Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 [216] 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233

мого комплексного полюса. Эти правила даются уравнениями (23-43) и (23-44):

произведение расстояний от каждого

1 нуля до исследуемого полюса

и произведение расстояний от каждого полюса до исследуемого полюса

(23-43)

где и - мнимая часть вычисляемой комплексно сопряженной пары.

В случае, если нулей нет, числитель равен единице. После того как для комплексно сопряженной пары полюсов вычислены постоянные, в качестве исследуемого полюса выбирается один из полюсов. Для того чтобы у Ф в табл. 23-5 был положительный знак, следует в качестве исследуемого полюса выбрать верхний сопряженный полюс. Расстояния и углы измеряются - от обоих комплексных полюсов других пар, которые могут существовать,

Ф = £Фпн-£ФПш (23-44)

гДе Фпн - углы между положительным направлением действительной оси и линиями, соединяющими исследуемый полюс с нулями; фпп - углы между положительным направлением действительной оси и линиями, соединяющими исследуемый полюс с другими полюсами (за исключением сопряженных полюсов).

Углы считаются положительными при вращении против часовой стрелки от линии, проходящей через полюс или нуль, параллельно действительной оси. Сумма углов векторов, соединяющих два полюса комплексной сопряженной пары с исследуемым полюсом, лежащим на отрицательной действительной оси, всегда равна 360° и, следовательно, произведение этих двух векторов всегда положительно.

Пример 23-12

Определить обратное преобразование функции передачи, показанной на рис. 23-18.


Рис. 23-18. Положение нулей и полюсов к примеру 23-12.

Решение

Исследуя рис. 23-18 и используя табл. 23-5, можно написать обратное преобразование следующим образом:

f (t) = Aie-+ А2 sin (to,* + Ф);

Az вычисляется с помощью уравнения (23-42), в качестве исследуемого полюса берется - аг;

(- £т) (Li) (Li) .

(U) (Lt)

А2 вычисляется с помощью уравнения (23-43), причем в качестве исследуемого полюса выбирается верхний сопряженный полюс:

1 (1Ь) (I.) (I,)

» (L1) •

Наконец, Ф вычисляется с помощью уравнения (23-44):

Ф = е5 + ве + в8-е3.

Случай 4. Кратные полюсы. Когда в передаточной функции встречаются кратные полюсы, они должны быть рассмотрены несколько отличным образом. Метод будет следующим:

1. Как и прежде определим положение нулей и полюсов преобразования выходного сигнала на комплексной плоскости.

2. Вычислим постоянные для каждого интересующего полюса, кроме совпадающих полюсов. Для полюса второго порядка эта величина будет равняться квадрату расстояний от совпадающего полюса до исследуемого полюса и будет иметь удвоенные углы.

3. Разнесем совпадающие полюсы на расстояние 8 вдоль действительной оси (сместим один полюс или, в случае комплексных полюсов, систему полюсов влево на расстояние S).

4. Из табл. 23-5 выпишем выражения обратного преобразования для разделенных полюсов, рассматривая каждый полюс как простой.

5. Вычислим амплитуды и фазы постоянных для каждого из разделенных полюсов, учитывая коэффициент 8, где бы он ни появился.

6. Чтобы вычислить выражения, полученные в п. 5 для амплитуд и фаз постоянных величин, устремим 8 к нулю. Остаток в каждом случае является требуемой величиной.

Замечание. Чтобы получить предел от неопределенных выражений типа 0/0 и оо/со, продифференцируем числитель и знаменатель по 8 и затем устремим 8 к нулю. Если результат все еще будет неопределенным, продифференцируем столько раз, сколько потребуется, устремляя о к нулю после каждого дифференцирования до тех пор, пока не получится конечный результат (или нуль).

Прежде чем брать предел, можно исключить члены второго и более высоких порядков относительно о. Полученное таким образом окончательное выражение должно иметь вид, показанный в табл. 23-6 для полюсов второго порядка кратности. Для полюсов более высоких порядков кратности добавляются члены, подобные членам основного вида для простого полюса, но содержащие с2, tz..., tm~l. Если т - порядок кратности полюса, то m - 1 есть наивысший показатель степени t, в выражении будет т членов.



Таблица 23-6 Обратные преобразования для полюсов второго порядка кратности

f(t)

A0 + A-t

(S + а)2

A-e~at -f Ле-"

(S2 +

A0 sin (o>* 4- Ф„) 4- Att sin (g>* 4- Ф-)

A0 sin (tt>f 4- ф0) e~at -\- A-t sin (ш* 4- Ф e~at

Например, обратное преобразование для полюса третьего порядка кратности, лежащего в точке - аь может быть сразу написано исходя из вышеприведенного рассуждения следующим образом:

/(/)= А0е-+ Aite

-ai*4- Аеа- (23-45)

Если существует только одна группа совпадающих полюсов, то часто можно избежать смещения мнимой оси к этим полюсам до их разделения. Обратное преобразование может быть тогда исправлено путем умножения каждого члена на e~at, где а - расстояние вдоль отрицательной действительной оси.

Пример 23-13

Получить обратное преобразование функции, показанной на рис. 23-19, а.

+0

Рис 23-19. Диаграмма к примеру 23-13 с разделенными полюсами.

а - положение полюса и нуля; б - положение разделенных полюсов, / - полюс второго порядка.

Решение

1. На рис. 23-19, а показано расположение нулей и полюсов.

2. На рис. 23-19, б совпадающие полюсы показаны разделенными.

3. Для разделенных полюсов выражение обратного преобразования, взятое из табл. 23-5, будет следующим:

f(t) = A0+A-e-H+ А,е-а<

4. Полюс в точке - а2 является несовпадающим полюсом. Постоянная Л», обусловленная этим полюсом, вычисляется с помощью уравнения (23-42):

( - а2)2

5. Выражения для амплитуд постоянных величин, полученных в результате разделения полюсов, будут следующими:

Л0 =

оа2 " (- о) (а2 - о) 6. Следовательно, полное выражение будет.

+ [(-»)1(а,-»)]

Комбинируя члены, содержащие 8, получим: а-

Ва» В (6 - а2) а) (8 - «2) 4" а2 (а

(<*i-8) g-St

о (о- а2) а2 Ва, - otia2 -j- а-а$е~~" - Ва2

В2а„ - оа

Исключая член с В2 и беря предел, получим неопределенность

lim Г 5ai - "ia2 4-aiasg и+Ьа%е

5-0 L - 8aI J

Дифференцируя числитель и знаменатель по о раздельно и беря предел, получим.

-Ы „ - <t

lim Г.

5-.0 L

- toL]a*e

r«2g-5<j„

aj - *aja2

Следовательно, окончательный результат будет:

fit)--

(a2 - a,) -\- a-at 4" (ai - aa) e

Пример 23-14

Получить обратное преобразование следующей функции:

F{s) =

[(s4-«i)24-«j]2

На рис. 23-20, а показаны полюсы и нули. На рис. 23-20, б показаны сдвинутые полюсы и нуль. На рис. 23-20, в сдвинутые нули показаны разделенными расстоянием В. Из табл. 23-5 обратное преобразование сдвинутых и разделенных между собой полюсов будет:

/(0=H1sin(<o1r+ Ф,) + 4- А2е

8мп(<о,г +Фа)] e~"lt.



+jui

2-го порядка-ж---

i i i

-а-ф-

2-го порядка-

2-го порядка - ;; +/«/,

О- +а

2-го порядка

rjul

Рис. 23-20. Диаграмма к примеру 23-14 со смещенными и разделенными полюсами, -полюса и нуль функции F (s); б - смещенные полюса и нуль; в - смещенные и разделенные полюса и нуль.

Постоянные Ль Л3 определяются из уравнения (23-43):

- <*i 1

Й1 =

to1o(634r4wf)1/2 8(о24-4и2)

(s2 + «f)1/2

o>io(&2 -4Г4«2)1/2

Постоянные Ф! и Ф3 определяются из уравнения (23-44):

= + 90° - arctg - 0; lim Ф1 = + 90° - 90° - 0° = 0;

S-,0

Ф2 = - arctg + arctg 2 - 180°

lim Ф2 =

J-.0

180°

Выражение для f (t) становится:

Sin Wji

2 + 4«)l/2

sin (<oif - 180°)

Wl8 (82 4- 4И2)1

Приводя члены в квадратных скобках к общему знаменателю и упрощая, получим:

fit)

Г">1

sin w.i

14-aj)1/-8 sin и

М1Ь(82 4- 4и2)1/2

- a 1 г

Так как это выражение стремится к нулю, когда 8 стремится к нулю, необходимо продифференцировать1 по 8 числитель и знаменатель. После исключения членов с б2 и дифференцирования получим:

f(t)= lim sin j?-* /е~"Я1< sin e-,0 2wf 2<*i

23-6 5. Соотношение между положением полюса и функцией fit). Из § 23-6в и 23-6г можно видеть, что положение на комплексной плоскости полюсов передаточной функции системы определяет общую временную характеристику на выходе. В табл. 23-7 дается краткая

сводка соотношении между положением полюсов на комплексной плоскости (aja) и характеристикой цепи, представленной в виде функции действительной переменной, времени.

23-6 е.. Краткое изложение методики решения задачи цепи с помощью методов преобразования. Для того чтобы суммировать сведения по применению преобразования Лапласа, ниже излагаются в общих чертах основные этапы, необходимые для полного решения задач цепи с сосредоточенными постоянными.

1. Описываем работу схемы, применяя уравнения, составленные по методу контурных токов или по методу узловых напряжений.

2. Преобразуем уравнения цепи к комплексному виду. Этот этап состоит в получении преобразования приложенных сигналов из табл. 23-4 или с помощью уравнения (23-30).

3. Решаем полученные уравнения относительно искомых неизвестных. Решаем с помощью определителей или другого алгебраического метода уравнение относительно искомого неизвестного напряжения, тока, полного сопротивления и т. д. Результирующим выражением Для неизвестной величины будет рассмотренное ранее преобразование выходного сигнала.

4. Исследуем полюсы характеристики преобразования для того, чтобы определить вид характеристики цепи как функции времени. Этот этап заключается в определении корней знаменателя характеристики преобразования путем использования табл. 23-4 - 23-7.

5. Для полного количественного решения получим обратное преобразование выходного сигнала. Это можно получить для простых случаев непосредственно из табл. 23-4, а для других случаев - с помощью разложения на простые дроби или с помощью графического метода, изложенного в § 23-6 г.

Функции A (s)/B (s), полученные путем решения уравнений контурных токов или узловых напряжений после преобразования в комплексную форму, содержат полюсы для каждого корня знаменателя В (s). Если в системе имеется много реактивных элементов, то степень этого полинома может быть очень высока. Для решения уравнений четвертой степени или выше рекомендуется метод квадратного корня Грэфа [Л. 8] или метод геометрического места корней, рассмотренный в § 18-5 д.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 [216] 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233



0.0382