Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [25] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

Основе использования функции правдоподобия и отношения правдоподобия.

В математической статистике [22] функция правдоподобия формируется из многомерной плотности распределения (4.4.2) случайных величин путем замены в ней независимых переменных уъ..., ут значениями выборки у1в, утВ, полученными в результате приема каждой конкретной реализации.

В задачах обнаружения функции правдоподобия при наличии и отсутствии сигнала будут равны соответственно

lB(uc) = wm{ylB, ymJuc)= П Щ(у1в/ис), (4.4.4)

»(0) = o»m(jflBl ymJQ)= ПщШО). (4.4.5)

/ = i

Обычно в литературе не делают различий в обозначениях аргументов функций распределения (4.4.2), (4.4.3) и числовых данных каждой конкретной выборки (4.4.4), (4.4.5), что нередко приводит к недоразумениям. Поэтому в дальнейшем выборочные данные, представляющие набор случайных чисел и функций от них, которые также являются случайными числами на совокупности выборок, будут снабжаться индексом «в» (выборка).

Величина функции правдоподобия для каждой конкретной выборки характеризует, какое из двух событий ис Ф О или ис = 0 является более правдоподобным. При построении процедур обнаружения сигналов на основе рассмотренных выше статистических характеристик выборочных данных бывает удобнее сравнивать между собой не величины 1В (ис) и 1В (0), а их отношение

отнв = /В("с)/в (0), (4.4.6)

называемое отношением правдоподобия, с порогом h. Отношение правдоподобия также является случайной величиной на совокупности выборок.

По соображениям, которые станут ясными из дальнейшего, предпочитают сравнивать с порогом не само значение /отнв, а его натуральный логарифм, т. е.

vB -- 1п/отнв i; С, 152

(4.4.7)

где С = In h. Поскольку логарифмическая функция неубывающая, а /отнв - неотрицательная величина, оказываются эквивалентными процедуры сравнения /отнв с порогом h и vB с порогом С.

Процесс обнаружения сводится к следующему. Для каждой реализации вычисляется логарифм отношения правдоподобия и сравнивается с порогом С. Если оказывается, что vB > С, то принимается решение о наличии сигнала в данной реализации, а при vB <Z С сигнал считается отсутствующим.

При сравнительно малых отношениях сигнал/шум, а также вследствие случайности принимаемых реализаций логарифм отношения правдоподобия является случайной величиной и возможно выполнение неравенства vB > С при отсутствии сигнала. В этом случае обнаружитель примет ошибочное решение о наличии сигнала. Ошибки такого рода называются ложными тревогами. И наоборот, если vB < С при наличии сигнала, то выдается ошибочное решение, называемое пропуском сигнала.

При низком пороге пропуски сигнала будут практически отсутствовать, но сильно поднимется процент ложных тревог. Завышение порога увеличит число пропусков сигнала при уменьшении ложных тревог. Интуитивно чувствуется, что существует оптимальное значение порога. Такое значение действительно имеется, причем оно зависит от ряда условий, и в частности от критерия, положенного в основу построения оптимального обнаружителя. Выбор того или иного критерия оптимальности системы, в том числе и для систем обнаружения сигналов, является в значительной степени субъективным актом, т. е. критерий не выводится из теории, а назначается волевым приемом, исходя из особенностей функционирования конкретной оптимизируемой системы. Разумность и ценность принятого критерия качества работы системы проверяется на практике.

Так, установлено, что для оптимизации обнаружителей радиолокационных станций целесообразно использовать критерий Неймана - Пирсона, а для систем связи более подходит критерий идеального наблюдателя. При использовании критерия Неймана - Пирсона задается уровень * ложных тревог и требуется, чтобы вероятность обнаружения при этом была бы максимальной. Критерий идеального наблюдателя требует; чтобы суммарная ошибка, вызванная



как ложными тревогами, так и пропуском сигнала, была минимальной.

После того, как критерий принят, определяется оптимальное значение порога С на основании требований данного критерия и устанавливается структура оптимального обнаружителя.

Логарифм отношения правдоподобия vB, определяемый формулой (4.4.7), представляет собой выборочное значение некоторой случайной величины V. Вид плотности распределения этой случайной величины зависит от того, присутствует в данной реализации сигнал или его нет.

Обозначим через ад (vluc) плотность распределения V при наличии сигнала в реализации, а через ад (v/0) - при его отсутствии. В соответствии с принятыми ранее определениями, вероятность ложной тревоги выражается формулой:

Рлт = 5 w (и/О) dv, (4.4.8)

а вероятность пропуска сигнала - с

Рпс= I w(vluc)dv. (4.4.9)

Полученным результатам можно дать наглядное геометрическое представление (рис. 4.2). Здесь изображены плотности распределения случайной величины V (логарифма отношения правдоподобия) соответственно при отсутствии и наличии сигнала. Вероятность ложной тревоги рлт представляет собой площадь под кривой ад (и/О) справа от порогового значения С (луч gB), а вероятность пропуска сигнала рпс - площадь под кривой ад (v!uc) слева от него (луч g0).


Рис. 4.2,

Очевидно, что вероятность правильного обнаружения рпо будет равна

рп0=1-рпс= \w(vluc)dv. (4.4.10)

Эта вероятность определяется как площадь под кривой ад (v/uc) справа от порога С.

Как следует из приведенного рисунка, с увеличением порогового уровня уменьшается вероятность ложной тревоги, но одновременно уменьшается и вероятность правильного обнаружения. При снижении порога картина будет обратной.

Для вычисления вероятностей рлт, рас и рп0 можно воспользоваться и непосредственно совместными плотностями распределений адт (уъ..., yjuc) и адт (ylt..., yJO) последовательности случайных величин Ylt..., Ym, порождающих анализируемые выборки у1в, .... утв. Такая возможность обусловлена правилами обнаружения, сформулированными ранее. Пространство всех возможных выборок (пространство существования случайного вектора Y) разбивается на две непересекающиеся области Gc и G0. Попадание данной конкретной выборки в область Gc эквивалентно тому, что случайная величина V примет значение vB, попадающее на луч gc оси v (рис. 4.2). Если выборка попадает в область G0, то ув будет находиться на луче g0. Отсюда следует, что

Рлт = Jv-Jwm (г/i,..., утЩ dyv.. dym, (4.4.11)

Рпс = Jc0... $Wm (#!,••- Ут/Uo) Уи - х <fym. (4.4.12)

т. е. при таком подходе к определению рлт и рпс требуется вычисление m-кратных интегралов, поэтому на практике чаще пользуются выражениями (4.4.8) и (4.4.9).

Проведенный анализ показывает, что путем вычисления отношения правдонодобия удалось преобразовать /п-мерное (а в пределе бесконечномерное) пространство выборок (пространство наблюдений) в одномерное. Подобные преобразования широко применяются в математической статистике и составляют суть анализа опытных данных для получения из них определенных выводов.

Если преобразование осуществляется так, что не происходит потери информации, содержащейся в исходной выбор-



ке, то оно называется достаточным, а полученная в результате его случайная величина - достаточной статистикой. Отношение правдоподобия является достаточной статистикой.

Оптимальность критерия Неймана - Пирсона состоит в том, что при его использовании оперируют с достаточными статистиками (отношением правдоподобия), и выявляется лишь при сравнении с другими процедурами обработки, не приводящими к достаточным статистикам. Такое сравнение показывает, что при заданном уровне ложных тревог процедура Неймана - Пирсона дает наибольшую вероятность правильного обнаружения. Пороговое значение Сн п при использовании критерия Неймана -Пирсона находится в результате решения уравнения

оо 1

Рпто= I w{vlO)dv, (4.4.13)

сн-п

в котором заданы вид плотности распределения w (и/0) и величина допустимой вероятности ложной тревоги рлт0.

Для определения порогового уровня Си„ при использовании критерия идеального наблюдателя необходимо вычислить вероятность полной ошибки

оо С

Рош = Ро$ w(vlQ)dv + pe J w(v!uc)dv, (4.4.14)

С - оо

где р0 и рс - априорные (т. е. задаваемые до начала анализа реализации) вероятности отсутствия и наличия сигнала соответственно.

Для нахождения порога Син, который обеспечивает минимум рош, необходимо производную по С от правой части выражения (4.4.14) приравнять нулю. В результате получается уравнение

P"(rC"/0\=i- (4.4.15)

рсш(Сан/ис)

Решая это уравнение относительно порога, находят значение Син, соответствующее критерию идеального наблюдателя.

С принципиальной точки зрения критерий идеального наблюдателя кажется более содержательным в сравнении с критерием Неймана - Пирсона, так как в нем учитывает-156

ся прошлый опыт, отраженный в величинах априорных вероятностей ро и рс. Однако на практике бывает очень трудно найти ситуации, в которых можно заранее и достаточно обоснованно указать величины р0 и рс, поэтому часто их берут равными р0 = р0 = 0,5. Тогда уравнение для определения Снн будет иметь вид:

ИСин/0) L (4.4.16)

а>(Син/"с)

Этот частный случай критерия идеального наблюдателя иногда называют критерием максимального правдоподобия.

Условие (4.4.16) означает, что порог должен соответствовать точке пересечения кривых w (о/О) и w (v/uc) на рис. 4.2, поэтому ложные тревоги и пропуски сигнала будут наблюдаться с равными вероятностями. При использовании критерия Неймана - Пирсона порог обычно устанавливается так, чтобы вероятность ложных тревог была существенно меньше вероятности пропуска сигнала. В этом основное различие рассмотренных критериев.

Общим для этих критериев является то, что процедуры обнаружения при использовании каждого из них строятся на основе вычисления отношения правдоподобия. Это обстоятельство обусловлено тем, что они входят в качестве подклассов в более общий так называемый байесовский критерий или, как его еще именуют, критерий минимума среднего риска.

Байесовское обнаружение, разработанное в теории статистических решений, состоит в том, что помимо выборки и априорных вероятностей ри и рс задаются еще определенные потери или ущерб, которые вызываются ложными тревогами и пропуском сигнала. По этим данным вычисляется средний риск, связанный с принятием решения о наличии или отсутствии сигнала. Пороговое значение С выбирается так, чтобы средний риск был минимален. Если потери, обусловленные ложными тревогами и пропуском сигнала, принять одинаковыми, то байесовский критерий переходит в критерий идеального наблюдателя.

Поскольку задать обоснованные величины потерь для реальных ситуаций очень трудно, практическая ценность байесовского критерия невелика. Однако он позволяет в теоретическом плане более четко обосновать оптимальность всех процедур обнаружения, построенных на основе вычисления отношения правдоподобия.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [25] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82



0.0071