Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 [222] 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233

Эквивалентные размерности

Таблица 23-9

Величина

Обо-

Величина

Обозначе-

значе-

Размерность

Размерность

Емкость............

Заряд ..............

Линейная плотность заряда

Поверхностная плотность заряда ............

Объемная плотность заряда

Проводимость.........

Удельная проводимость. . .

Ток...............

Плотность тока........

Диэлектрическая постоянная ..............

Смещение (плотность электрического потока). . . .

Величина, обратная емкости .............

Напряженность электрического поля.........

Электрический поток . . . .

Энергия (работа).......

IL-lT

1L~ST

£

R~lL~lT

IL-*T

R/L~l

Частота...........

Сила.............

Индуктивность......

Напряженность магнитного поля........

Магнитный поток.....

Плотность магнитного потока..........

Масса............

Магнитодвижущая сила .

Магнитная проводимость

Магнитная проницаемость ...........

Мощность .........

Магнитное сопротивление ............

Удельное сопротивление

Сопротивление ......

Время............

Напряжение (разность потенциалов)......

р-1

R1-L-4

L, М

RIL-4

RISL-*T*

RL-T

RlT1

Следовательно: L

LS[LP-LU -. j = M\

L2 = LS - M;

Li - L„

M.

Для П-образного четырехполюсника: Из уравнения (23-1)8)

LiL« -f- /.о/.., + L3Lt

(LP-M)(LS-M)+(LS- M)M+(LB-M)M M

LpL. - M* M

23-17. АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТИ

Все 1 величины, применяемые в электротехнике, выражаются через четыре «основные» величины. Эти величины, т. е. масса, длина, время и магнитная проницаемость, часто принимаются за единицы размерности в механике, однако в электрических системах более приемлемыми являются следующие четыре величины: сопротивление R, ток I, длина L и время Т. Могли бы быть выбраны и четыре другие величины; в этом случае сопротивление, ток, длина и время были бы определены через эти величины. Но имеются причины для вышеуказанного выбора, поскольку эти величины должны измеряться с помощью очень точных эталонов. В табл. 23-9 приведены некоторые электрические величины и формулы их размерностей.


г 1 г 1 г

Ч L2

i-0 0.

6) в)

Рис. 23-46, Эквивалентные связанные цепи.



Из уравнения (23-1)9)

. L + LvLs + LtLj Z.Lt -М3

LB-- I.. - M •

Из уравнения (23-120) . LjL« -f- L«Lg -f- 7.3Z-i

LpLs - M2

Lp-M

Пример 23-24

Найти выражения для размерностей следующих величин:

1 Исключая температуру.



Величина

Определяющее уравнение

Размерность

Коэффициент усиления . . .

Крутизна............

Фаза..............

Индуктивное сопротивление Емкостное сопротивление .

р. = S =


const

с / иа = const

6= a>t

X, = j*L

хс~~с

-. безразмерная R

-R-

~Y безразмерная RT

Т ~ - TR R

R

Пример 23-25

Проверить справедливость выражения, данного ниже, с помощью анализа размерности.

/=--= ; в размерностном выражении

2я у LC

Г-1 = (/?77? 1Г) 2 или Т~х = Т-\

Уравнение по размерности является правильным.

23-18. Tt-TEOPEMA БУКИНГЕМА

я-теорема Букингема полезна при определении вида математического соотношения между рядом физических величин. Теорема поясняется с помощью следующей методики и иллюстративного примера.

1. Постановка задачи. Определим выражение для резонансной частоты контура LC.

2. Определим из наблюдений или по заранее известным данным параметры, от которых зависит неизвестная величина.

3. Выразим из табл. 23-9 все величины в размерностном виде-

f-T~l\ L = RT; C = R-lT.

4. Пусть m равно числу различных основных единиц (сопротивление, длина, время и ток), необходимых для пункта 3:

m = 2(R и Г).

5. Пусть п равно числу всех величин, входящих в задачу:

п = 3(/, L и С).

6. Образуем произведение п величин, задавая показатель степени каждому множителю. Если выбрать показатели степени для f, L и С как соответственно и, v, w, то произведение величин с их показателями степени будет:

k = (/)" (Lf (C)w,

1де k означает произведение и должно быть безразмерным.

7 Подставим размерности величин из п. 3

k=(T)"-(RTf(RlTf.

Если k должно быть безразмерным, то сумма показателей степени каждой единицы размерности должна равняться нулю.

8. Напишем уравнение для каждой основной единицы размерности следующим образом:

а) Умножим показатель степени основной единицы размерности в каждом члене на буквенный показатель степени, приписанный этому же члену.

б) Сложим результирующие произведения от каждого члена.

Для основной единицы Т

а для R

гг) = 0,

= 0.

9. Ряду показателей степени из числа (п - пг) может быть приписано произвольное значение, так как уравнений меньше, чем неизвестных. Произвольные значения необходимо выбрать так, чтобы определитель уравнении не стал равным нулю. Для оставшихся неизвестных найдем решения:

п- m = 3

Следовательно, можно задать величину и, v или ш. Так как желательно получить выражение для f, то положим и - - 1. Решая для и и w, получим:

и = w; 1 + 2v = 0;

2 W = "Y-

10. Перепишем уравнение, полученное в п. 6, с численными величинами для показателей степени, определенными в п. 9, и решим относительно искомой неизвестной:

= Llh-CT 1/2 = const = k.

Следовательно, при k : выражение

2т. получаем известное

V LC



23-19. АЛГЕБРА ЦЕПИ

Значительная часть алгебраических выражений, встречающихся при выполнении расчета электрических цепей, возникает как результат того обстоятельства, что многие возбуждаемые токи и напряжения являются либо синусоидальными по форме, либо могут быть представлены в виде ряда синусоидальных гармонических составляющих. Основные величины, определяющие синусоидальное напряжение, показаны на рис. 23-47, а. Изменение амплитуды можно выразить как функцию угла 6 следующим образом:

х

= A cos 6; > . = A sin 6; /

(23-142)

(23-143)

где Т - период синусоиды.


a) ~af

Рис. 23-47. Синусоидальная функция.

Из уравнений (23-142) и (23-143} можно видеть, что величины х и у могут быть выражены в графической форме как абсолютные величины проекций соответственно на горизонтальную и вертикальную оси отрезка линии длиной А, повернутого на угол 6 от горизонтальной оси. Это представление показано на рис. 23-47,6.

23-19а. Математические формы комплексных величин. При представлении синусоидальных электрических величин с помощью вектора А (отрезок линии А с угловой координатой 0), показанного на рис. 23-47, б, необходимы аналитические средства для поворота вектора вокруг начала координат. Для этой цели используется математический оператор /. Если вектор умножается на ± /, то он поворачивается на ± 90°, при этом абсолютная величина вектора остается неизменной. Если вектор С умножается дважды на /, то результирующий вектор /2С будет повернут на 180° от первоначального положения вектора С. Так как отрицательный вектор имеет ту же самую величину, но направлен в противоположном направлении, то/3 = = - 1 или

(23-144)

Третье умножение на / будет поворачивать вектор С на 270° от основной оси и обозначается - /С. Умножение на / поворачивает векторные величины против часовой стрелки. Умножение на -/ поворачивает векторные величины по часовой стрелке.

Декартова форма. Величина вектора может быть выражена как сумма двух векторов, расположенных под углом 90°, причем один из составляющих векторов лежит на

оси х, а другой - на оси у. Это может быть выражено так:

A = x + jy; (23-145)

\А I = (23-146)

Вд = arctg

(23-147)

Если уравнения (23-146) и (23-147) решить относительно х и у, то получатся следующие соотношения:

х - А ! cos 6; у = Л sin е.

(23-148) (23-149)

Следовательно, поскольку вектор у повернут на 90° против часовой стрелки относительно вектора х, выражение для А может быть переписано так:

А = А ! (cos б -f j sin 6), (23-150)

где зиак плюс означает вращение вектора А против часовой стрелки.

Показательная форма. Векторные величины могут быть выражены в показательной форме с помощью следующего соотношения:

efi = cos 0 + j sin 8.

(23-151)

Следовательно:

А = A j (cos 6 -ф- j sin I

) = \A\efl. (23-152)

Полярная форма. Уравнение (23-150) может быть также выражено в полярной форме:

Л = Л<?/е = А бл. (23-153)

23-196. Математические операции с комплексными величинами. При выполнении расчетов цепи должны быть выполнены соответствующие математические операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корней и логарифмирование. Трудность выполнения указанных операций во многомзависит от выбранной формы комплексных чисел. Это поясняется следующим примером. Если

Л = а + ja = 1 Л ! евА = А \ 16д;

B = b + jb= \В\ евв = в [ бв;

С = с + ус = 1Сес= Сбс,

A + B + C = (a + b + e)+j(a, + b+c<);

(23-154)

А + В + С=\ yja~+b + c)* + (a+b, + c,)\

(23-155)

А+В+ С=\ У(а + Ь + су- + (а + Ь + с)\\в,

(23-156)

e=arctg [(а + V + с)/(а + * + е)\.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 [222] 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233



0.0048