Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 [221] 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233

23-15 д. Дифференцирование и интегрирование матриц. Матрицы можно дифференцировать и интегрировать, дифференцируя или иь-тегрируя каждый коэффициент.

23-15 е. Матрицы простых четырехполюсников. Для того чтобы облегчить понимание метода, с помощью которого составляются матрицы, будут рассмотрены простые четырехполюсники (рис. 23-40). Уравнения, описываю-

иг г


<0


Рис. 23-40. Простые четырехполюсники

щие поведение этих четырехполюсников, могут быть написаны несколькими путями. Один общий метод описания всех четырехполюсников дается уравнениями (23-101) (см. § 23-14):

h = CU- + Dl

(23-101)

Эти уравнения могут быть выражены в матричной форме:

(23-102)

Для того чтобы определить коэффициенты матриц четырехполюсников (рис.23-40), рассмотрим следующий пример. Из рис. 23-40, а заметим, что когда 72 = 0, Ui = Us и, следовательно, А = 1. Когда U2 =0; U- - ZI2 и, следовательно, В = Z. Когда Is = 0, Ii= 0 и, следовательно, С = 0. Когда U2 =0, Ii = 12 и, следовательно, D - 1. Следовательно, матрица четырехполюсника, изображенного на рис. 23-40, а, будет:

й R I 1 1 7 I

(23-103)

А В I

С D\

я уравнение (23-102) становится:

,Ui I Ii

1 Z 0 1

и2 h

(23-104)

которое может быть развернуто в виде t/, = f/3-t-Z/a; \ A=/s. J

(23-105)

Рассуждая подобным же образом, можно показать, что матрица четырехполюсника, показанного на рис. 23-40, б, будет следующей:

(23-106)

Четырехполюсник, изображенный на рис. .23-40, б, можно рассматривать как три простых,

показанных на рис. 23-40, а и б четырехполюсника, соединенных покаскадно. Следовательно, полная матрица будет равна произведению матриц:

А В С D

1 0

ja>L

(23-107)

Произведение первых двух матриц равно:

1 0

г -0

ju>L

Произведение (23-108) и последней равно:

(23-108)

матрицы

1 Я 0 1

(23-109)

(23-110)

Это приводит к

• J Il (Я 4- >!)/? (2М + /?) I уш/, 1 j"-L 4- /? I

На рис. 23-40, а показан идеальный трансформатор, с коэффициентом трансформации между первичной и вторичной обмотками, равным 1 : Л.

Матрица этого четырехполюсника будет

(23-111)

Матричные методы дают основу для очень удобного метода определения полной переходной функции, т. е. UJUi, для четырехполюсников многих типов. Четырехполюсник разделяется на ряд простых элементов, соединенных покаскадно. Матрицу каждого элемента обычно можно написать исходя из схемы или используя предыдущие примеры. Для того чтобы получить полную матрицу произведения, отдель-

1 0

0 а


Рис. 23-41. Четырехполюсник лестничного вида.

ные матрицы перемножаются. Полная функция передачи получится, если взять обратную величину коэффициента А в матрице произведения (при этом предполагается, что дополнительной оконечной нагрузки не существует). Применяя этот метод к цепи (рис. 23-41), по-

(23-112)

1

Bs 1

Ds \



Подставляя величины отдельных матриц, получим:

1 Ri о 1

1 О sCi 1

1 У?а 1 0 1 А В О 1 Х jsC2l j CD (23-113)

В результате умножения отдельных матриц будем иметь:

[(1 + sRtCi) (1 + sRsCs) -f- s/V3] х X [/?,(- +sR1cl) + Rl] [sd (1 4- s/?2C2) 4- s2CiC2] X

X [stfaC.-t- 1]

(23-114)

отсюда переходная функция будет: t70 = J =

- s* (#./?2C,C2) -г- s (Rid 4- Я2С2 4- У?,С8) + 1 (см. табл. 1-4).

23-16. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

23-16 а. Соотношения между эквивалентными Т- и П-образными четырехполюсниками. Любая несимметричная цепь Т- или П-образной формы может быть заменена соответственно эквивалентным П- или Т-образным четырехполюсником. Хотя преобразование от Т-образной схемы к П-образной и обратно является совершенно общим, это преобразование не обязательно будет приводить к цепи, которая точно воспроизводит поведение первоначальной цепи во всем диапазоне частот. В месте с тем на одной частоте физически осуществимая схема может быть всегда получена и часто может быть получена схема, которая будет справедлива в интересующем диапазоне частот.

Т- и П-образные четырехполюсники показаны на рис. 23-42. Часто возникает необходи-


Рис. 23-42. Т- и П-образные четырехполюсники.

мость преобразовать Т-образный четырехполюсник в эквивалентный ему П-образный четырехполюсник и обратно. Необходимые при этом соотношения приводятся ниже. Преобразование П-образного четырехполюсника в Т-образный:

Z2 =

zA + zB 4- zc

2 a zc

Zд + zb + Zc

Z3 =

za "t~ zb + Zc

(23-115)

(23-116) (23-117)

Преобразование Т-образного четырехполюсника в П-образный:

ZiZ2 4- Z2Z3 4- Zi-

Z» =

ZR=-

z-z2 4- z2z3 4 zx.

Zr =

z1z2-bz2z34-ZiZ3

(23-118) (23-119) (23-120)

Если четырехполюсники симметричны, то полное сопротивление с каждой стороны четырехполюсника одинаково и эквивалентный Т- или П-образный четырехполюсник может быть выражен только через две независимые переменные. Когда два четырехполюсника эквивалентны, добавление одинакового полного сопротивления между входными и выходными зажимами каждого четырехполюсника не приводит к нарушению эквивалентности. Далее, добавление одинаковых оконечных полных сопротивлений не изменяет эквивалентности ненагруженных четырехполюсников. Элементы Т- и П-образных четырехполюсников могут быть выражены в значениях измеренных полных сопротивлений холостого хода и короткого замыкания или проводимостей. Выражения будут следующие: Для Т-образного четырехполюсника

Zx.xi - Zi

Zksi = Zi 4" " Zx,

- Z3; Z2Z3

Zs + Z:

-- Z, + Z3;

z-z,

Zi + Zt +

(23-121) -; (23-122) (23-123) Za, (23-124)

где Zx.xi - полное сопротивление на зажимах 1-V, когда зажимы 2-2 разомкнуты;

ZK.3i - полное сопротивление на зажимах 1-1, когда зажимы 2-2 замкнуты накоротко;

Zx.xs - полное сопротивление на зажимах 2-2, когда зажимы 1-1 разомкнуты;

-2к.з2 - полное сопротивление на зажимах 2-2, когда зажимы 1-1 замкнуты накоротко;

Zi - Z*x.xi ~ VZX.X« (Zx.xi - ZK.,i); (23-125) Z2 = Zx.x2 - KZX.X2 (Zx.xi - ZK.3i); (23-126)

(23-127)

Zs- TZx.x2 (Zx.xi ZK.3i). Для П-образного четырехполюсника ZB(ZA+ZC)

Zx.xi -

Zk.4 l -

za 4~ ZB -f - Zc Zb Za

(23-128)

Zx.\s - у

ZB +Za Zq (za + ZB)

Zk.32

(23-129) (23-130) (23-131)

аГ~7 Tt у \~ (23-132)

a t Zp, 4" Zq

Zq Za

zc -vzA



2С =

YZx.x2 (ZX.XI ZK.3l)

Zx.x?ZK.3i

VZx.y.% (zx.xi - zK.3i)

; (23-133)

. (23-134)

23-16 6. Уравновешенные T- и П-образньт четырехполюсники. Если необходимы уравне-


ние. 23-43. Уравновешенные Т- и П-об-разные четырехполюсники.

•вешенные четырехполюсники, т. е. симметричные относительно земли, то могут быть использованы четырехполюсники Т- и П-образных конфигураций (рис. 23-43). К этим уравновешенным структурам могут быть также применены уравнения (23-115)-(23-134).


Рис. 23-44 Общий четырехполюсник скрещенного типа.

23-16 в. Структуры скрещенного типа 1. Четырехполюсники скрещенного типа (рис. 23-44) могут быть приведены к эквивалентным Т- и П-образным четырехполюсникам. Ниже


Рис. 23-45. Симметричный четырехполюсник скрещенного типа и симметричный Т-образный четырехполюсник.

даются соотношения для эквивалентного Т-об-

разного четырехполюсника:

ZAZC

+ ZAZD " 2 + ZBZD

z2 =

z8 =

ZAZB

- ZB + zc + ZD

- 2Z AZD + Zc ZD

Z A + ZB + ZC T~ ZD

?BZC

ZAZD

ZA+ZB 4 zc +ZD

(23-135) (23-136) (23-137)

1 О передающих свойствах мостового и параллельного Т-образньах четырехполюсников см. § 16-2.

Как показано на рис. 23-45, структуры скрещенного типа являются симметричными и уравновешенными, когда ZА = ZD, ZB= Zq. Симметричные четырехполюсники скрещенного типа могут быть преобразованы в симметричные Т-и П-образные четырехполюсники и обратно. К Т-образным четырехполюсникам применимы следующие уравнения преобразования.

Преобразование симметричного четырехполюсника скрещенного типа в симметричный Т-образный четырехполюсник:

Z--=-ZA; (23-138)

(23-139)

Величина ZB-ZА должна быть физически осуществимой. Преобразование симметричного Т-образного четырехполюсника в симметричный четырехполюсник скрещенного типа:

(23-140) (23-141)

= Zi, Z- 4- 2Z3.

При преобразовании симметричного четырехполюсника скрещенного типа в симметричный П-образный четырехполюсник параллельные плечи П-образного четырехполюсника имеют сопротивления, равные полному сопротивлению Zyj четырехполюсника скрещенного типа,

последовательные плечи имеют сопротивление, равное сопротивлению 2ZA ZB/(ZB-ZA), образованному элементами четырехполюсника скрещенного типа. Последний член должен быть физически осуществим.

Пример 23-23

Получить эквивалентные Т- и П-образные четырехполюсники для индуктивно связанной цепи, показанной на рис. 23-46. Предположим, что взаимная связь положительна.

Решение

Хотя уравнения эквивалентности выражаются через полное сопротивление, единственными элементами цепи, входящими в эту задачу, являются только индуктивности, и, следовательно, уравнения могут быть выражены непосредственно через величины индуктивностей следующим образом.

Для Т-образного четырехполюсника:

Из уравнения (23-125)

1-1 - Х.Х1 Т-Х.Х- (-X.Xl K.3t)-

Из уравнения (23-126) Z-2 = LX<X2 1*7,Х,Х2 (7.х.Х1 -~ Lj-.-ii).

Из уравнения (23-127)

У-X.XS (Lx.Xl -K.3l)-

Исходя из рис. 23-46, а,

*-x.xi



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 [221] 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233



0.0162