Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 [224] 225 226 227 228 229 230 231 232 233

г - пр. Для представления статистических процессов функции плотности вероятности являются удобным (но не единственным) средством. Они изображают вероятности, связанные со всеми возможными результатами частного эксперимента. Таким образом, независимо от (дискретного) распределения, если для v существует п + 1 возможных результатов, то

"V р („ = ,-)= 1 , (23-181)

г = О

, 1

о I г з * s

Рис 23-49. Функции плотности биноми иалыюго распределения для п = 5 п р = 0,6.

Пример 23-28

Предприниматель установил, что электронная аппаратура, в которой используется 10 диодов, не выдержит производственных испытаний, если эмиссия катода шести или более диодов бдет ниже определенной критической величины, даже если эти диоды удовлетворяют техническим условиям Вероятность того, что эмиссия у диода будет ниже этой критической величины, была определена как 0,1. Какова вероятность того, что предприниматель должен будет забраковать устройство, если он перед установкой не произведет отбора диодов?

Решение

1. Вероятность Р того, что диод будет неисправным, равна0,1, следовательно, q = 0,9.

2 Вероятность P(R) того, что узел будет забракован (по теореме сложения, § 23-206), равна сумме вероятностей, связанных с появлением в образце 6 неисправных диодов из 10,

7 из 10; ...; 10 из 10. Следовательно,

P(R)= У P(v = r),

Где v - число неисправных диодов [см уравнение (23-180)];

Р(Д) = СЪ 0,1е - 0,9 4- С10 • 0,1 0,9- + 4- С\„ 0,14 0,92 4- С?„ 0,19 - 0,9] 4- СЦ 0,110 • 0,9» = = (210) • (0,1 у (0,9)4 4- (120) • (0,1) (0,9)3 -f - (45) х X 0,18 - 0,92 4- 10 • 0,1" • 0,9 + 0,110 «=< 0,0001469.

8 среднем приблизительно один из каждых 6 807 блоков будет забракован. Заметим, что при постановке задачи предполагается, что блок будет пропущен техническим контролем, если пять диодов как раз удовлетворяют тех-

ническим условиям, а другие пять диодов имеют эмиссию немного выше критической величины, и наоборот, блок не будет пропущен техническим контролем, если шесть диодов будут иметь эмиссию немного ниже критической величины. Если это предположение не удовлетворяется, задача может оказаться значительно более сложной.

23-20г. Распределение Пуассона. Распределение вероятностей Пуассона используется главным образом в двух различных случаях. Во-первых, оно используется для некоторых случаев как приближение к биноминальному распределению; во-вторых, для многих важных задач распределение Пуассона будет давать точное представление вероятности некоторых явлений.

1. Распределение Пуассона как приближение к биноминальному распределению. Как установлено в § 23-20 в, биноминальное распределение определяет вероятность появления определенного числа событий при данном числе опытов. С помощью распределения Пуассона рассматривается та же задача приближенным способом в том случае, когда число опытов много больше, чем число событий, для которых должна быть вычислена вероятность/-), а вероятность р каждого события мала. Распределение Пуассона легко вывести из биноминального распределения [уравнение (23-180)], если сделать соответствующие приближения:

/> = г) -:--pi (j руп~п.

( г! (л - гу к 11

P(v = r)«=V(l - р)" {п>г), пг

Р (у = r)«s рге-т . (р<1);

Р (м =- г) e-vn (23-182)

Пример 23-29

Вычислить вероятность обнаружения не более чем одного неисправного блока вследствие нестандартных диодов в партии из 200 блоков, описанных в примере 23-28. Для вычисления результата применимы и точное биноминальное распределение и приближенное распределение Пуассона.

Решение

1. Биноминальное распределение.

а) Из примера 23-28 вероятность р того, что блок будет неисправным, равна 0,0001469, так что q = 0,9998531

в) Вероятность Р (G) того, что среди 200 блоков будет неисправных не более одного, определяется уравнением (23-180).

Р (G) =-- Р (у г) =

г = 0

= С§0(1 (0,0001469)° (0,9998531 )200 4-4- С200 (0,0001469)» (0,9998531)08 = = 0,999579.



2. Приближенное распределение Пуассона

рп = 0,0001469 • 200 = 0,02938;

Л (С)г°38)° .-»...„ [

(0,02938) "Г ii е

obsess -g-o.oans j 0,02938) «а «= 0,999577.

Для такой малой вероятности и большого отношения между числом образцов (200) и числом событий (2), для которых вычисляется вероятность, приближение Пуассона будет очень точным.

2. Распределение Пуассона как точное распределение. Заметим, что в уравнении (23-182) и вероятность р и число образцов появляются только в произведении рп. Как показано в § 23-20 з, это произведение является средним или ожидаемым числом событий с вероятностью р, которые появляются в п опытах. Таким образом, уравнение (23-182) определяет вероятность появления г событий, когда известно среднее число событий В п опытах, при этом предполагается, что п велико по сравнению с г, а р мало.

Такое истолкование распределения Пуассона может быть распространено на важный круг задач. В частности, рассмотрим задачу о вычислении вероятности появления события в интервале времени 7", если известно, что в среднем за секунду появляется X событий. В этом случае полный интервал можно представить разбитым на очень большое число л полинтер-валов, каждый длиной At, так что л = T/At. Тогда, если ри есть вероятность появления события в интервале длиной At, ожидаемое число появлений события в л опытах, т. е. в интервале длиной Т, будет рд< л = pTjAt, которое согласно определению X равно Х7\ если At достаточно мало. Если устремить At к нулю, то л будет стремиться к бесконечности, а ри

к нулю. Так как при выводе уравнения (23-182) были сделаны единственные допущения, что п>г и р <: 1, то отсюда следует, что в пределе, когда п -* со, р -*- 0, формула будет точной. Другими словами, уравнение (23-182) становится точным, если заменить рл на XT, когда At -• 0. Таким образом, вероятность появления точно г событий в интервале времени Т сек. когда известно, что в среднем в секунду появляется X событий, будет-

Р (V = г) =

(23-183)

График распределения Пуассона для Х7" = 2,5 показан на рис. 23-50.

Пример 23-30 -

Если было установлено, что электронное счетно-решающее устройство имеет неисправные узлы, которые приводят к неправильным ответам, получаемым от машины в среднем приблизительно по одному за каждые 10 ч, то какова вероятность получить от машины неправильный ответ на задачу, которая решается В течение 1 у? Какова вероятность получить

неправильный ответ на задачу, которая решается в течение 10 ч?

Решение

Замечание. Вероятность того, что имеется по крайней мере одна неисправность, равна единице минус вероятность того, что нет неисправности.

0tZ2tSB7& р

Рис 23-50 Функция плотности распреде ления Пуассона для лГ - 2,5

1. X = 0,1 неисправности в час; Ti= 1 ч; Т- = 10 ч.

2. Из уравнения (23-183)

Pi (за 1 ч нет неисправности) = -е-01 = 0,9048;

Р2 (за 10 ч нет неисправности) = (11°

= к Y е 1 = 0,3679.

3. Следовательно, вероятность Pi неисправности, которая приводит к неправильным ответам в 1 ч, будет:

Pi (неисправность за 1 ч) = 1-0,9048 = 0,0952.

За 10 ч работы вероятность Р2 неправильных ответов будет.

Ро (неисправность за 10 ч) = 1-0,3679 = 0,6321.

23-20д. Нормальное распределение как приближение к биноминальному распределению. Распределение Пуассона является хорошим приближением к биноминальному распределению, когда число опытов много больше числа событий, для которых должна быть вычислена вероятность, а вероятность появления каждого события мала. С другой стороны, нормальное распределение является хорошим приближением к биноминальному распределению, когда «исло опытов велико и независимо от числа рассматриваемых событий.

Приближенное нормальное распределение может быть выведено из биноминального распределения; найдено, что нормальное распределение имеет следующий вид:

Р(у= r) = Cryqr- Ф(Х)

fnpq

(23-184)

Ф(*) =

-W2 У2ъ

Функция Ф (х) является нормированной функцией плотности нормального распределения.

График, на котором сравниваются Crnprqn~r и

Ф (x)l ffnpq (Рис- 23-51, а и б), показывает степень приближения нормального распределения к биноминальному при п = 10, р - 0,1 и л = = 10, р = 0,6. При фиксированном числе опы-



тов нормальное приближение будет лучше для р, близких к 0,5, чем для р, близких к 0 или 1. В последнем случае биноминальное распределение несимметрично, в то время как нормальное распределение всегда симметрично. Максимальная величина функции плотности нормального распределения всегда оказывается при х = 0, т. е. г - пр.

Нормальное приближение полезно во многих случаях, когда должна быть вычислена вероятность, которая представляет собой сумму членов биноминального распределения. Такое применение нормального распределения встречается при построении графика функции плотности нормального распределения вероятностей как последовательности ступенчатых или скачкообразных функций, причем скачки бу-113 1,1

дут в точках -

2 2 * 2

И--2, и-

г 4- -) - пр

где лг/. - , „г - -

У "pq У npq

Численные таблицы для нормального распределения обычно дают вычисленные значения

интеграла

) dx, поэтому, для того чтобы

и график функции плотности нормального рас-

получить результаты из уравнения (23-185), необходимо только воспользоваться тождеством

а а в

j Ф {X) dx = j Ф (*) dx - Ф (х) dx.

Ь - оо -оо

(23-186)

Из уравнения (23-185) следует, что суммирование последовательных членов биноминального


1 1 1

! Гг>

5 6 7 8 9 »

Рис 23-51. Сравнение функции плотности нормального распределения с функцией плотности би

номинального распределения. / - функция плотности нормального распределения, 2 - функция плотности биноминального

распределения. ,

пределения будет иметь вид, показанный на рис 23-51,6. Тогда площадь, заключенная между двумя последовательными скачками, будет равняться члену биноминального распределения. Более того, каждая из этих площадей аппроксимируется площадью, заключенной под функцией плотности нормального распределе-

/ 1 1 \ /2 3 ния между абсциссами I

жение нормального нальному на основе между этими точками

2 2/\2 2,

. Таким образом, прибли-

распределения к биноми-площади, заключенной скачков, будет:

г + -.

P(v = r) = C>-

Vnpq

(х) dr.

Так как dx-

dr Vnpq

p (у = r) J Ф (*) dx.

(23-185)

распределения приближенно выполняется следующим образом:

У Crnprqn~r \ Ф(х)йх; (23-187)

rs + у ) - ПР

Пример 23-31

За большой период времени на заводе, производящем транзисторы, было найдено, что 20% транзисторов не удовлетворяют техническим условиям и должны быть забракованы. Если предположить, что брак вполне случаен, то сколько принятых транзисторов необходимо иметь в начале недели для того, чтобы обеспечить с вероятностью 0,999 выпуск по крайней мере 2 ООО транзисторов в конце недели, если за неделю их выпускается 2 500?

Решение



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 [224] 225 226 227 228 229 230 231 232 233



0.0111