Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 [223] 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233

Вычитание.

A-B = (a - b) + j(a-b); (23-157)

А -В= \ Y(a - bf-\-(a,-b,f \ е\ (23-158)

А - В=\ Y(a - b)~ +-(а - b)s\\l, (23-159)

6 = arctg [(a - b)/(a - b)]. Умножение:

AB-=(ab-ab) + j(ab 4- ab); (23-160)

AB = \ AB\eJ{BA + »B- (23-161)

i + вд). (23-162)

полному сопротивлению на зажимах цепи, показанной на рис. 23-48, б:

ab +

й2 +

Л 1

£ ~1

(е.4-9в)-

(23-164) (23-165)

Возведение в степень:

Л" = (а+ /а)"= I 4lV"4 (23-166)

Лге= Лге«йд (23-167)

Л"ВЛ = I АВ "я(6л + 8в). (23.168)

Извлечение корней:

Alln = (a +ja)1"1; (23-169)

Л1/" = Л VV + 2Vn; (23-170)

Л"==Л1/я(0д4-йуя), (23-171)

9 = 0, 1, ... , n- 1. (23-172) Логарифмирование:

1п Л = 1п I Л + Д,. (23-173)

Угол 6Л может быть увеличен или разделен на число, кратное 2л.

23-19в. Комплексное полное сопротивление. В общем случае полное сопротивление (или полная проводимость) состоит из активного сопротивления (или активной проводимости) и реактивного сопротивления (или реактивной проводимости). Так как реактивное сопротивление (или проводимость) вызывает сдвиг фазы на it 90°, то соотношение между напряжением и током на этом сопротивлении удобно выразить через полное сопротивление или полную проводимость в комплексной форме (2 = R -\- ]Х) Следовательно, при расчете цепей, содержащих активное и реактивное сопротивления, необходимо производить операции, описанные в предыдущем разделе.

Для пояснения операций с комплексными величинами найдем эквивалентную схему последовательно-параллельной цепи (рис. 23-48, б) в виде последовательной цепи (рис. 23-48, а). Это можно сделать следующим образом.

1. Приравняем полное сопротивление на зажимах цепи, показанной на рис. 23-48, а,

(R + j<»L) + (-jI<»C)

2. Используя уравнение (23-163), разложим выражение с левой стороны на действитель-

a) d)

Рис. 23-4Ь. Эквивалентные схемы

ную и мнимую части. Приравняем Rnoc действительной части и ХПЖ мнимой части-

{R + ]«L)(-jl<*Q (L/C)-j(RhC) (/? + /»/.) + (- j/ioQ R4-j(<»L - 1/шСУ

a = L/C; b = R;

a= - R/<*C; й = (ш/.-1/шС);

noc "T" jXnoc =

\-)r + (- Rc) (wZ- -1 /wC)

7?2 4- (ш/. - 1 «С)2

R°- + (aL- 1/ooC)2 7?/")2C2

(ш/. -l,mQ

noc -

7?s-

(usL - 1/wC)2 7?2 + (ш/. - 1/шС)

23-20. основы теории вероятностей и статистики

Теория вероятностей применительно к технике есть изучение среднего поведения физического явления там, где предсказать поведение явлений точно либо практически нецелесообразно, либо невозможно. Изучение теории вероятности и статистики можно разделить на две основные части, а именно: изучение законов вероятности, где предполагается, что при исследовании среднее поведение явления известно, и изучение методов, с помощью которых можно определить из наблюдений среднее поведение некоторых явлений. Первую часть не совсем точно называют «теорией вероятностей», вторую часть часто относят к «статистике».

23-20а. Частотное определение вероятности. При описании многих явлений техники и физики непрактично или невозможно предсказать точно поведение отдельных физических событий. Вместе с тем часто можно описать некоторые свойства таких явлений через «среднее поведение» или через «вероятность». Например, при бросании монеты теоретически можно предсказать, упадет ли монета гербом вверх



или цифрой, если достаточно хорошо известны условия, при которых монета подбрасывается, а именно: начальное положение, начальная скорость, атмосферные данные, распределение массы монеты и т. п. Однако и без этих данных, и без громоздких вычислений можно установить (предполагая, что монета уравновешена относительно ее оси поворота), что монета, подбрасываемая «случайным способом», будет в среднем падать «гербом вверх» число раз, равное половине бросков, т. е. вероятность падения монеты «гербом вверх» равна половине. Трудно установить точно, что означает «случайный способ», но под этим подразумевается, что различные условия каждого броска монеты отличны друг от друга и являются либо неизвестными и (или) не могут быть предсказаны.

Теория вероятностей основана на предпосылке, что частота появления отдельного результата в процессе эксперимента стремится к конечному пределу, когда число повторений опыта возрастает. Так, вероятность Р(А) отдельного результата А в пределе равна частоте появления результата А:

Р(Л) = Шп . (23-174)

7V->со

где N - общее число опытов или наблюдений;

па(М) - число появлений результата А в N опытах или наблюдениях.

Пользуясь этой формулой, вероятность нельзя определить эмпирически, так как потребовалось бы сделать бесконечное число опытов и наблюдений. Однако вероятности могут быть вычислены на основе ожидаемых частот появления различных результатов. Создание математической модели 1 для вероятностей различных результатов состоит в построении пространства выборок 3 всех возможных исходов опыта. Рассмотрим опыт, при котором получается п несовместимых результатов, т. е. таких, что никакие из них не могут появиться в процессе опыта одновременно. С каждым из этих результатов приводится в соответствие выборочная точка в пространстве выборок. Далее, каждому результату соответствует некоторая вероятность, так что каждой выборочной точке также соответствует вероятность. Таким образом, пространство выборок состоит из совокупности точек, с каждой из которых приводится в соответствие вероятность, равная ожидаемой частоте появления несовместимого результата, соответствующего выборочной точке. Если появление каждого из п несовместимых результатов равновероятно, вероятность, приводимая в соответствие с каждой выборочной точкой, равна 1/л. Полезность описываемого метода определения вероятности с помощью пространства выборок проявляется главным образом при вычислении вероятности любого числа результатов, появляющихся в опыте. Если имеется п несовместимых событий, то вероятность того, что одно из т этих событий (т л) появится в процессе опыта, равна сумме

1 Точнее было бы сказать геометрической модели. (Прим. ред.)

2 Здесь пространство применяется как синоним слова множество. (Прим. ред.)

вероятностей, определенных т выборочными точками (см. § 23-20, б).

При вычислении вероятности событий, когда число возможных исходов конечно, часто удобно пользоваться одной из двух формул. Одна из них определяет число возможных перестановок п событий, т. е. число различных способов распределения п событий. Число перестановок равно:

л1 = л(гс - 1), ... , 3, 2, 1.

По другой формуле вычисляется число сочетаний из л событий по г, без учета порядка г событий. Например, для четырех событий а, Ь, с, d, взятых по три, сочетание acd получается только однажды, хотя существует шесть перестановок трех букв, а именно: acd, adc, cad, cda, dac, dca. Число сочетаний Crn из л событий, взятых одновременно по г, будет:

С. = , " „ (23-175)

" г\(п - г)! 4

Пример 23-26

Если случайно вытащить две карты из колоды в 52 карты, то какова вероятность вытащить туза вместе с фигурой, либо десяткой?

Решение

1. Каждая точка пространства выборок рассматривается как отдельная комбинация двух карт. Следовательно, общее число выборочных точек определяется формулой для Сгп, т. е. сочетанием из п карт, взятых по г, где л = = 52 и г = 2,

21 50!

2 1

r\(n - r)\

Так как каждый результат равиовозможен, то вероятность, определяемая каждой выборочной точкой, будет /иге-

2. Число выборочных точек, соответствующих возможным комбинациям туза с фигурой либо с десяткой, равно 4 • 16 = 64, так как в колоде из 52 карт имеется 4 туза и общее число фигур и десяток равно 16.

3. Вероятность вытащить туза вместе с фигурой либо десяткой равна сумме вероятностей выборочных точек, соответствующих этим комбинациям, или

= 0,04827.

23-206. Основные правила для комбинаций событий. Если результаты опыта являются «несовместимыми событиями», определяемыми посредством пространства выборок (§ 23-20а), то вероятность появления одного из нескольких несовместимых событий равна сумме вероятностей каждого из них. Вероятность совместного появления более чем одного события равна нулю. Хотя всегда можно поставить задачу о вероятности, выразив ее через вероятность несовместимых событий, часто более удобно воспользоваться теоремами сложения и умножения. Для вычисления вероятности появления одного или более событий полезна теорема сложения вероятностей. Для двух событий А и В (которые не обязательно являются «несовместимыми событиями» и, следовательно, могут появляться совместно) ве-



роятность Р (А или В) появления либо А, либо В, либо появления А к В вместе равна

Р{А или В) = Р(А)+ Р(В) - Р(А и В), (23-176)

i де Р (А) - вероятность появления А, не учитывающая появление В; Р(В) - вероятность появления В, не учитывающая появление А; Р(А и В) - вероятность совместного появления А и В.

Уравнение (23-176) выводится из рассмотрения пространства выборок, составленного из вероятностей несовместимых событий, которые представляют все возможные пары встречающихся событий и в которых комбинация А и В является одной парой. Р (А) есть сумма вероятностей, описываемых выборочными точками, представляющими событие А в комбинации с другим событием. Р(В) определяется таким же образом Р (А и В) - вероятность, определяемая выборочной точкой, представляющей комбинацию событий А и В. Обе вероятности Р (А) и Р (В) содержат вероятность Р(Д « В), так что ее нужно вычесть из суммы Р (А) и Р(В) для того, чтобы получить уравнение (23-176). В случае, когда Р (А и В) = О, говорят, что события А и В взаимно исключающие (несовместимые).

Для трех событий А, В и С

Р (А или В или С) = Р (А) + Р (В) + -f Р (С) - Р (А и В) - Р (В и С) - Р (С и А) + 4- Р (А и В и С). (23-177)

Условная вероятность есть вероятность появления одного события после того, как известно, что произошло другое событие. Для двух событий А и В Р (В/А) означает вероятность появления события В, после того как произошло событие А или просто «В после А». Применение этого определения приводит к теореме умножения вероятностей, а именно:

Р(А и В) = Р (А) Р (В/А) = Р(В) Р (А/В)

(23-178)

Для трех событий А, В, С

Р(АкВ и С) = Р (А) Р (В/А) Р(С/А и В) = = Р (В) Р (С/В) Р (А/В и С) и т. д. (23-179)

Если Р (В/А) = Р (В) или если Р (А/В) = = Р (А), то говорят, что два события А и В взаимно независимы.

Пример 23-27

Если случайно вытащить две карты из колоды в 52 карты, то какова вероятность вытащить даму пик или туза червей, или обе карты?

Решение

При вытаскивании двух карт каждая из них имеет одинаковую вероятность быть дамой пик, а именно Да- Вероятность вытащить эту карту либо в первый, либо во второй раз определяется уравнением (23-176):

Р (А или В) = Р (А) 4- Р (В) - Р (А и В),

где А - появление дамы при первом вытаскивании;

В - появление дамы при втором вытаскивании.

Так как А и В - взаимно исключающие события, т. е. вероятность вытащить эту карту и в первый и во второй раз Р (А и В) = 0, то отсюда следует, что Р (А или В) = 1/ц„ -{- Ч-„ = = z.,.

2. Подобно этому вероятность того, что одной из двух вытащенных карт будет туз червей, равна %е.

3. Вероятность Р(С и D) вытащить обе карты - даму и туза определяется уравнением (23-178):

Р (С и D) = Р (С) Р (£>/С),

где С - вытаскивание дамы;

D - вытаскивание туза.

Вероятность того, что одна из двух карт будет тузом, если известно, что другая будет дамой, равна l/st, следовательно,

Р (С и D)

26 51

1 326 "

4. Вероятность Р(С или D) вытащить либо туза, либо даму, либо обе карты будет тогда:

Р (С или D) = Р (С) 4- Р (О) - Р (С и £>) = 1,1 1 101

26 п~ 26 1 326

1 326

-.0,07617.

23-20в. Биноминальное распределение вероятности. Функции плотности вероятности. Во многих технических задачах возникает вопрос относительно вероятности появления события А точно г раз, если испытание повторяется л раз, где п~-г. Если результаты каждого испытания независимы, то эта вероятность дается биноминальным распределением. Положим, что вероятность определенного результата А испытания определяется как Р (А) = р. Тогда вероятность того, что А не появится, может быть определена как 1 - Р (А) = 1 - р = q. Биноминальное распределение определяет вероятность Р (у = г) появления А точно г раз при л испытаниях:

(23-180)

P(v = r) = C>V

где v - число появлений результата А;

Сгп - число сочетаний из л элементов по г [см. уравнение (23-175)].

Наименование «биноминальное распределение» вытекает из того факта, что коэффициент Сгп соответствует коэффициенту при r-м члене в биноминальном разложении (р 4- <?)"•

Биноминальное распределение приложимо к любой серии повторяющихся независимых опытов, где для каждого опыта имеется две возможные вероятности р и 1 - р. Такие опыты называются опытами Бернулли.

Распределение вероятности или, более точно, функция (дискретная) плотности вероятности, связанная с этим биноминальным процессом, появляется тогда, когда для данного числа опытов рассматриваются все возможные величины v, а не только одна величина у. Графическое представление функции плотности биноминального распределения для п = 5 и р - 0,6 показано на рис. 23-49. Функция плотности достигает своей максимальной величины вблизи



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 [223] 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233



0.0117