Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 [215] 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233

Полное обратное преобразование будет тогда: f(t) = L-lF(s)-=kieSlt+ ••• +kneSnt. (23-38)

Можно видеть, что выражения, подобные уравнению (23-38), могут приводить к синусоидально изменяющимся функциям, так как

е>ш

е-)"

-. 2 cos u>t.

(23-39)

Кратные полюса. В случае, если преобразование выходного сигнала содержит два или более одинаковых полюсов, метод разложения на простые дроби, описанный в общих чертах выше, не является достаточным для полного решения. В этом случае может быть применено следующее общее соотношение.

Перепишем уравнение (23-34) для общего случая, включающего кратные полюса,

. A (s)

F(s) =

B(s) A(s)

(s - Sl)m(s - s2)m2- • .(s - sh)mK. .(& - sn)mn

Число коэффициентов, связанных с каждым показателем степени в B(s), равно величине показателя степени. Для данного показателя степени тп коэффициенты обозначаются как khg, где g имеет столько значений, сколько величина ni/-. Например, если тЛ = 3, то имеется три величины g, т. е. g - 1, g = 2 и g = 3. Коэффициенты, связанные с тп, в этом случае обозначались бы как kni, и йЛз. Эти коэффициенты могут быть вычислены из выражения

khg =

(g-\)l\dss-

(s - sA)mM (s)

B(s)

(23-40a)

После определения коэффициентов, / (/) может быть определена из уравнения (23-406):

/и- I I

tmh"S/ht. (23.406)

В общем случае процесс получения оригинала f(t) по изображению F(s) может быть выполнен математически с помощью уравнения (23-41):

С • / оо

f(t)= \ F (s) estds. (23-41)

С - /оэ

Уравнение (23-41) представляет собой контурный интеграл. Путь интегрирования в плоскости s проходит вдоль линии, параллельной оси /<о и смещенной вправо от этой оси на расстояние С. Величина С выбирается так, чтобы интеграл Лапласа был сходящимся и все особенные точки F(s) были слева от С. Применение этих методов для получения обратных преобразований Лапласа будет пояснено следующим примером.

Пример 23-10

Определить обратные преобразования следующих функций:

1. F(s) = ss~h\ И3 УРавнения (23-35).

(8) = т- + гтЧ •

Из уравнения (23-36)

(s + a) s

(s + a)

s(s + b)

s(s + b) (s+b)

-b-\-a

s-b a

Следовательно,

„ . . a b . 1 - a/b

Г (s) =-------

w s 1 s + b

и из табл. 23-4

/(0 =

- (1 - a/b) <ГМ.

2. F(s) = --;--r; следовательно, ffi, 4 (s + af

я= 1, Л = 1 g= 1, 2, 3.

Из уравнения (23-40a)

h=l \ь - 1

g= \ rn-oi

h- i 1 ]

Л= 1 1

= 0;

h=l \ !

Из уравнения (23-406)

h=\g-=)

(3-1)!

(3 - 2)!

/(3-d s>-at

"~13 /(З-З)л-Ж j

(3 - 3)! ~ 2

25-6" г. Графическое определение обратных преобразований Применение уравнений (23-34) - (23-41) часто отнимает много времени. Графический метод, описываемый в следующих параграфах, является быстрым и простым, приводит к минимальным арифметическим ошибкам и дает возможность наглядно представить влияние положения нуля и полюса на временную -характеристику.

Графическое определение обратных преобразований производится в три этапа:

1. Определяют на комплексной плоскости положение нулей и полюсов преобразования выходного сигнала (координатами в комплексной плоскости являются величины а-абсцисса и /ш-ордината).

2. Записывают в математической форме обратное преобразование, исходя из расположения полюсов на комплексной плоскости.

3. Для того чтобы получить полное решение, вычисляют путем графического измерения численные величины неизвестных постоянных.

Расположение полюсов. В общем случае преобразование выходного сигнала будет рациональной функцией, подобной выра-

1 Сокращенное изложение неопубликованных статей N. Patrusky



жению (23-34). Нули этой функции являются корнями числителя. Если нулей нет, то числитель будет равен постоянной величине. Полюсы характеристической функции являются корнями знаменателя. Если полюсов не существует, то знаменатель будет равен единице.

держат большинство случаев, встречающихся на практике. Наличие или отсутствие нулей или количество нулей не влияет на вид решения и влияет только на амплитуды постоянных величин . Для удобства наиболее полезные виды преобразования приведены в табл. 23-5.

Таблица 23-5

Таблица обратных преобразовании

Корин знаменателя

(s + «)

(S + /<й) (S - » (S + а + » (S + <* - 7<»)

Вид обратного преобразования

А Ae~at A sin (<at + Ф) Ае-"( sin (u>t + Ф)

Корни числителя и знаменателя могут быть найдены с помощью известных алгебраических методов [Л. 8] или графическим методом, описанным в § 18-4 д.

После того как найдены нули и полюсы, они наносятся на комплексную плоскость. Типичный случай показан на рис. 23-15. Нуль

ф +JW,

Нули,

s=±/0«

Рис 23-15. Диаграмма расположения нулей и полюсов.

в точке а2 называется отрицательным действительным нулем, а полюс в точке сч - отрицательным действительным полюсом. Полюс, соответствующий члену 1s, является полюсом в начале координат. Пара нулей ±/<о является сопряженными нулями на мнимой оси. Пара полюсов - а3 ± /ю3 называется комплексно сопряженными полюсами. Кратные нули и полюсы, не показанные на рисунке, появляются тогда, когда два или более нулей совпадают или когда совпадают два или более полюсов.

Математическая форма обратного преобразования. Если определено положение полюсов на комплексной плоскости, то можно написать обратное преобразование в математической форме, пользуясь таблицами преобразования, которые со-

Комплексные выражения в этой таблице являются корнями знаменателя. В случае, если имеется несколько полюсов, соответствующие комплексные выражения в знаменателе перемножаются, а соответствующие обратные преобразования складываются.

Графическое вычисление постоянных. Неизвестные постоянные обратного преобразования (Л и Ф) вычисляются по измеренной длине и углу на диаграмме в комплексной плоскости. Каждый полюс рассматривается отдельно, и после измерения расстояний и углов от определенного «исследуемого полюса» до других нулей и полюсов определяются постоянные в выражении, зависящем от этого полюса. Если интересующие нас полюсы являются сопряженными, то измерения производятся только для верхнего полюса. Для простоты весь метод графического анализа разбивается на четыре отдельных случая.

Случай 1. Полюсы и нули находятся на отрицательной действительной оси, полюсы только простые. Амплитуды постоянных величин определяются следующим образом:

произведение расстоянии от каждого нуля до исследуемого полюса произведение расстояний от каждого полюса до исследуемого полюса

(23-42)

Числитель равен единице в случае, если нет нулей, а знаменатель равен единице в случае, если имеется простой полюс. Если на действительной отрицательной оси имеются кратные нули, то расстояние от кратного нуля до исследуемого полюса умножается на число, равное порядку кратности.

1 Исключением из этого положения являете*, случай, когда число нулей равно числу полюсов. В этом случае числитель делится иа знаменатель Получаемое в результате частное будет содержать постоянную и остаток и может содержать члены со степенями s. Обратное преобразование остатка производится с помощью методов, изложенных в этом параграфе Обратнь1е преобразования оставшихся членов прибавляются к этому результату.



Алгебраический знак каждого измеренного отрезка определяется углом между положительным направлением действительной оси и линией, соединяющей интересующий нас полюс с другим полюсом или нулем. Для полюсов и нулей, расположенных на действительной оси, этот угол будет равен либо 0° (знак +) либо 180° (знак -). Если имеется кратный нуль, то, для того чтобы определить соответствующий знак, следует угол между кратным нулем и интересующим нас полюсом умножить на число, равное порядку кратности. Применение уравнения (23-42) поясняется следующим примером.

Пример 23-11

Определить обратное преобразование следующих характеристических функций:

S -f- 1 S + I

F(s)-

s2 + 2s s (s + 2)

Эта функция имеет нуль в точке - 1 и полюсы в точке 0 и в точке - 2. Они показаны на рис. 23-16. Исходя из рисунка или таблицы 23-5,

•К/да

с- - S*l

-]и>

Рис 23-16. Диаграмма к примеру 23-11.

напишем обратное преобразование в математической форме следующим образом:

/а)=-А0 + А-е«1*;

из члена (s + 2) получаем а- - - 2; Аа и А-вычисляются с помощью уравнения (23-42) следующим образом.

При вычислении Д0, поскольку исследуемый полюс находится в начале координат, расстояния измеряются от нуля в точке -1 и от полюса в точке -2 до начала координат (т. е. будут положительными). Следовательно,

А ±i l А°- +2 - 2 •

Таким же образом /4.1 =

и, следовательно, окончательное решение будет: 1

применяется для случаев, содержащих много полюсов, для которых решение с помощью других методов заняло бы очень много времени. Как будет установлено, применение к полюсам, расположенным на действительной оси, следующих ниже количественных правил помогает оценить физический эффект при изменении положения полюса и нуля.

1. Когда полюсы сближаются, амплитуды членов, обусловленных этими полюсами, возрастают, и наоборот, для расходящихся полюсов амплитуды членов, обусловленных этими полюсами, уменьшаются.

2. Когда нуль приближается к полюсу, амплитуда члена, обусловленного полюсом, уменьшается, и наоборот, когда нуль отдаляется от полюса, амплитуда члена, обусловленного полюсом, возрастает.

Случай 2. Действительные полюсы и комплексно сопряженные нули, полюсы только простые.

Правила и метод, применимые для случая 1, применимы также и для комплексно сопряженных нулей. Дополнительное правило состоит в том, что расстояния следует брать от обоих нулей комплексно сопряженной пары до исследуемого полюса. Сумма углов, измеренных между линией, параллельной действительной оси, и вектором, направленным от каждого нуля к исследуемому полюсу, всегда будет 360°. Следовательно, алгебраический знак произведения двух членов от комплексно сопряженных нулей всегда будет положительным. Это показано на рис. 23-17.

+JU)


-а-*

-jtv

Хотя этот пример является простым, приведенным с целью объяснения, такая же методика

Рис. 23 17 Комплексные нули.

3. Комплексно сопряженные полюсы, полюсы только простые. Если имеются комплексно сопряженные полюсы (s = - а ± /<о), то появятся синусоидальные члены и тогда, кроме амплитуд постоянных величин, должен быть вычислен фазовый угол Ф. Кроме того, амплитуды умножаются на -, где и) - мнимая часть исследуе-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 [215] 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233



0.0072