Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 [228] 229 230 231 232 233

0,25да2 < у! -f- у2 4- ...4-уи < 2,25гаа2.

Таким образом, необходимо найти такое га, чтобы

2,2аля2 2,25noS

yi/2-le-y/2aS

0,25л<г2 0,25«ч2 v

X tfy = 0,95.

Пусть г = а2у, тогда этот интеграл становится

2,25ясг2 2,25л

л/2-1 0z/2

С С zn/z~ ег

0,25ni2 0,25л v

2,25л

= j Л (z) dz = 0,95,

0,25л

где h(z) = -

(2)«/2Г("/2) • Таблицы интеграла " -распределения обычно

составлены для h(z) dz, так что необходимо a

переписать вышеприведенный интеграл:

2,25 л

0,25л

Р= h(z)dz= h(z)dz-

~ "" 0,25л

Л(г)Й2 = 0,

,95.

Из таблиц/-распределения может быть составлена следующая таблица:

/г (г) dz

ft (г) dz

0,25п

2,25л

0,96

0,04

0,92

0,97

0,03

0,94

0,98

0,03

0,96

0,985

0,015

0,97

Из таблицы видно, что измеренная величина стандартного отклонения будет лежать с вероятностью 0,95 в пределах ± 50% от действительного стандартного отклонения, если будет произведено восемь измерений.

20-20н. Центральная предельная теорема. Функцию плотности вероятности для суммы многих независимых случайных величин обычно трудно получить, особенно тогда, когда функции плотности вероятности каждой из случайных величин, входящих в сумму, различны. Однако при самых общих условиях часто возможно воспользоваться хорошим приближением для функции плотности вероятности, которое является результатом центральнойпре-дельной теоремы. Грубо говоря, эта теорема постулирует, что функция плотности

вероятности для суммы многих независимых случайных величин примерно подчиняется нормальному закону распределения. Если каждая из случайных величин хь х2, хп имеет соответствующее математическое ожидание ти /я», тп и соответствующие стандартные

отклонения оь <j2, аш, то математическое ожидание т и стандартное отклонение а нормального распределения, являющегося приближением для суммы случайных величин, будут:

«1 4- т. 4- ... 4- тп;

Приближение будет особенно хорошим, когда ни одна из случайных величин, входящих в сумму, не преобладает. Хорошими примерами применимости центральной предельной теоремы являются дробовой шум в вакуумных лампах и тепловой шум в активных сопротивлениях.

23-20о. Корреляция случайных величин. При сложении двух случайных величин х и у, которые не являются независимыми, уравнение (23-222) будет справедливо для математического ожидания суммы этих величин. Однако при вычислении отклонения суммы двух зависимых случайных величин уравнение (23-225) будет несправедливо:

°%+У = Е\(х + УГ] -Е>(х + у) = Е (Xs) + 4- Е (у-) + 2Е (ху) - £2 (х) - Е~ (у) --2Е (х) Е (у) = о* + »• + 2 [Е (х, у) -

-Е(х)Е(у)]

" + ау + 2ра

(23-229)

х+у - "х -г "у -г -гилг> (23-230)

где р называется нормированным коэффициентом корреляции и определяется выражением

Е(х, у)-Е(х) Е(у)

ахау

(23-231)

Коэффициент р изменяется между -1 и 4-1, поскольку он нормирован по множителю °х°у. Его название означает, что р есть мера того, насколько одна случайная величина зависит от другой, хотя такое определение и не является строго справедливым. Именно в случае, когда две случайные величины независимы, коэффициент корреляции равен нулю. Однако если коэффициент корреляции равен нулю, то это еще не означает, что случайные величины независимы 1.

23-20п. Корреляционные функции, применяемые к временным процессам; стационарные временные процессы и свойства эргодичности. В настоящее время коэффициенты корреляции находят наиболее важное применение в технике при изучении временного процесса, т. е. в непрерывной или дискретной последовательности событий, связанных статистически так, что следующие друг за другом значения последовательности не являются статистически независимыми.

Если задан непрерывный временной процесс x(t), то нормированный коэффициент кор-

1 Обратное утверждение, т. е. что при р =и две случайные величины независимы, неверно, так как равенство нулю коэффициента корреляции указывает только на отсутствие линейной зависимости величин. (Прим. ред.)



реляции, относящийся к математическому ожиданию для временного процесса в моменты времени ti и t%, может быть вычислен из уравнения (23-231)-

Е Ux(tt) х (tg)l - Е[х (f,)] Е [х (U)]

где x(ti) и x(t$) - значения временного процесса в моменты времени соответственно lt и tt, a <*x(ti) и ах (t%) - стандартные отклонения временного процесса в моменты времени г, и ti. На практике более часто приходится иметь дело не с нормированным коэффициентом корреляции, а с корреляционной функцией (ненормированной), определяемой выражением

Ф (tu r2) = E[x(ti)x(t,)} =

= \ x(fi)x(t3)f[x{ti)x(ts)]dx(t1)dx(ti),(2Z-2b2)

где f[x(ti), x(ts)] - функция совместного распределения плотности вероятности для величины x(t) в моменты времени t, и г2. Заметим, что в случае, когда две случайные величины имеют среднее значение, не равное нулю, корреляционная функция, определенная таким образом, не будет равна нулю, если случайные величины независимы.

Часто встречается случай, когда функция плотности вероятности х (г) не зависит от г. В этом случае говорят, что временной процесс будет стационарным. Корреляционная функция стационарного временного процесса зависит только от разности t,, г2 и ни от какой другой величины не зависит. При разности между моментами времени, равной т., корреляционная функция стационарного временного процесса будет.

Ф(т)

х (t)x(t+i)f[x(t), x(t+i)]dx(t) X

X dx (t + т).

(23-233)

Может быть определена другая функция, которая часто равна корреляционной функции для стационарного временного процесса. Она дается выражением

4T(t) =lim-5=

(г) х (t + т) dt. (23-234)

Функция ЧГ(т) равна Ф (т), если стационарный временной процесс обладает свойством эргодичности. Стационарный временной процесс будет эргодическим, если

E[g(x)[= g(x)f{x)dx =

= Hm Т-со 2 У

g [х (г + и)] du (23-235)

для всех значений t, за исключением тех, где вероятность временного процесса равна 0. Первый интеграл называется функцией усреднения по множеству g(x); второй называется

усреднением по времени. Приближенно можно считать, что множество реализаций стационарного временного процесса обладает свойством эргодичности, за исключением временных последовательностей с нулевой вероятностью. Такое допущение справедливо, если из совокупности всех возможных временных процессов, относящихся к частной задаче, ни один из них не может рассматриваться как реализация эксперимента при неравенстве среднего значения по множеству реализаций и среднего по времени. Например, можно предположить, что тепловой шум будет эргодичен. Следовательно, путем наблюдений, проводимых за источником теплового шума в течение долгого времени, возможно вычислить автокорреляционную функцию посредством усреднения во времени.

Если можно допустить, что стационарный временной процесс обладает свойством эргодичности, то корреляционная функция для непрерывного временного процесса будет: Т

§x(t)x(t + т) dt. (23-336)

Аналогично для дискретного временного процесса

Ф(т) =

lm -2f

Ф;= Hm

2/V -f-

XiXi+l. (23-237)

i=-N

Из этих формул видно, что когда временной процесс обладает свойством эргодичности, квадрат величины математического ожидания временного процесса E[xs(t)[ будет:

E[x*(t)\ = Ф (0) = lim .5=

(t) dt (23-238)

£1*И = Ф(0) = 2А7+1

(23-239)

r=-JV

Более того, когда стационарный временной процесс эргодичен, среднее или математическое ожидание х будет:

E[x(t)]= lim [x(t)dt (23-240) Г-i-oo 21 J

Е [xi] = lim -

"/V-oo 2A7 -t-

- Г N

(23-241)

Если можно допустить, что временной процесс стационарный и обладает свойством эргодичности,то предыдущие формулы дают основу для получения возможных статистических сведений из наблюденных величин временной последовательности. Более того, можно обосновать сделанные допущения относительно того, что временной процесс либо стационарен, либо обладает свойством эргодичности, применяя анализ наблюдений, выполненных над временным процессом, хотя выводы такого анализа связаны с довольно сложными статистическими вопросами.



23-20р. Спектры стационарных временных процессов. При условии определенных ограничений относительно сходимости функций временной процесс (однозначная функция времени) имеет преобразование Лапласа или, что практически эквивалентно, преобразование Фурье. Обычно на практике при рассмотрении спектров стационарных временных процессов используется преобразование Фурье.

Для функции времени £(г) преобразование Фурье s(г) определяется следующим образом-

Я(со) = \(t)e-mt dt. (23-242)

- со

Если E(t) - функция, пропорциональная в электрической цепи напряжению или току, то Н(ш) называется спектром Фурье функции i(t). Квадрат абсолютной величины Н(ш) называется спектральной плотностью энергии Е(ю) функции 5(г):

Е (со) = \Н (<о)2 = Н («)Я* (со), (23-243)

где Н*(ю) - величина, комплексно сопряженная с (со).

Из теории интеграла Фурье (теорема Пар-севаля) следует:

со со,

£ (со) d<a = ¥(t)dt. (23-244)

О -оо

При рассмотрении временного процесса обычно энергетический спектр временной функции бесконечен, так как предполагается, что временной процесс распространяется во времени бесконечно. Тогда спектр мощности представляет больший интерес, чем энергетический спектр, который по необходимости ограничивался бы только конечной частью временного процесса. Для временного процесса x(t) спектральная плотность мощности определяется выражением

К (со) = lim J= fx(0". (23-245) Г-со 2/ J - Т

Тогда спектр мощности G(co) будет:

G (и) = У (со) а = У (со) У* (со). (23-246)

Далее,

со т

\ G(co)dco = lim ~ \x\t)dt. (23-247)

J Г-со 2/ ,)

О - 7

Эти уравнения справедливы как для нестационарного, так и для стационарного временного

процесса. Если выразить G(co) через функцию Ф(т:), определенную уравнением (23-234), то можно показать, что

G (со) = J ф (т) е--"" dx. (23-248)

Таким образом, если временной процесс является и стационарным и эргодическим, то спектр мощности Оф(со) будет:

СО ск

Оф (со) = ф (х) e-m dx. (5з-

249)

Следовательно, спектр стационарного временного процесса, обладающего свойством эргодичности, может быть вычислен по чисто статистическим параметрам временного процесса. Далее,

ф (х) = 2 °ф(ю) eJmtdu>- (23-250)

Таким образом, для стационарного временного процесса, обладающего свойством эргодичности, статистические данные могут быть определены из спектральных характеристик временных процессов. Уравнения (23-249) и (23-250) образуют основу для большой части современной теории фильтров, посвященной задачам разделения сигналов и шума.

ЛИТЕРАТУРА

1. Е. A. G u i 1 1 е m a n. Introductory circuit theory, John Willey and Sons, Inc., New York, 1953.

2. M. F. Gardner and J. L. Barnes, Transients in linear systems, John Willey and Sons. Inc., New York, 1942, vol. 1.

3. C. A. Campbell and R. M. Foster, Fourier integrals, D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton, N. Y., 1948.

4. Admiralty computing service department of scientific research and experiments, London, Dictionary of Laplace transforms, 1948.

5. A. E г d e 1 у l (ed), Tables of integral transforms, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1954.

6. N. W. M с L a u g h 1 a n. Complex variable and operational calculus with technical application, The Macmillan Company, New York, 1944.

7. E. T. W h i t t a k e r and G. N. Watson, Modern analysis, The Macmillan Company. New York, 1943.

8. R. E. D о h e r t у and E. G. Keller, Mathematical methods in engineering, John Willey and Sons, Inc., New York, 1942, vol. 11.

9. H. Cramer H., Mathematical methods of statistics, p. 416ff, Princeton University Press, Princeton, N. Y., 1951.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 [228] 229 230 231 232 233



0.0077