Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 [225] 226 227 228 229 230 231 232 233

2. Задача состоит в том, чтобы найти г-такое, при котором г2 = 2 500:

\ Ф (х) dx = 0,999.

2 500

(2 500) 0,8

з. xt. =

У 2 500 • 0,8 • 0,2

500,5

25,025

= 25,025;

25,025

0,999

Ф (x)dx --

Ф (х) dx -

- Ф(x)dx= 1,0000- Ф(x)dx.

Следовательно,

Ф(х) dx = 0,001.

Из таблиц нормального распределения найдем, что

jc- = 3,09

-3,09:

пр г- -2 000

]яр<7 j/2 500-0,8-0,2

п = 1938,7.

P(v - г), на рис. 23-52, б показана вероятность ч, которая меньше г, т. е. Р(уО). Такое представление возможно, так как сумма Р(у = г) всех величин г равна единице. На рис. 23-52, а представлена функция (дискретная) плотности вероятности, на рис. 23-52, б - функция (дискретная) распределения вероятности или (дискретная) функция распределения Функции

«г

ko.2

Следовательно, если в начале недели имеется 2 000>-1 938 = 62 транзистора,прошедших проверку, то вероятность того, что в конце недели завод сможет выпустить 2 000 транзисторов, будет больше, чем 0,999. Заметим, что в этом примере предполагается, что вероятность серьезной аварии, которая не позволит выпустить 2 500 транзисторов, будет <С 0,001.

23-20е. Функции дискретного распределения и функции непрерывного (кумулятивного) распределения. Рассмотренные в предыдущих разделах распределения вероятностей носили дискретный характер, т. е. распределения имели место либо при конечном, либо при счетном числе возможных событий. (Счетное число возможных событий есть бесконечное число взаимно исключающих событий, каждое из которых обозначается как положительное целое число.) Точное распределение Пуассона является примером распределения, содержащего счетное число возможных событий. Большинство вероятностных задач решается не непосредственно путем использования дискретных распределений, а путем использования моделей непрерывного распределения.

Дискретное распределение может быть представлено либо в виде пиков, как показано на рис. 23-52, а, либо в виде последовательности ступенек, как показано на рис. 23-52, б. Вместо Того чтобы показать вероятность v, равную /,

.це

0 12 3 4

u u

S В 7 8 9 10 о)

0 12 3 4

S 6 7 Й 9 №

Рис. 23-52. Дискретная функция плотности вероятности и представление функции распределения

плотности вероятности часто называют функциями частоты1; функции распределения часто называют кумулятивными функциями распределения2. Вероятность Р(ч = г), если ее представить с помощью функции распределения, будет-

P(-i= г) = Р (V <: г + £•) - Р (V < г - е),

где г - малая величина (меньшая, чем расстояние между двумя соседними скачками функции распределения). Функция дискретного распределения является разрывной функцией, так как для некоторых величин г

lim Р (v < г + е) Ц= lim ( v< г - г); е - 0.

Понятие функции распределения вероятности легко распространяется на непрерывные функции, если принять, что вероятность Р (у < г) изменяется не дискретными скачками, а непрерывно, как функция от г. Например, рассмотрим задачу определения функции распределения, описывающей вероятность того, что напряжение на выходе однооборотного непрерывно вращаемого линейного потенциометра будет меньше, чем заданное напряжение, если потенциометр поворачивается случайным образом и присоединен к источнику напряжения 10 е. Если ничего неизвестно о том, каким образом поворачивается потенциометр, то нет причин рассматривать в каждый данный момент, какое из заданных напряжений на выходе будет более вероятно. Следовательно (пренебрегая зазором между двумя концами потенциометра, который неизбежно должен существовать), функция распределения будет:

Р (= < х) = F (х).

Как показано на рис. 23-53, а, она является прямой линией. Такое распределение может

1 В нашей литературе непрерывную функцию распределения плотности вероятности называют дифференциальным законом распределения (Прим ред.)

2 Функцию распределения вероятности как прерывных, так и непрерывных случайных величин в нашей литературе называют интегральным законом распределения. (Прим. ред.)



быть показано как функция (непрерывная) плотности распределения /(*) (рис. 23-53, б), где f(x) = dF(x)/dx. Для функции плотности вероятности площадь под кривой между точками х = Xi и х = ха представляет вероятность того, что напряжение на выходе будет соответствовать углу между X] и х2; для представления в виде функции распределения та же ве-


Рис. 23-53. Функция распределения вероятности F (х), и функция плотности вероятности f{x) для равномерно распределенного угла поворота потенциометра.

роятность будет F (дг.) - F(xx). Обе функции .и дискретного и непрерывного распределения изменяются между 0 и 1. Более того, все функции распределения (дискретного, а также непрерывного) являются неубывающими функциями х. Если представить математически, то получим следующие соотношения, содержащие функции распределения F(x) и соответствующую функцию плотности вероятности:

F (х) = Р С- < х)

/(*) (=)

dF (х) dx

0 <С F (x) =s£ I; /(*)>0;

(23-188)

(23-189)

(23-190) (23-191)

F (со)

J f(x) dx = 1. (23-192)

Круглые скобки, охватывающие знак равенства в уравнении (23-189), показывают, что если F(x) является разрывной функцией, т. е. функция имеет скачок при некоторой величине х, то уравнение в этом случае не имеет смысла, так как Дх) при этом значении равна бесконечности.

23-20ж. Нормальное распределение как точнее распределение. Наиболее полезным из всех непрерывных распределений является нормальное распределение (часто называемое распределением Гаусса). Для некоторых случаев его можно получить непосредственно из биноминального распределения. Одна из причин, по которой это распределение имеет такую общую ипименимость, следует из центральной предельной теоремы,которая рассматривается в §23-20н.

Нормированная функция нормальной плотности вероятности ср и нормированная функция нормального распределения вероятности Ф(х) определяются следующими уравнениями:

- со -оо

(23-194)

В уравнениях х - нормированная переменная. Для того чтобы распределение сделать применимым в общем случае, х можно заменить на другую переменную у, смещая начало -координат у и изменяя масштаб, т. е.

у - т

(23-195)

где т - среднее значение или математическое ожидание величины у, т. е. величина, вокруг которой концентрируется нормальное распределение (см. §23-30 з);

а -стандартное отклонение у* или, грубо говоря, мера того, насколько остра кривая распределения у (например, вероятность, которая лежит между т - а и т + а, приблизительно равна 0,683).

Когда для получения численных результатов применяются таблицы нормального распределения, то чтобы получить нормированные переменные, содержащиеся в таблицах, необходимо пользоваться уравнением (23-195).

Легко показать, что интеграл от Ых) в пределах от - со до со равен 1; т. е. 0 ==£С Ф(х)1.

Нормальное распределение применимо при описании распределения амплитуды теплового шума в электронном устройстве. Распределение амплитуды шума точно описывается уравнениями (23-193) - (23-195), где т равно нулю, а з - среднеквадратичная величина напряжения шума, т. е. а = уТКТЩ, где К = 1,38- 10 S8 дж1°К (постоянная Больцмана); Т - абсолютная температура цепи, производящей шум, в градусах Кельвина; R - активная составляющая полного сопротивления цепи, ом; А/ - ширина полосы пропускания цепи, гц.

Нормальный закон распределения находит также применение при анализе многих типов ошибок экспериментальных измерений и при оценке характеристик оборудования и систем.

Пример 23-32

Среднеквадратичная величина напряжения иа выходе усилителя промежуточной частоты приемника радиолокационной станции, обусловленная шумами, равна 0,5 в. Предположим, что детектор «наличия сигнала» используется для того, чтобы указать на наличие напряжения двух полярностей на выходе приемника, большего 2,0 в или меньшего - 2 е. В течение какого процента времени в среднем детектор будет указывать на наличие напряжения, если имеются только шумы?

Решение

1. Положим, что шумы имеют нормальнее распределение с а = 0,5 в. Задача состоит в том, чтобы вычислить Ф (со) - ф (х,) 4- Ф (х,) - -- Ф (- со) = 1 - Ф (х2) 4- Ф (*,)," где х» = = (2,0 -0)/0,5 = 4,0, axi = (-2,0 -0)/0,5 = = -4,0.

V (х) = е

(23-193)

<т - среднеквадратичное отклонение чины у. (Прим. ред.)



2. Из таблицы Ф (х) находим:

1 - Ф (ха) + Ф (х,) = 1 - 0,99997 + 0,00003 = = 0,00006.

3. Согласно частотному определению вероятности сведений процент времени, когда детектор будет показывать напряжение, обусловленное наличием только шума, будет 100Х X 0,00006 или 0,006 процента времени.

Пример 23-33

Два приемника, настроенных на одну и ту же частоту, имеют детекторы «наличия сигнала» с установленными уровнями детектирования, в 2,7 раза большими, чем среднеквадратичная величина напряжения шума. Какова вероятность того, что в любой определенный момент в обоих приемниках появятся напряжения на выходе, обусловленные тепловыми шумами, величина которых больше, чем пороговые величины уровней детектирования, если источники шума в двух приемниках взаимоне-зависимы.

Решение

1. По уравнению (23-178) вероятность того, что оба приемника укажут на напряжение,превышающее пороговую величину, равна произведению отдельных вероятностей для каждого приемника, так как источники предполагаются независимыми.

2. В любой частный момент времени вероятность того, что один приемник покажет напряжение, превышающее пороговую величину, будет:

1 - Ф (2,7) + Ф (- 2,7) = 1 - 0,99653 + + 0,00347= 0,00694.

3. Вероятность того, что напряжение на выходе обоих приемников одновременно превысит пороговую величину, будет тогда:

0,00694 • 0,00694 = 0,000048.

23-20з. Случайные величины и математические ожидания. Любая величина, которая может принимать различные значения, каждому из которых приписывается вероятность его появления, называется случайной величиной. Таким образом, случайная величина является функцией частного пространства выборок, так как каждая точка в пространстве выборок определяет значение случайной величины и, следовательно, приписанную ей вероятность. Например, если выбрать пять сопротивлений из партии изделий, то параметры любого сопротивления могут быть либо в пределах технических требований, либо вне их. Пространство выборок может быть образовано из 25 точек, каждая из которых будет представлять частную комбинацию хороших и плохих сопротивлений, т. е. чатное «состояние» хороших и плохих сопротивлений. (Например, Pi - хорошее, Р2 - хорошее, Rs - плохое, R- - хорошее, Р5 - плохое будет одним из возможных «состояний» сопротивлений.) Случайная величина могла бы быть определена в этом пространстве выборок как число сопротивлений, не удовлетворяющих допускам, представленным каждой выборочной точкой. Другая случайная величина могла бы быть определена, если обозначить в пространстве выборок каждого хорошее со-

противление через 1, а каждое неисправное сопротивление через 0. В этом случае случайная величина была бы величиной пяти измерений. [Например, одно из значений случайной величины было бы (0,1, 0, 0, 0).] В первом случае случайная величина принимала бы одно из шести значений (0, 1, 2, 3, 4, 5) в каждой точке пространства выборок. Вовторомслучае имеется 25 значений случайной величины, причем различное значение для каждой точки выборочного пространства. Так как по определению каждой точке выборочного пространства приписывается некоторая вероятность, то можно вычислить вероятность каждого из значений либо этих случайных величин, либо другой случайной величины, которая могла бы быть определена. Случайные величины определяются в пространствах выборок, которые являются непрерывными (т. е. там, где применяются непрерывные распределения вероятностей), таким же образом, как они определяются для дискретных выборочных пространств. И в этом случае они могут быть одномерными и многомерными.

Одним из наиболее основных понятий теории вероятностей является среднее значение случайной величины. Оно также называется математическим ожиданием случайной величины. Возвращаясь к частотному определению вероятности, припишем каждой точке г (г = = 0, 1, N) выборочного пространства вероятность Рг в соответствии с ее ожидаемой частотой появления. Если затем каждой выборочной точке приписать значение случайной величины х, то математическое ожидание случайной величины Е(х) или х будет суммой произведений значений случайной величины хТ и вероятностей Рг = Р(лу), приписанных каждой точке:

Е(х) = х = V хгР(хг) (23-196)

/• = 0

или, выражая через непрерывные распределения, получим:

Е(х)-=х = \xf(x)dx, (23-197) л

- оэ

где f(x) - функция плотности вероятности для случайной величины х.

Пример 23-34

Счетчик Гейгера срабатывает от радиоактивного образца в среднем 50 000 раз в секунду. Какова ожидаемая средняя скорость испускания гамма-лучей, если счетчик имеет мертвое время 1 мксек.

Решение

1. Вычислим вероятность испускания одного или более гамма-лучей за период 1 мксек после другого испускания. Предположим, что одно испускание гамма-луча не зависит от другого (распределение Пуассона), так что вероятность испускания одного или более гамма-лучей за период 1 мксек в среднем будет такой же, что и вероятность испускания одного или более гамма-лучей за любой период в 1 мксек. Согласно распределению Пуассона вероятность Р(г) по-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 [225] 226 227 228 229 230 231 232 233



0.0089