Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [10] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

) См. примечание в конце книги (стр. 519).

2) Приводимая ниже геометрическая интерпретация стала нам известна из бесед с Н. Г. Четаевым и впервые была сформулирована в работе: Малкин И. Г., Проблема существования функций Ляпунова, Изв. Казанского физ.-матем. об-ва, т. IV (1929-1930), т. V (1931).

что, очевидно, невозможно, так как правая часть этого неравенства при достаточно больших t делается отрицательной, что противоречит

условию положительности V[x{t).....х„(0]. Таким образом, мы

приходим к заключению, что

\\mV[x,{t).....x„{t)\ = Q,

откуда вследствие знакоопределенности V вытекает (10.2), что и доказывает теорему.

Примечание. Назовем областью асимптотической устойчивости наибольшую область начальных значений лг°, при которых для решений уравнений (6.1) выполняются условия (10.2). Из предыдущего доказательства вытекает, что эта область во всяком случае не меньше области (10.1), где Т1 = т1(е), причем Ti(e) строится по числу е так, как указано в примечании в конце предыдущего параграфа ).

§11. Геометрическая интерпретация предыдущих теорем.

Предыдущие теоремы имеют простое геометрическое истолкование. Это истолкование не только выясняет основное содержание теорем, но в последнее время широко используется для решения многих технических задач 2).

Рассмотрим сначала первую теорему Ляпунова. Допустим, что существует знакоопределенная функция V{х-, х, лгд), для которой dV

<; 0. Мы предполагаем при этом для простоты, что я = 3. Построим систему поверхностей

V{X, Xj, Хз) = С, (11.1)

где с - положительный параметр, изменяющийся от нуля до некоторого достаточно малого значения. Как мы видели в § 8, поверхности (11.1) замкнуты, окружают начало координат и стягиваются в точку при с = 0. При этом если Cj < Cj, то поверхность 1/ = с, целиком заключена внутри поверхности V=c.

Рассмотрим какую-нибудь интегральную кривую уравнений (6.1), выходящую в начальный момент времени из какой-нибудь точки окрестности начала координат. Эта интегральная кривая при возрастающих значениях t никогда не пересечет ни одной из поверхностей (11.1) изнутри наружу. В самом деле, если бы такое пересечение в какой-нибудь точке имело место, то в этой точке или в окрест-



ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

§ И]

ности этой точки функция VlXi(t), xit), x(t)] необходимо имела бы положительную производную, так как при переходе от какой-нибудь поверхности (11.1) к другой поверхности этого семейства, охватывающей первую, функция V(x,, Хо, Хо) возрастает. Но это, однако,

невозможно в силу того, что 0. Таким образом, если какая-нибудь интегральная кривая в начальный момент времени находилась внутри какой-нибудь поверхности (11.1). то она и в дальнейшем будет все время оставаться внутри нее. Но так как при достаточно малом с поверхности (11.1) ограничивают сколь угодно малую окрестность начала координат, то отсюда непосредственно вытекает устойчивость невозмущенного движения.

Легко также геометрически интерпретировать построение числа т1(б) по числу е. С этой целью рассмотрим наибольшую поверхность семейства (11.1). целиком расположенную внутри куба со стороной 2е. Пусть это будет поверхность V - 1 (рис. 3)). Построим теперь куб со стороной 2т1, целиком расположенный внутри указанной поверхности. Тогда любая интегральная

кривая, начинающаяся внутри этого куба, т. е. такая, для которой лг°-<т1, будет все время оставаться внутри поверхности V = l, а следовательно, и подавно внутри куба со стороной 2е. Мы будем, таким образом, для каждой такой интегральной кривой иметь лг, < е, т. е. найденная нами величина т] и будет той, которая фигурирует в условиях устойчивости.

Если есть функция определенно-отрицательная, то каждая

интегральная кривая, выходящая из достаточно малой окрестности начала координат, будет непременно пересекать каждую из поверхностей (11.1) снаружи во внутрь, так как функция V[x(t), x{t), x.(t)\ должна непрерывно убывать. Но в таком случае интегральные кривые должны неограниченно приближаться к началу координат, т. е. невозмущенное движение устойчиво асимптотически.

Таким образом, с точки зрения геометрической второй метод Ляпунова исследования устойчивости сводится к построению семейства замкнутых поверхностей, окружающих начало координат и обладающих тем свойством, что интегральные кривые могут пересекать


Рис 3.

) Как легко видеть, I есть точный нижний предел функции V при условии max { j л:, , 1 .«21, л:, } = е.



каждую из этих поверхностей только снаружи во внутрь. Как только из каких-нибудь соображений удается установить существование такого рода семейства поверхностей, то этим самым сразу будет установлена устойчивость невозмущенного движения.

§ 12. Примеры приложения предыдущих теорем.

Пример 1. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия. Простейшим случаем, когда теоремы Ляпунова дают возможность установить устойчивость невозмущенного движения, будет, очевидно, тот, когда уравнения (6.1) допускают первый интеграл

V(Xi.....лг) = const.,

где V(Xj.....лг„) - знакоопределенная функция. Действительно,

в этом случае - = 0, и функция V удовлетворяет условиям теоремы А, откуда сразу следует устойчивость невозмущенного движения. С этим случаем мы как раз имеем дело при исследовании устойчивости равновесия голономной консервативной системы, когда в положении равновесия силовая функция имеет максимум. Действительно, пусть 1.....9„-обобщенные координаты системы, которые

выбраны так, что в положении равновесия они обращаются в нуль.

Допустим, что силовая функция U (д.....имеет в положении

равновесия максимум, который мы, не нарушая общности, можем положить равным нулю. Тогда V (д.....будет определенно-отрицательной функцией величин q, . . ., q. Так как невозмущенным движением в рассматриваемом случае является положение равновесия (jj ==...= ijr = О, то дифференциальными уравнениями возмущенного движения являются просто уравнения движения, которые мы можем записать в канонической форме:

dq. дН dp, дН

(71.....Qn- Рх.....Рп)=Т-и

и Pi - обобщенные импульсы. Так как кинетическая энергия Г является по отношению к переменным р определенно-положительной квадратичной формой, а-U - определенно-положительной функцией переменных q, то Н является определенно-положительной функцией переменных р и q. Но уравнения (12.1) допускают интеграл энергии H = fi, откуда немедленно вытекает известная теорема Лагранжа об устойчивости равновесия (по отношению к координатам и скоростям), когда силовая функция в положении равновесия имеет максимум.

Пример 2. Устойчивость вращательного движения снаряда. В предыдущем примере первый интеграл уравнений возмущен-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [10] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0068