, не содержащая существенных особенностей. Аналитическая функция - это такая функция, которая сама и ее первая производная конечны и однозначны. Особенность представляет собой такую точку, в которой функция ие аиалитична. Существенная особенность отлична от особенности в виде полюса конечного порядка. Более подробно см. [Л. 6 н 7].

от параметров составных элементов цепи. Причем оно определяет характеристику поведения системы в неустановившемся режиме.

В преобразовании сигнала возбуждения учитываются исходные напряжения или токи в цепи при t = 0.

Если преобразование выходного сигнала является отношением двух полиномов от s, то обратное преобразование может быть получено с помощью следующего метода простых дробей.

Разложение на простые дро-б и. Во многих случаях преобразование выходного сигнала может быть представлено дробью, состоящей из двух полиномов от s, A(s) и В (s),

F(s):

B(s) + +aiS

a0

(23-33)

где am, bm являются постоянными, причем дробь будет рациональной при я > т. Уравнение (23-33) может быть выражено следующим образом:

F(s)A-

A(s)

B(s)

(s- s,)(s- s2)(s - s8) ... (s-sn)

(23-34)

где sb Sa, sn являются корнями знаменателя и могут быть либо действительными, либо комплексными. Форма характеристики системы полностью определяется этими корнями, которые называются полюсами выражения F(s).

Если полюса уравнения (23-34) являются простыми (т. е. si, s2, sn все различны), то обратное преобразование получается путем разложения выражения на сумму простых выражений, каждое из которых может быть преобразовано с помощью табл. 23-4. Это достигается следующим разложением на простые дроби:

A(s)

s -s.

+

B(s)

Коэффициенты ku k3, kn слены следующим образом:

+ -- . (23-35) s- sn

могут быть вычи-

Из табл. 23-4 можно ви-

Общне члены в числителе и знаменателе (т. е. s-sn) сокращаются до того, как произведена подстановка s = деть, что

-А- ) = knesnl t > 0. (23-37)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 [214] 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233



0.0059