ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ВТОРОГО ИЗДАНИЯ.

Книга И. Г. Малкина «Теория устойчивости движения», первое издание которой вышло в 1952 году, является ценным научным руководством, получившим широкое признание. Несмотря на 12 лет, которые прошли со времени написания книги, эта монография, содержащая весьма доступное и в то же время строгое изложение основных положений теории устойчивости движения, сохраняет важное значение. Она продолжает пользоваться постоянным спросом у специалистов и у лиц, начинающих изучение предмета. Это служит веским основанием для переиздания книги, причем следует также учитывать большой интерес к основам теории устойчивости движения, вызванный развитием новых задач устойчивости и управления.

В настоящем, посмертном издании монографии И. Г. Малкина сохранен первоначальный текст книги. При редактировании внесены лишь небольшие изменения, связанные только с необходимостью устранить отдельные бесспорные неточности. Некоторые ссылки на литературу заменены более доступными сейчас источниками. Кроме того, редактор счел целесообразным добавить к тексту монографии материал, отражающий в известной мере развитие теории устойчивости В годы, прошедшие после выхода в свет первого издания. Этот ограниченный материал ни в коей мере не может, конечно, отразить со всей полнотой новые направления исследований и результатов. Были выбраны лишь некоторые исследования, относящиеся главным образом к теории метода функций Ляпунова и имеющие самое прямое отношение к данной монографии.

Добавления к книге распадаются на четыре основные части.

Первую часть добавлений составляют дополнение I и дополнение И, где даны с небольшими изменениями две важные работы И. Г. Малкина: «Об одной задаче теории устойчивости систем автоматического регулирования» и «О существовании функции Ляпунова», опубликованные В журнале «Прикладная математика и механика» после выхода первого издания книги. Включение этих работ в настоящее издание обосновывается тем, что каждая из них находится у истоков двух направлений исследований, которые сыграли существенную роль в развитии теории устойчивости движения в пятидесятые годы.

Вторую часть добавлений составляет дополнение III, в котором приведены обобщения теорем Ляпунова об асимптотической устойчивости

12 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ВТОРОГО ИЗДАНИЯ

И неустойчивости на случаи функций со знакопостоянной производной. Включение этого материала представляется целесообразным по той причине, что эти теоремы находят применение при исследовании устойчивости нелинейных систем при больших начальных возмущениях.

Третью часть добавлений составляет дополнение IV, где дан краткий очерк о приложении методов теории устойчивости движения к задачам оптимальной стабилизации управляемых систем. Включение этого материала вызвано следующими обстоятельствами. С одной стороны, в последнее время несомненно весьма возрос интерес к задачам оптимального управления, и в частности - к задачам стабилизации управляемых движений. С другой стороны, широкий круг таких задач решается методами, которые тесно переплетаются с методами классической теории устойчивости. Теорию стабилизации управляемых движений можно рассматривать как развитие задач устойчивости, изученных в данной монографии, в приложении к новым проблемам для управляемых систем. Это определяет тесную связь и преемственность упомянутых проблем с материалом монографии.

В конце книги даны постраничные примечания, которые в весьма краткой форме упоминают новые результаты и литературу по вопросам, затронутым в монографии.

При редактировании книги деликатным моментом был выбор ссылок на новые работы. В первом издании автор предпочел весьма экономный стиль цитат, ограничившись лишь небольшим числом ссылок, которые он считал совершенно необходимыми. Мы не сочли себя вправе изменять этот стиль, считая его целесообразным для монографии подобного характера. В соответствии с этим добавочный материал также снабжен ссылками на довольно узкий круг работ. Читатель должен иметь в виду, что при этом многие важные исследования остались не упомянутыми. Отбор материала для добавлений, естественно, неизбежно был ограничен возможностями и интересами редактора. Только этим обстоятельством следует объяснить большой удельный вес ссылок на работы свердловских авторов.

В подготовке настоящего издания принял участие коллектив кафедры механики Уральского госуниверситета им. А. М. Горького, состоящий из учеников И. Г. Малкина. Особенно большая работа при подготовке дополнительного материала была проделана сотрудниками кафедры Э. Г. Альбрехтом, А. И. Огурцовым, Ю. С. Осиновым, В. Е. Третьяковым. При редактировании мы старались учесть все известные нам отзывы и замечания по книге. Особенно полезную службу сослужила острая рецензия Н. П. Еругина), содержащая подробную критику книги.

Н. Красовский

) См. Е р и н И. Г. Малкии «Теория устойчивости движе-

ния». Вестник ЛГУ, № 5, 1953.

ГЛАВА I.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ и ОПРЕДЕЛЕНИЯ. § 1. Постановка задачи.

Теория устойчивости движения занимается исследованием влияния возмущающих факторов на движение материальной системы. Под возмущающими факторами понимаются силы, не учитываемые при описании движения вследствие их малости по сравнению с основными силами. Эти возмущающие силы обычно неизвестны. Они могут действовать мгновенно, что сведется к малому изменению начального состояния материальной системы, т. е. начальных значений координат и скоростей. Но эти факторы могут действовать и непрерывно, что будет означать, что составленные дифференциальные уравнения движения отличаются от истинных, что в них не учтены некоторые малые поправочные члены.

Хорошо известно, что влияние малых возмущающих факторов на движение материальной системы будет неодинаковым для различных движений. На одни движения это влияние незначительно, так что возмущенное движение мало отличается от невозмущенного. Напротив, на других движениях влияние возмущений сказывается весьма значительно, так что возмущенное движение значительно отличается от невозмущенного, как бы малы ни были возмущающие силы. Движения первого рода называются устойчивыми, движения второго рода - неустойчивыми.

Теория устойчивости движения и занимается установлением признаков, позволяющих судить, будет ли рассматриваемое движение устойчивым или неустойчивым. Так как в действительности возмущающие факторы всегда неизбежно существуют, то становится понятным, что задача устойчивости движения приобретает очень важное теоретическое и практическое значение.

Задачей устойчивости движения занимались многие виднейшие математики и механики. Основная теорема об устойчивости равновесия установлена еще Лагранжем. Она служила исходным пунктом для исследований Рауса, который установил признаки устойчивости движения для некоторых частных случаев движений. Задачей устой-