где со0 - собственная частота фильтра; d - коэффициент затухания.

Частотной характеристике (4.4.45) соответствует весовая функция

К М ехр (-Л»0т) sin со0т /TJ2. (4.4.46)

yl-d2

Для нахождения винеровского оптимального фильтра необходимо из (4.4.41) определить корреляционную функцию Rx (т) по заданной выражением (4.4.46) весовой функции формирующего фильтра, а затем решить интегральное уравнение (4.4.44). Нетрудно представить сложность подобной задачи.

Рассматриваемый формирующий фильтр может быть задан также дифференциальным уравнением второго порядка

d2 х dx

-- + 2dco0 -- + cog x = cog и, (4.4.47)

где и - мгновенное значение белого шума, подаваемого на формирующий фильтр. Здесь и далее для упрощения записи аргумент / у функций времени будет опускаться.

Вместо уравнения (4.4.47) запишем систему из двух уравнений первого порядка, обозначив xt = х, х% = dxldt,

dxi ~dT dx2 dt

- X%,

= - cog я,- 2rfcoux2 +cog

(4.4.48)

Векторная форма системы уравнений (4.4.48) имеет вид dxi

dt dx2 dt

- cog

2du>n

--Fx + Cu

(4.4.49)

Рис. 4.9.

Применительно к рассматриваемому примеру х представляет собой вектор-столбец с элементами Ху и х2; матрицы F и С равны соответственно

-cog

наконец, вектор шумов и состоит из элементов 0, и.

На рис. 4.9 изображена модель образования смеси полезного воздействия х и шума £ при задании формирующего фильтра в виде дифференциальных уравнений. Элементы вектора х характеризуют состояние модели, поэтому их называют переменными состояния. Как правило, в качестве переменных состояния выбираются выходные сигналы интеграторов [561.

Уравнение (4.4.49) описывает формирующий фильтр сколь угодно высокого порядка. Более того, матрицы F и С в общем случае могут быть нестационарными, т. е. состоять из элементов, зависящих от времени. При этом сообщение х будет также нестационарно.

Для построения общей модели смеси фильтруемого процесса с шумом уравнение (4.4.49) должно быть дополнено соотношением

у = Нх + 1. (4.4.50)

Это соотношение иногда называют уравнением наблюдения, так как матрица Н показывает, какая из переменных состояния должна фильтроваться (наблюдаться) в оптимальном устройстве. Так, если в рассматриваемом примере Н = = [1 0], то фильтроваться будет процесс х = xv При Н = [0 1] фильтрации подлежит производная х = хг этого

процесса. Наконец, при Н =

будут фильтроваться как

сам процесс, так и его производная. В последнем случае вектор шумов должен состоять из двух элементов, т. е. необходимо использовать два источника шумов или один источник с двумя выходами.

Общая схема воспроизведения вектора у представлена на рис. 4.10 (левая часть).

Оптимальный фильтр, обеспечивающий воспроизведение процесса х с минимальной среднеквадратической ошибкой, описывается следующим векторным уравнением [4, 26, 731:

-- = Fx + K(y-Hx), (4.4.51)

с начальными условиями х (0) = х„, характеризующими априорные данные о процессе х на выходе фильтра в момент t = 0. Если такие данные отсутствуют, то принимают х (0) = 0. В (4.4.51) к - матричный коэффициент передачи оптимального фильтра.

Структурная схема оптимального фильтра показана на рис. 4.10 (правая часть). Обрабатываемая смесь у и отфиль-" трованный процесс х подаются на устройство сравнения. Получаемая в результате сравнения разность, определяет отличие вновь поступивших данных от имевшихся на выходе синтезируемого фильтра. Эта разность с весовым коэффициентом к поступает на инерционную часть фильтра, вид которой полностью аналогичен формирующему фильтру. Поэтому нахождение структуры оптимального фильтра не представляет труда. Напомним, что связь весовых функций формирующего и оптимального фильтров (4.4.41), (4.4.44) в винеровской задаче не была столь простой.

Рис. 4.10.

Основной проблемой, которая возникает при построении калмановского фильтра, является определение матричного коэффициента передачи к. Он задается следующей системой уравнений [4, 26, 73]:

к = а1№Щ~\. (4.4.52)

do2 / N \-1 -* N -»

~-Fox + alF--alH{-\ Ha%+CrjV. (4.4.53)

Здесь al = M{(x - x) (x - x)T} - симметричная матрица дисперсий, определяющая точность фильтрации, а N/2 и NJ2 характеризуют корреляционные матрицы белых шумов и к, т. е.

Ru(t, t) = M{uu4 = --6(/ t).

Символ «т» означает транспонирование матрицы. При записи выражений для корреляционных функций шумов учитывалось, что эти шумы могут быть нестационарными, а следовательно, элементы матрицы Щ, Nu могут зависеть от времени. Уравнение дисперсий (4.4.53) представляет собой матричное нелинейное уравнение Риккати.

Если рассматривается установившийся режим, то для определения а\ вместо дифференциального уравнения (4.4.53) решается алгебраическое уравнение

?а\ + а\ FT а~х Нт j" Hal + С - С- = 0. (4.4.54)

Матрица дисперсий, а следовательно, и коэффициент передачи к не зависят от поступающих данных, содержащихся в обрабатываемой смеси у, поэтому они рассчитываются .заранее до начала самой процедуры фильтрации. Для расчета необходимо знать параметры формирующего фильтра и характеристики шумов и и .

Для иллюстрации методики синтеза фильтра Калмана продолжим рассмотренный ранее пример. Из (4.4.52) найдем коэффициент передачи фильтра

L«21

oil 2

(4.4.55)

Отсюда следует, что

Kyi -

2°!,,

ДГ21

«12 ~~ «22 - О-

С учетом (4.4.55) и (4.4.49) уравнение (4.4.51) оптимального фильтра запишется в виде

dt dx2 dt

dxi ~dT

dx2 dt

0 1 -coq -2dco0

"2 j

«n

«21

[y - Xi).

-coo x1 - 2da0x2

«и [y - Xi) «2i [y - Xi)

(4.4.56)

Матричному уравнению (4.4.56) соответствует система двух скалярных уравнений

}- = х2 + кп {y-Xi),

(4.4.57)

dx-~dt

~- = - tog хх - 2d®0x2 + k21 [у-хл).

На основании этих уравнений составлена структурная схема фильтра (рис. 4.11). Часть схемы, обведенная пунктирной линией, полностью повторяет структуру формирующего фильтра. В исходной постановке задачи требовалось полу-180

Рис. 4.11.

чить из смеси полезного воздействия и шума оптимальное значение хг = х процесса х. В синтезированном фильтре «попутно» формируется и оптимальная оценка х2 производной этого процесса. Такое свойство фильтра Калмана носит достаточно общий характер: фильтр выдает оптимальные оценки всех переменных состояния вне зависимости от того, какой из этих процессов непосредственно измеряется.

На частотно-избирательные цепи фильтра, которым принадлежит основная роль в выделении полезного воздействия, подаются отфильтрованные переменные состояния xlt х2 и вновь поступающие данные о процессе х, содержащиеся в обрабатываемой смеси у. Переменные хг и х2 характеризуют априорные сведения (заключенные в начальных условиях) и результаты предшествующих измерений. Вновь поступающие данные обновляют эти результаты в соответствии с фактическим состоянием фильтруемого процесса х. Как следует из (4.4.55), весовые коэффициенты кп и к21, с которыми вновь поступающие данные подаются на частотно-избирательные цепи, обратно пропорциональны спектральной плотности шумов Ni, сопровождающих полезное воздействие. Благодаря такой структуре этих коэффициентов, происходит перераспределение значимости имеющихся и вновь поступающих данных в зависимости от величины N%. Так, при возрастании шумов доля новых данных в формировании оптимального значения фильтруемого процесса уменьшается. В пределе при N% -> оо фильтр обходится без них, ориентируясь лишь на априорные сведения. Если