Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 [227] 228 229 230 231 232 233

дачах, содержащих вероятности положения поворотных устройств, где угол поворота равновероятен.

Экспоненциальное распределение. Это распределение применимо, когда случайной величиной является длина интервала, на котором не появляется определенное событие, если средняя скорость появления события равна а (распределение Пуассона при г = 0) (см. § 23-20T).

Распределение Рэлея. Если на входе фильтра, передаточная функция которого симметрична относительно средней частоты фильтра и имеет малую ширину полосы пропускания по сравнению с его средней частотой (например, усилитель промежуточной частоты), существует тепловой шум, то на его выходе появится шум в виде синусоидальной волны со случайной импульсной модуляцией и со случайными изменениями фазы. Распределение на выходе в виде синусоидальной волны все еще остается нормальным (гауссовым), так как любой процесс, описываемый распределением Гаусса, приводит к другому процессу, который также характеризуется распределением Гаусса при условии, если первый процесс преобразуется с помощью такого линейного устройства, как фильтр. Однако распределение амплитуд синусоидальных волн не остается нормальным, а следует распределению Рэлея, показанному в табл. 23-10. Если о есть среднеквадратичная величина напряжения шума на входе, то на выходе математическое ожидание величины напряжения, или постоянная составляющая, будет а У тс/2 Это то напряжение, которое появилось бы на выходе идеального линейного детектора. Для идеального квадратичного детектора, т. е. для устройства, которое возводит в квадрат входное напряжение, постоянная составляющая на выходе была бы а2 (2-71/2 + 71/2) = 2а2.

Нормальное распределение с амплитудой, возведенной в квадрат. Это распределение применяется для процесса, описываемого гауссовым распределением, в котором случайная величина выбирается как амплитуда в квадрате, например для описания теплового шума, где в качестве случайной величины выбирается мощность. Его можно также отнести к у.2 - распределению, применяемому при проверке важности последовательности наблюденийслучайногопро-цесса (см. пример 23-37) [Л. 9].

23-20л. Совместные распределения вероятности; умножение случайных величин. В §23-20 б уравнение (23-178) можно написать в виде функции совместного распределения плотности вероятности для двух случайных величин. Для двух дискретных случайных величин хГ и у-(г = 0, 1, 2,..., N; t = 0, 1, 2,..., М) функция совместного распределения плотности вероятности будет:

Pi (Хп Уд = Pi (xr) Pi (ytlxr) = P3(yt)Pi (XrytY

(23-212)

При непрерывном распределении функция совместного распределения плотности вероятности для двух случайных величин хну будет:

/ (х, У) = Мх) {у/X) -= ft{y) /„ (х/у). (23-213)

Величины Pi(yt/xr); Pa(xr/yt); fi{y/x); fa(xiy) являются функциями плотности условной вероятности двух случайных величин: yt появится при условии, что появилось хг; хг следует за У{, у следует за х и х следует за у. Функции плотности вероятностей xr,yt, х, у обозначаются соответственно Pt{xr), Р«{уд, f\(x), /3 (у). Вероятность появления хг при появлении всевозможных величин yt будет:

Pi(xr)= P(xr, у,).

Подобно этому

(23-214)

(23-215)

Р*Ш= Р(Хг, У if.

/iW= \ f(x,y)dy; (23-216)

- CO

/ЛУ)= j f(x, y)dx. (23-217)

Если "P(yt/xr) = Ps(yt), то говорят, что yt не зависит от хТ или говорят, что хг и у( взаимо-независимы (за исключением тех значений случайных величин, вероятность которых равна нулю). Также если /] (у/х) =/2 (у), то у не зависит от х, а х не зависит от у. Таким образом, если две случайные величины независимы, то

Р (хп Уд = Pi (xr) Р* 07); (23-218)

fix, y)=fi(x)h(y).

(23-219)

Кроме того, если две случайные величины х, у независимы, то математическое ожидание произведения этих величин Е (х, у) будет Е (х) Е (у):

со оо

Е{х,у)-= xyf{x, y)dx dy -

- со - со со оо

= 1 1 xyfl dx dy;

- CO - CO

E{xy) = E(x) E (y). (x, у независимы). (23-220) На самом деле для любых функций случайных переменных g(x), h(y)

Е \g(x)h{y)\ = Е \g(x)] E[h{y)] (23-221)

(х, у независимы).

Соответствующие выражения математического ожидания для дискретных случайных величин остаются также справедливыми.

Пример 23-36

Радиолокационная станция способна обнаружить любой самолет в радиусе 100 морских миль. Пусть в результате исследования найдено, что распределение скоростей v самолетов происходит приблизительно по треугольному закону



с параметрами, определенными ниже через f(v), где v - скорость в узлах:

/(») =

150

33 750 600 - v 67 500 0

150 г

300 5 600

:зоо

: 600

Кроме того, положим, что направления полетов самолетов равновероятны в круге радиусом 100 миль, но что при этом они всегда летят по прямой линии и не изменяют скорости во время полета. Каково среднее время, в течение которого они будут находиться в круге, и каково стандартное отклонение от этого времени?

Решение

1. В задаче требуется вычислить математическое ожидание времени Е (t), когда самолеты находятся в круге, которое равно Е (L/v), где L - длина пути (хорда), a v - скорость самолета в круге. Так как L и v являются независимыми,

- ЕЩЕ

= ЕЩ)Е[~

2. Вычислим математическое ожидание и стандартное отклонение для длины пути в круге. По условиям задачи можно положить, что минимальное расстояние г между траекторией полета самолета и центром круга равномерно распределяется между 0 и R - радиусом круга, т. е. функция вероятности для г будет:

Г 0 г<0 fi(r)=\ 1/Я 0<r<R

{ 0 7?<г

Длина хорды, выраженная через минимальное расстояние от хорды, дается выражением

L = 2 YR - г2;

следовательно,

£(£)= J /i(r)dr= J

ЕЩ)--

4(7?*- г2)

dr =

Для R = 100 миль

E(L) = 157,1

£(L2)

мили;

(100)2 = 26 667 миль2.

3. Вычислим E (l/v) и E (1/a2):

CO b

v j J v y }v(b - a)(c - a)

X dvA-

2 (c - v)

(c - b) (c - a)

где a = 150, b = 300, с = 600 узлов

j \ 2 [ с In (c/6) a In (ft/a) »/ с - с

г»2) ft/2 2(c

с - 2(«-

г»2 (c-

-a)(c - a)

dv --

-ft)(c - а) с - a

\ In (b/a) In (c/6)

b- а с - b I

Таким образом, для частных значений а, Ь,

[600 1п2 150 1п 2 I

Е - =

450 225 г

67 500

300 150 )~

=» 0,003087 на узел;

2 Г 1п 2 1п 2 I

450 L 150 300 J

0,000010269 на узел3.

4. Математическое ожидание E(t) величины времени, в течение которого самолет находится в круге, будет:

E(t) = E Щ Е (-) = (151,7) (0,0030807) =

= 0,48391 ч 29,03 мин; -- E(t>) - £2 (t) = Е Щ) Е (1) - £3 (/) =

(26 667) • (0,000010269)2 - (0,48391)2 = = 0,039669; а/ = 0,1992 ч= 11,95 мин.

23-20м. Сложение случайных величин. Для двух случайных величин х и у с функцией совместного распределения плотности вероятностей f(x, у) математическое ожидание их суммы будет:

со со

Е(х-\-У)= j (x+y)f(x, y)dxdy =

- ОО - CO

со оо со со

= х j f(x,y)dydx+ J У j f(x,y)X

--co - со - со - CO

X dx dy = j xfi (x) dx +

- oo

+ j У/ш (У) аУ = Е (x) 4- E(y). (23-222)

Таким образом, математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий случайных величин. Такое утверждение справедливо как для непрерывного, так и для дискретного распределения случайных величин. (Заметим, что случайные величины не обязательно должны быть независимыми.)

Когда две случайные величины независимы, можно получить формулу для суммы мо-



ментов порядка выше первого через моменты отдельных случайных величин. Из § 23-20 характеристическая функция X(s) для суммы двух независимых случайных величин х и у будет.

y(s) = £(e-sJC+v>)= е (e-sxe~sv).

Так как х и у независимы, уравнение (23-221) будет:

7(s)= E(e-sx)E(e-sy) = Xi(s)Xs(s) (*> У независимы), (23-223)

где 7i (х) и Хэ (У) являются характеристическими функциями величин хну. Раскрывая уравнение (23-223) и решая относительно моментов, получим следующие результаты:

Щ(х + УУ] = Е(х3) + E(ys) + 2Е (х) Е (у)

(х, у независимы); (23-224)

°i+ v = £ К* + ~ £2 + У)= Е(х") + + Е(у>) + 2Е (х) Е (у) - £3 (л:) - £2 (у) - -2Е{х)Е(у), или а]. + - а\ -j- а1 (х, у независимы).

(23-225)

Для двух независимых случайных величин квадратичное отклонение суммы равно сумме квадратичных отклонений каждой из случайных величин. Эта формула применяется для Двух и более случайных величин. Однако для центральных моментов выше третьего порядка простой вид уравнения (23-225) не сохраняется. Так как характеристические функции являются (двусторонними) преобразованиями Лапласа или Фурье функцийплотности вероятности,то можно получить функции плотности вероятности из характеристических функций при определенных ограничениях относительно сходимости, налагаемых на входящие в них интегралы.Так, функция плотности вероятности f(z) для суммы двух случайных величин z = х -f- V и характеристическими функциями для каждой из иих li(s) и Xa(s) будет выражаться следующей формулой:

/(z) = j /(s)e«ds= £ /л (s) х* (s) es

" (23-226)

Эквивалентная формула может быть выведена из уравнения (23-226):

/(г)

= \ /i(i)/s(*-;)<

(23-227)

•где fi(x) и fa(y) являются функциями плотности вероятности для случайных величин х и у.И та и другая форма уравнения (23-227) называется интегралом свертывания.Эквивалентны ми уравнениями для функций распределения являются

; Р(г)= j Г,(г -=)/,(=)d== .

- оо оо

= £ F°Az - rt)fi(i)d;, (23-228)

где /ч(х), /•«(У) и f(z) являются функциями распределения соответственно для д,уиг = х -\- у.

Пример 23-37

Рассчитать количество независимых измерений, которые должны быть проведены на источнике гауссовского шума, чтобы средне-квадратическая величина измерений а* находилась с вероятностью 0,95 в пределах 50% стандартного отклонения, если математическое ожидание измерений равно нулю, а стандартное отклонение а.

Решение • "

1. Вычислим характеристическую функцию для суммы результатов измерений шума с гауссовым распределением х? -\-х\ 4- ... -\-хп. Предполагается, что все отдельные случайные величины имеют одинаковое нормальное распределение, а именно:

1 „ -4п°*

a }/2jc так что вероятность

(-СО < x; < СО),

которая лежит

между х; и xi + dx,-, будет /,-(*;) dxi =

V~2n

:cc).

Пустьy{ = xh г0ГДа вероятность, которая лежит между у»,- и yt + dyi, будет:

gi(yi)dy, = 2fi{Xi) dx, =

(--CO<x;<CO) (0<j>

:co).

Характеристическая функция для j>,-, будет-

Izi (s) = J

-v./2tr»

о }/"2tc Yy:

-sv.

e 1 dyi --

(2a2s+ 1)

Так как случайные величины хь х2 х„ независимы, характеристическая функция Xg(s) для х; 4- х- + ... + х\ = у у +у2 ••• +Уп равна:

7 (S) " (~2a-s + 1)"/2 • 2. Найдем функцию плотности вероятности для х; + xi 4- ... + х-п. Характеристическая

функция для суммы является функцией х2"Рас пределения. Функция плотности вероятности для суммы будет:

g(y) =

(я -21/2 -

(2а3)«/2Г (П/2)

. со).

3. Подсчитаем число независимых изменений, необходимых для достижения того, чтобы с вероятностью 0,95 сумма

a* = y(xJ+X?, + ...+X)/n

находилась в пределах 50% величины стандартного отклонения а. Другими словами, найдем такое п, чтобы вероятность Р = 0,95,

х\ 4- xl 4-... 4- х2 0,25а2 <- а-±-< 2,25а*



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 [227] 228 229 230 231 232 233



0.0077