Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 [28] 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

Ш<Р

Рис. 4.7.

0грЫ-I

ПУ <

настроены на частоту сигнала. Полоса пропускания АРуф узкополосного фильтра согласована с длительностью сиг-

нала Т, т. е.

ИТ. Для соотношения полос АРшф и

Afy<h фильтров ШФ и УФ выполняется следующее условие: Ашф/А/7Уф » 1.

Напряжение с выходов фильтров подаются на ограничители (Огр) и далее на каскад совпадений (КС), формирующий импульсы нормированной амплитуды, длительность которых пропорциональна времени совпадения положительных полярностей напряжений, поступающих с ограничителей. Далее следует интегратор и пороговое устройство (ПУ). Обнаружение сигнала производится по превышению напряжения на выходе интегратора порогового уровня иа. В статье [188] рассмотрен усовершенствованный вариант знакового обнаружителя.

3. Фильтрация

В радиосвязи задача оптимальной фильтрации состоит в наилучшем выделении передаваемого сообщения из принимаемой смеси сигнала с шумом. В радиолокации и радионавигации такому выделению подлежат процессы, характеризующие изменение во времени координат цели относительно РЛС или снабженного радионавигационной аппаратурой подвижного объекта относительно некоторых ориентиров Применительно к автоматическим измерительным устройствам подобные процессы часто называют входными или полезными воздействиями. Объединяют такие понятия, как сообщение и полезное воздействие, то, что они могут рассматриваться в качестве отдельных реализаций некоторого случайного процесса.

Существуют различные модели задания случайного процесса. В радиосвязи, например, речевое сообщение отождествляется с выборочной функцией х (I) гауссова процесса. Хотя это и не вплоне правомерно, но эксперименты показы-170

на ют, что если при проектировании исходят из допущения о нормальности фильтруемого процесса, то полученная система работает вполне удовлетворительно и при некоторых отклонениях входного процесса от гауссова [261.

В качестве статистической модели движения радиолокационной цели также часто используются выборки некоторого стационарого случайного процесса [149]. Наряду с этим рассматривается и полиноминальная модель [93], когда измеряемая координата х (/) представляется в виде полинома

*(/)=2а,/. <4-4-38>

< = о

Для каждой проводки цели коэффициенты полинома at остаются постоянными. Но они меняются по случайному зa кону при переходе от одной проводки к другой. Статистические характеристики коэффициентов считаются известными. Аналогичными способами задаются законы изменения координат и при радионавигационных измерениях.

Сообщением (измеряемым процессом) модулируется несущее колебание, поэтому принимаемый сигнал uc(t, х (t)) представляет собой детерминированную функцию времени и случайного процесса х (f). Прием сигнала сопровождается действием шумов (возмущений ) иш (t). Задача фильтрации состоит в выделении из принимаемой смеси

Иу (t) = ис (t,x(t)) + иш (0 (4.4.39).

полезного сообщения x(t).

Схема выделения строится на основе статистических свойств процесса х (t) и шумов иш (t), вида кодирования сообщением несущего колебания и принятого критерия качества фильтрации. В зависимости от того, линейно или нелинейно осуществляется кодирование несущего колебания процессом х (0, различают линейную или нелинейную фильтрацию. Примером линейного кодирования является амплитудная модуляция, а в качестве нелинейного можно назвать фазовую и частотную модуляции.

Наиболее полные результаты получены в теории линейной фильтрации. Эти результаты имеют важное значение и для нелинейной фильтрации. Дело в том, что в большинстве практически важных случаев устройства оптимальной линейной и нелинейной фильтрации радиосигналов можно



разделить на две части: безынерционный дискриминатор (демодулятор) и фильтрующие частотно-избирательные цепи. В дискриминаторе осуществляется «извлечение» из сигнала ис (t, х (0) самого сообщения х (t), а выделение этого сообщения из шумов производится в линейных инерционных цепях оптимального фильтра [52, 8].

Встречаются также ситуации, когда оптимальный фильтр не содержит дискриминатор и состоит только из частотно-избирательных цепей. Примерами таких ситуаций можно назвать следующие: использование оптимального фильтра при вторичной обработке радиолокационных данных; фильтрация в нерадиотехнических измерителях; совместная обработка данных, получаемых от нескольких радиотехнических и нерадиотехнических измерителей.

Поэтому синтез частотно-избирательных цепей, обеспечивающих оптимальное выделение сообщения х (f) из смеси его с шумом, в теории фильтрации имеет фундаментальное значение.

Задача оптимальной линейной фильтрации формулируется следующим образом. Фильтруемый процесс х (t) совместно с шумом (помехами) £ (i) образует аддитивную смесь

у(() = х (/) + (г). (4.4.40)

Как отдельные слагаемые, так и сумма в целом представляют собой реализации некоторых случайных процессов. В соответствии с условием (стр. 152), составляющие выражения (4.4.40) следовало бы снабдить индексом «в» (выборка). Однако в данном разделе не будут фигурировать законы распределения и, следовательно, исключается опасность путаницы выборочных значений и аргументов функций распределения. Поэтому для упрощения записей индекс «в» при обозначении реализации опускается.

В процессе фильтрации воспроизведению подлежит либо само сообщение х (t), либо некоторое воздействие х* (/), связанное с х (t) заданным функциональным преобразованием. Таким функциональным преобразованием будет, например, дифференцирование или интегрирование х (/). В этом случае на выходе фильтра воспроизводятся производная или интеграл от х (t). Воспроизведение х (fj может осуществляться в момент поступления данных (собственно задача фильтрации), спустя время tv после поступления данных (задача интерполяции или сглаживания). Наряду 172

u/tf

Формирующий фильтр


Оптимальный фильтр h0(t,tJ,<P0(t,ja))

Рис. 4.8.

с этим возможно предсказание будущего поведения процесса х (t) на время ta от момента поступления данных (задача экстраполяции или предсказания).

Критерием оптимальности процедуры обработки является минимум среднеквадратической ошибки. Если воспроизводится сам процесс х (t), то должно обеспечиваться условие

М {Ax2} = М {[х (t) - х (t)]2) = min,

где х (f)- процесс на выходе фильтра, а символ М {} обозначает операцию статистического усреднения.

Наиболее завершенные результаты в теории линейной фильтрации получены для процесса х (/), являющегося стационарным и, в частности, для того практически важного случая, когда спектральная плотность процесса описывается дробно-рациональной функцией частоты. Наглядное представление о получении таких процессов дает метод формирующего фильтра. Суть метода состоит в том, что процесс x{t) образуется на выходе линейного фильтра, на вход которого подается белый шум.

На рис. 4.8 показана процедура формирования сообщения х (/) и выделение его из смеси с шумом % {t) при помощи оптимального фильтра. Для простоты будем полагать, что шум (0 белый и не коррелирован с х (/). Учет отличия шума от белого не вносит в процедуру отыскания оптимального фильтра ничего принципиально нового, но делает синтез более громоздким.

Формирующий фильтр характеризуется весовой функцией кф (т) или комплексной частотной характеристикой Фф (/со). Для оптимального фильтра имеем соответственно весовую (в общем случае нестационарную) функцию ft„ (t, т) или комплексную частотную характеристику Ф0 (t, /со), вид которых должен быть определен в процессе синтеза.



Шумовые воздействия и (t) и (I) задаются корреляционными функциями

< = -б(т) и Д6(т) = --б(т)

р.:п спектральными плотностями Gu (со) = Nu и G (со) = -- /V,; соответственно.

Корреляционная функция Rx (т) и спектральная плот-1к;сгь Gx (со) процесса л: (/) связаны с характеристиками формирующего фильтра Иф (т) и Фф (/со) следующими соотношениями:

(т) = ~ j h. (\) АФ (X +т) dX., (4.4.41)

С1(со) = Л/иФф(/со)2. (4.4.42)

Задача определения структуры и параметров оптимальною фильтра в рассматриваемых условиях решалась Винером. Было найдено, что весовая функция h0 (t, т) должна удовлетворять следующему интегральному уравнению:

J [Rx (т, к) + Rt (т, к)] ha (t, к) dk = Rx (/, т) (4.4.43)

или, учитывая, что шум белый

~K(t, т) + jRx(t, k)ha(t,k)dk = Rx(t, т). (4.4.44)

Как показывает (4.4.44), структура оптимального фильтра зависит от вида корреляционной функции Rx (т) фильтруемого процесса, а та, в свою очередь, определяется весовой функцией /гф (т) формирующего фильтра (4.4.41). Однако связь между весовыми функциями достаточно сложная и определить h0 (t, т) непосредственно по виду Лф (т), не решая интегральных уравнений (4.4.43) или (4.4.44), невозможно.

При решении уравнения (4.4.43) возникают значительные трудности, особенно, если рассматривается неустановившийся режим, т. е. учитывается момент включения оптимального фильтра, а комплексный коэффициент передачи формирующего фильтра представляет собой отношение полиномов высокого порядка. Некоторые примеры вычисления

иесовой функции оптимального фильтра для различных корреляционных функций Rx (т) рассмотрены в книге [8]. Несколько проще определить характеристики фильтра в установившемся режиме, когда верхние пределы интегралов в (4.4.43), (4.4.44) принимаются бесконечными. В этом случае уравнения (4.4.43), (4.4.44) решаются методом преобразования Фурье, а результатом решения будет комплекс-пая частотная характеристика Ф0 (/со) оптимального фильтра [149].

После определения Л0 (t, т) или Ф0 (/, /со) возникает задача воспроизведения (моделирования) фильтра либо в виде алгоритма работы вычислительной машины, или в виде некоторой конструкции, состоящей из резисторов, конденсаторов, индуктивностей, следящих систем и т. д. При современном развитии техники, когда ряд радиотехнических устройств имеет выход на вычислительные машины, задание фильтра в виде алгоритма предпочтительнее. Поэтому необходимо перейти ot7i0 (t, т) к дифференциальным уравнениям, которые описывают процессы в оптимальном фильтре. Хотя такой переход в принципе всегда возможен [125], однако он связан с громоздкими вычислениями.

Перечисленные выше трудности, связанные с решением уравнений (4.4.43), (4.4.44) и моделированием винеровского фильтра, явились одной из причин ограниченного применения его в практических разработках. Эти же трудности послужили стимулом для поисков новых подходов к решению задачи оптимальной фильтрации. Весьма плодотворной оказалась идея задания формирующего фильтра в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка, что позволило получить очень простую связь между структурами формирующего и оптимального фильтров. На этой идее основана" методика синтеза, предложенная Калманом и Бьюси [73]. Фильтры, построенные по этой методике, носят название фильтров Калмана.

С целью уяснения существа вопроса введем основные понятия теории фильтров Калмана иа основе рассмотрения простейшего примера. Предположим, что фильтруемый процесс x(t) формируется путем прохождения белого шума через низкочастотный фильтр с комплексной частотной характеристикой

ФЛ/со) =---- (4.4.45)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 [28] 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82



0.0088