Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 [220] 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233

23-14 в. Повторное сопротивление. Если полное входное сопротивление четырехполюсника с присоединенной нагрузкой равно полному сопротивлению нагрузки, а полное сопротивление в сторону четырехполюсника со стороны выходных зажимов с включенным генератором равно полному сопротивлению генератора, то такое сопротивление нагрузки называется повторным1. Другой характеристикой, которая вместе с повторным сопротивлением полностью определяет поведение четырехполюсника, является повторная постоянная передачи Р. Повторная постоянная передачи может быть определена как натуральный логарифм отношения токов на входе н выходе четырехполюсника, нагруженного на обоих концах по принципу получения повторного сопро-

Это более общий случай, чем решение, полученное из рассмотрения i схемы. Если

-эке - Zz-\-Zb - Zt-\- Zi,

то четырехполюсник может быть полностью-определен только двумя переменными: Z3kbh Z3.

Пример 23-22

Вычислить характеристические сопротивления и характеристическую постоянную передачи для четырехполюсника (рис. 23-38).

Решение

Для характеристического сопротивления

Р, &

Р? %х2

-о о-

р=р,*р,+р}

Рис. 23-36. Четырехполюсники, соединенные каскадно иа основе повторного сопротивления.


Рис. 23-37. Схема к примеру 23-21.

тивлеиия. Величина Р в общем случае является комплексной величиной, состоящей из действительной части (затухание в неперах) и мнимой части (сдвиг фазы в радианах):

Из уравнений (23-72) и (23-73)

Р = 1п

(23-77)

Если четырехполюсники, включенные покаскад-но, нагружены на свои повторные сопротивления, то в каждом соединении будет существовать рассогласование, но общая постоянная передачи будет равна сумме постоянных передачи каждой секции. Это поясняется на рис. 23-36.

Пример 23-21

Определить необходимые соотношения между элементами четырехполюсника (рис. 23-37), для того чтобы он был симметричным.

Решение

Из схемы видно, что четырехполюсник будет симметричным, т.е. Zh=z23, при условии, что Z, = Z3 и Zi = Z5. Интересно, однако, исследовать возможность получения других решений. По определению для симметричного четырехполюсника

Ди = Д22.

Из рис. 23-37

(Z. + Z. + Z.) (Z,)

An = Z2 + Z3-f Z5; Отсюда для симметрии Z3 + Z5 =

(Z.)

(Z, + z3 + Z.)

д22 = z, -f z2 + z4.

Z, + Zi.

г Нагрузочное сопротивление, подобранное так, чтобы входное сопротивление четырехполюсника повторило величину этого сопротивления, называется повторным. См. Н. А. Баев и А. П. У д а л о в, Лекции по теории цепей с сосредоточенными параметрами, Связьиздат, 1955. (Прим. ред.)

Z/4- IZX.X-ZK

Zj2 - T*Zx.x2ZK.33 -

2, i ЮОом. гВОом. n


Рис. 23-38. Схема к примеру 23-22. Исходя из рис. 23-38, Zx.xi = 100 + 300 = 400 ом;

Z..3! = ЮО + 1°°:3° = 220 ом;

200 + 300" Zx х. = 200 + 300 = 500 ом;

Z,3S = 200 4- 100-300

100 + 300

=275 ом.

Следовательно:

Z/, = У400 • 200 = 297 ом = Zm; Zu == У500 • 275 = 371 ом = Z„.

Из уравнения (23-74)

ihe = fz5=ffo = W

th0 =

. 1 4- е-в - е-в = 0,74ев 4- 0,74е~в; О,26е0 = 1,74е в; 2в =1Д4 =

0,26 * 2в = 1п 6,7= 1,9; в = 0,95 неп.



23-15. МАТРИЧНЫЕ МЕТОДЫ

Матричная алгебра является системой математической стенографии, которая может быть применена для записи системы уравнений в очень компактной форме и для выполнения опре-деленным образом действий над ними. Матрица представляет собой упорядоченную таблицу коэффициентов, расположенных по строкам и столбцам. Когда матрицы применяются к цепям, они могут описывать физическую конфигурацию цепи посредством расположения и типа коэффициентов матрицы. Матрица это не определитель, так как она представляет собой просто таблицу коэффициентов последовательно написанных уравнений и не является комбинацией уравнений, как определитель. Матрица не имеет «величины» и не может быть вычислена с помощью методов, применяемых для определителей. В матрице число строк и столбцов необязательно будет одинаковым. Матрица системы линейных уравнений образуется с помощью таблицы коэффициентов системы. Рассмотрим следующую систему уравнений:

апх1 4- апх2 = у-; )

(23-78)

a2i*i 4~ а22х2 = у*. )

Матрица из коэффициентов при Xi и х2 в этой системе уравнений образуется следующим образом:

a = [aiiais. (23-79)

II «21 «22 I

Двойная линия обозначает матрицу.

23-15 а. Умножение матриц. Две матрицы могут быть умножены так, что образуют третью матрицу следующим образом:

(23-80)

где сп = aii*ii 4- a-J)--; c,2=-a-1b13Ar a12b22, с21 = ащЬп -\- a22b2l; с22 = а21Ь12 4- a22b2i!. Это умножение производится по следующему общему правилу:

Коэффициент Cjfi в матрице, определяющей произведение двух матриц, образуется умножением /-й строки первой матрицы на k-ц столбец второй матрицы. Строки умножаются на столбцы, образуя сумму произведений первого элемента строки на первый эле мент столбца, второго элемента строки на второй элемент столбца и т. д. Умножение матриц обозначается так-

а х Ъ = с, (23-81)

где ajk обозначает матрицу anai2... alk

an a it J

Гц cla

а-- а221

C2i c22

«2ia2

.a-k

Умножение матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону, т. е.

а X Ь b X а. (23-82)

ап а12

Q2i а22

Сложение матриц подчиняется переместительному закону, т. е.

а 4- Ь = Ь 4- а. (23-83)

Умножение матриц подчиняется сочетательному закону, т. е.

a (b X с) = (аХ Ь) с. (23-84)

Сложение матриц подчиняется сочетательному закону, т. е.

а 4- (ft 4- с) = (а + Ь) 4- с. (23-85)

Метод определения порядка умножения будет рассмотрен позднее. Чтобы умножить матрицу а на постоянный множитель к, нужно каждый коэффициент матрицы умножить на k\ матрица произведения обозначается как ka.

23-15 6. Матричные уравнения. Уравнение (23-78) может быть выражено в следующей матричной форме:

1 " (23-86)

Применяя правила умножения к уравнению (23-86), получим:

(an*i + ai2*2) = * (a»iX, -\- а22х~) у2\\ v

Знак равенства в матричном уравнении показывает, что матрицы с каждой стороны от знака равенства равны поэлементно. Следовательно,

aliX- + a-%x,=y-;\ ва1лг, -{- a2tx2-=y2.)

Получим систему уравнений (23-78), что указывает на справедливость такой интерпретации матричных уравнений (23-86) и (23-87).

Рассмотрим две следующие системы уравнений и соответствующие им матричные уравнения:

а--х- 4- а12х2 + апхг =yi 1

a2,Xi 4- ««2*2 4- а2Ьх- =у2 > (23-89)

«8i*i + аз2*2 + аг-хг=у- )

а X х = у

biiyi-)r b--y2-\-b--y--b2iyi + Ь2!!у2 + Ь2-у3-

ЬыУ1 + ЬъаУа 4- *ззЛ =

b X у = z.

(23-90)

Если необходимо определить простыми алгебраическими методами соотношение между членами х уравнения (23-89) и членами г уравнения (23-90), то уравнение (23-89) должно быть подставлено в уравнение (23-90), что весьма сложно. Те же результаты можно получить в матричной форме, подставляя у в матрицу (23-90) из эквивалентного выражения, определяемого уравнением (23-89):

(23-91)

апа12а-~

b21b22bS3

«21«22«»3

b3ibs2bis

«31«3l>«33

b X ax x = z.



-----

Матричные операции образуют аппарат, необходимый для решения систем линейных уравнений.

23-15 в. Обращение матрицы (транспонирование). Если в уравнении (23-89) требуется выразить члены х через у, то результат можно почучить, переписав уравнение (23-89) следующим образом:

(23-92)

х = a~l X у.

Матрица а-1 называется матрицей, обратной а. Обратная матрица может быть получена только для квадратных матриц (число строк равно числу столбцов), удовлетворяющих следующему условию: величина определителя, образованного из коэффициентов матрицы, не должна быть равна нулю. Обратная матрица получается следующим образом:

1. Заменить в определителе lal, образованном из соответствующих коэффициентов матрицы а, каждый элемент на его минор. Минор элемента а есть определитель, образованный путем вычеркивания /-Й строки и k-то столбца.

2. Разделить каждый минор на определитель \а\.

3. Поменять местами строки и столбцы.

В качестве примера рассмотрим матричное уравнение г, полученное из уравнений контурных токов в цепи, и - zi. Чтобы получить решение для токов, выраженное через напряжения, должно быть решено матричное уравнение i = г 1и. Обращение матрицы г для трех-контурной цепи получается следующим образом:

*ll2l2*13 21-22*23 *31*32*33

После выполнения пп. 1 и 2 получим в результате:

222%

221223

*2l222

за-зз 1

г31233

1 *31*32

3233 1

3133

1 Z 1

1213 !

2liZi3

I *ll2i2

гз-зз I

22lZ28

1 22i«<,2 1

д,2 д

Д22 Д23

д д

>

Дз2 Д

" Д

д д

(23-94)

(23-95)

где Д = г и Дд. - минор Д относительно элемента jk. Меняя взаимно местами строки и столбцы, получим:

Ди Aju Ajh \ Д Д Дм Д3 s Д Д Д

д13 Дзз Дуз Д Д Д

=-у, (23-96>

и окончательный результат будет:

«2

Ди Л

Д2з А

Дзз А

«з

(23-9")

Заметим, что матрицы полного сопротивления л полной проводимости данной цепи являются обратными.

Контур 2 Я2 L3 TS La HS

Контур 1

Рис. 23-39. Схема к уравнению (23-98).

На рис. 23-39 показан четырехполюсник, а уравнение (23-98) определяет соответствующую матрицу полного сопротивления:

(23-93)

№ + Л + *.) + s (Li + Ls) + S/s] № т-S/s]

(/?з + Л4 + Л.) + s (L, + L«) + v

.(23-98)

Единичная матрица Л определяется как квадратная матрица с диагональными элементами, равными единице, и всеми другими элементами матрицы, равными нулю. Например, единичная матрица четвертого порядка будет:

I О О О 0)00

0 0)0

0 0 0 1

(23-99)

Произведение матрицы па ее обратную матрицу равно единичной матрице.

23-15 г. Сложение и вычитание натрии. Матрицы складываются и вычитаются путем сложения и вычитания соответствующих коэффициентов. Например:

(23-100)

«11я12

к 11*11*12

021-222

1 11*21*22

(«11 J- *ll)(«13 ± *12> (#21 ± *2l) (#22 ± *22)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 [220] 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233



0.0087