Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 [226] 227 228 229 230 231 232 233

явления /гамма-лучей за период Г при скорости X есть

(KTY -лт Р (v = г) = Р (/) = е

где X - число гамма-лучей в секунду; Т- 10~6.

2. Пространство выборок для этой задачи можно представить как бесконечное (несчетное) число точек; в нем каждая точка г (г = О, 1, 2,..., со) соответствует появлению г гамма-лучей в 1 мксек Случайная величина хг, приписываемая точке г, будет тогда величиной 50 ООО г пропущенных гамма-лучей в 1 сек. Математическое ожидание числа пропущенных гамма-лучей Е(хг) будет тогда.

со со

хгР (г) = 2 50 ООО г Д е- =

г = 0

= 0 4- У 50 000

г е "" =50 000-0,05е~л;гХ

2 (/-

г= 1

:50 000 • 0,05 е~хтеХТ

= 50 000 XT = 0,05 X; X = 50 000 + 0,05 X; X = 52 632.

Ожидаемая скорость испускания гамма-луча равна приблизительно 52 632 в секунду. Заметим, что это такой же ответ, как и ответ, полученный из наблюдения, что среднее время пропуска будет 0,05 сек, так что гамма-лучи образуются в количестве 50 000 за 0,95 сек, или 50 000/0,95 =« 52 632/1 сек.

Пример 23-35

Каково математическое ожидание величины постоянной составляющей напряжения на выходе двухполупериодного диодного детектора, если среднеквадратичное значение напряжения на входе от теплового шума равно 1 в (потерями пренебречь).

Решение

1. Распределение шума иа входе нормальное На выходе распределение нормальное одностороннее, т. е. функция плотности

[ 0 (х<0);

(х0),

где а - среднеквадратичная величина напряжения шума на входе, а именно 1,0 в. Двойка появляется по той причине, что интеграл от функции плотности между -со и со должен быть равен единице.

2. Из уравнения (23-197) математическое ожидание величины распределения будет:

Е(х)

= \ xf (х) dx = 2 \

J J а у 2те

- со 0

X dx = 2 • -4=- = 13 1/ - =» 0 Y2-k У 11

X - *2/2а2

7979 с

Следовательно, при среднеквадратичном значении напряжения теплового шума 1 в постоянная составляющая на выходе будет 0,7979 в. Это соотношение справедливо независимо от спектрального распределения шума на входе до тех пор, пока средняя величина, т. е. математическое ожидание величины шума на входе, равна нулю.

23-20и. Моменты распределения и характеристической функции. Между многими свойствами функций плотности вероятности и функциями плотности масс может быть проведена прямая аналогия. При рассмотрении одномерной функции плотности вероятности аналогия проводится в предположении, что масса, равная по величине единице, распределена вдоль линии таким образом, что расстояние вдоль линии представляет значение случайной величины, а плотность массы в любой точке равна плотности вероятности для значения случайной величины, соответствующей этой точке. Для дискретного распределения масса разделяется на «точечные массы»; для непрерывного распределения масса распределяется непрерывно, а не сосредоточивается в дискретных точках. Эта аналогия может быть распространена на многомерные распределения вероятностей, полагая, что координаты распределения масс аналогичны значениям координат случайной величины. Если воспользоваться этой аналогией, то математическое ожидание случайной величины будет аналогом центра тяжести распределения масс. Аналогия может быть продолжена, если исследовать сходство между моментами распределения вероятностей высшего порядка и моментами высшего порядка распределения масс, например моментами инерции. Для одномерного распределения масс М(х), распределенных непрерывно, момент инерции J относительно оси, проходящей через точку С, лежащую на линии, будет:

/= [ (х - с)3 М (х) dx. (23-198)

Для одномерного распределения масс М(хг) (где г = 0, 1, 2, /V), распределенных дискретно, момент инерции / относительно оси, проходящей через точку С, лежащую на линии, будет:

J= j (*г - с)3 М (хг).

(23-199)

Аналогичными уравнениями для функций распределения вероятностей являются:

Е [{х - с)3] = (х - с)2 / (х) dx (23-

200)

Е {{х - с)2] = (*г - с)2 р(хг), (23-201)

где f(x) и Р (хг) являются соответственно непрерывными и дискретными функциями плотности вероятности.



Уравнения (23-200) и (23-201) дают математическое ожидание величин (х - с)2 и называются моментами второго порядка распределения вероятностей f(x) и Р(хг), сосредоточенных около с. Если с = 0, то эти математические ожидания часто называют просто моментами второго порядка. В механике хорошо известно, что момент инерции для данного распределения масс будет минимальным, если ось вращения проходит через центр тяжести системы масс. Аналогично в теории вероятностей момент второго порядка имеет особое значение и будет минимальным, если центром для него будет математическое ожидание случайной величины. Момент второго порядка, центром для которого является величина математического ожидания Е(х) = т, называется квадратичным отклонением или вторым центральным моментом. Для непрерывного и дискретного распределений вероятностей квадратичное отклонение о2* определяется соответственно следующими уравнениями:

- $

(х - mY f (х) dx; (23-202)

(*, - m)2 Р (хг), (23-203)

/• = 0

т = Е (х) = xf (х) dx;

- со N

= Е(х)= V xr Р (хг).

г = 0

Квадратный корень из квадратичного отклонения называется стандартным отклонением а случайной величины (см. § 23-20ж). Оно является хорошей мерой относительной концентрации распределения по отношению к среднему.

Моменты порядка выше второго могут быть определены таким же образом, как и моменты первого и второго порядков. Для непрерывного распределения момент га-го порядка ап дается уравнением (23-204). Центральный момент га-го порядка \хп дается уравнением (23-25). Соответствующие моменты для дискретных распределений подобны по форме уравнениям (23-201) и (23-203):

х) dx;

(23-204)

= ](х-

mff (х) dx. (20-205)

Из этих уравнений следует, что а0 = р.0 = 1 и ях = т; (д., = 0. Часто удобно вычислять квад-

* а2 в нашей литературе называют дисперсией случайной величины, а с - средним квадратичным отклонением эгой величины. (Прим. ред.)

ратичное отклонение р.» = а3 через моменты а. Раскрывая уравнение (23-205), найдем, что

со со

а2 = р,2 = x2f (х) dx - 2т xf (х) dx +

- СО - оо

+ т2 f(x) dx = a2 - а2 = £ (х2) - £2 (X). - со

(23-206)

Это уравнение справедливо как для дискретного, так и для непрерывного распределений. Ясное представление о распределении вероятностей можно получить, если моменты ап написать как коэффициенты при произвольной переменной (- s)"/n\ в бесконечном ряду, а Именно:

X/(s) = «0 -«1 fi+ а22Т"ЯзЗТ + --- (23"207>

Если полагать, что ряд сходится равномерно в интервале - e<s<t (е>0), тогда формальное представление yj(s) будет:

7(8) = £(«-") =

f(x)dx. (23-208)

Функция 7j(x) называется характеристической функцией случайной величины х. Как показывает уравнение (23-208), она равна математическому ожиданию случайной величины esx. Полагая, что s- комплексная переменная s = = f -j- /со, yj{s) есть преобразование Фурье функции f(x), если -f = 0; это будет двусторонним преобразованием Лапласа функции f(x), если fO. Эти преобразования определены только в том случае, если интеграл в уравнении (23-208) сходится абсолютно. Одним из применений характеристической функции является вычисление самих моментов. Из уравнения (23-207) видно, что а„ равно (-1)", умноженной на п-ю производную от (s) при s = 0:

-H-i-o- (2з2°9)

Уравнение, обратное (23-208), определяется (при условии определенных ограничений относительно сходимости) уравнением (23-210):

f(x) = 2iVj\ eSX/f(s)ds- (23-210)

-jco

У равнение, соответствующее характеристической функции непрерывного распределения вероятностей, дается формулой (23-211):

/• = 0

В табл. 23-10 приводятся математическое ожидание, стандартное отклонение и характеристические функции ~jf{s) и /p{s) для нескольких наиболее распространенных распределений вероятности.

23-20%. Другие распространенные распределения вероятности. В табл. 23-10 содержится несколько распределений вероятностей, не упомянутых ранее.

lp (s) =

Р(хг). (23-211)



Распределение в одной то ч-к е Простейшим распределением является распределение в одной точке, применяемое в том случае, если можно считать практически достоверным, что значение случайной величины х будет Xfi, т. е. х принимает значение хь, с вероятностью, равной единице. Это распределение можно рассматривать как предельное для других распределений, когда стандартное отклонение стремится к нулю.

Геометрическое распределен и е. Это распределение применяется в задачах, содержащих вероятность появления перед положительным результатом в опытах Бер-

нулли нескольких отрицательных результатов, так как вероятность получения отрицательных результатов и одного положительного результата будет pqr, если р - вероятность получения положительного результата в каждом опыте. Из табл. 23-10 видно, что математическое ожидание числа опытов, которые нужно провести до получения положительного результата, равно q/p.

Прямоугольное распределение. В прямоугольном распределении функция плотности вероятности постоянна в данном интервале и равна нулю вне его. Применение этого распредечения встречается в за-

Таблица 23-10

Математические ожидания, стандартные отклонения и характеристические функции для некоторых распространенных распределений вероятности

Назва ние

Функция плотности вероятности

Дискретное распределение

Распределение в одной точке

Биноминальное распределение

Распределение Пуассона

Геометрическое распределение

Непрерывное распределение

Прямоугольное распределение

Нормальное распределение

Экспоненциальное распределение

Распределение Рэ-лея

Нормальное распределение с квадратичной амплитудой

C„Prqn г (г = 0, 1,2, ... , п)

0<р<: 1 q - 1 - j

(ITY r\

pqr{r = 0, 1, 2, ...)

0<p < 1; q = l-p fix)

f(x)= { -а - п<х<а + п

P(xr) P = {o г

1 r = k к

Математическое ожидание

Стандартное от клоиение

го I

х <С а

(0 Г(х) = Ф

а 4- h < х х - т\

(X - П»)3

а у~2.п

х < 0 0 х<0

fix) = <

0 <х х<0

0<х

пр XT

Vnpq i/Tr

Характеристические функции

e~sxk

N г = 0

- qe~ Xf(s)

sh hs

hs ea

X + s 1 - as У~2ке 2

Ф (- as)

(2a2 s + l)Vs



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 [226] 227 228 229 230 231 232 233



0.01