Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 [100] 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

K-Psir К.....х;, t,)=F{t,, х?.....хО, t,),

K-Ps{tv Х\.....хО, д.

(72.2)

В самом деле, точка (х,, х„), выходящая в момент времени из положения {х\, . . ., х), достигнет в момент положения {х[, .. ., х и вместе с другой точкой, выходящей в этот же момент

времени из этого же положения (х,.....х), достигнет к моменту

времени положения (х", .... х), так как начальные условия однозначно определяют движение.

Кроме того, так как уравнения (72.1) не изменяются при замене t на -j-CD, то имеют таюке место тождества

F{t ± тФ, X?, . .., хО, tg ± m(o)=F, X?.....х», (72.3)

где т - произвольное целое число.

Допустим теперь, что невозмущенное движение асимптотически устойчиво. Тогда в области

хО<а. (72.4)

где а - достаточно малое положительное число, выполняются предельные соотношения

lim F(t, хО.....хО, 0) = 0. (72.5)

<->оо

и. Л. Массера показал, что эти соотношения выполняются равномерно относительно хЯ, т. е. что для всякого е, как бы мало оно ни было, можно найти такое не зависящее от х число (е), что при всех будут выполняться неравенства \F(t, х, х°, 0)<е.

Чтобы это показать, определим прежде всего число т)(е) из условия

F{t. х«, .... х«, 0)1 <е при (x«.<ti(e). (72.6)

Это всегда возможно в силу устойчивости невозмущенного движения. Далее, допустим противное, что вышеуказанное число Г(е) не существует. Тогда, как бы велико ни было целое число т. всегда найдется такое t„ > ты и такая система начальных значений х°, лежащих в области (72.4), что

F = m,x[\F,{t, х?„.....хо. 0)].....

iPnimXL.....<т0)\}>г. (72.7)

при которых еще выполняются условия F<;W. Далее, из самого

определения функций вытекает, что для всяких и /3 > имеют место тождества



Так как последовательность точек лежит в замкнутой

области (72.4), то в той же области лежит и предельная точка указанной последовательности. Пусть это будет точка х*. Для этой точки выполняются, следовательно, соотношения (72.5), из которых вытекает, что существует такое достаточно большое целое число Л, что будут иметь место неравенства

[/•ДЛсо, х1.....х;, 0)<1т1(е). (72.8)

Но тогда найдутся сколь угодно большие значения т, для которых будут выполняться неравенства

<.....Ат 0)1 <г1(е). (72.9)

Действительно, в последовательности найдутся точки со сколь угодно большим значением индекса т, которые будут настолько близки к предельной точке, что разности FVco, х., 0) - FVco, х*, 0)

в силу непрерывности будут меньше . Из (72.9) и (72.6) следует, что при всех / > О

F[t. xf>.....xW, 0)1 <е,

или, принимая во внимание (72.3) и (72.2),

е>

Ps{t А

xW, 0)

FZ+NCD. x?

xW, yV(D) =

am 0)1-

Полученные неравенства противоречат (72.7), так как существуют такие t, для которых t„ > Na. Полученное противоречие и доказывает справедливость предложения о том, что соотношения (72.5) выполняются равномерно относительно величин х°..

Покажем теперь, что соотношения

\mF(t,

о)==0 ( = 1- 2.

п) (72.10)

выполняются также равномерно относительно величин xJ и t, лежащих в области

(72.11)

\А\<

0</g<(D,

где р-достаточно малое число.

Действительно, имеем в силу (72.2) тождественно

А io) = Fs(t <•

с 0).

где величины х определяются из уравнений

(72.12)



Поэтому справедливость интересующего нас сейчас предложения непосредственно вытекает из уже доказанного предложения о соотношениях (72.5), если только величину р в (72.11) взять настолько малой, чтобы величины х, определяемые уравнениями (72.12), лежали при всех 0<;о<;(о в области (72.4).

§ 73. Теорема о существовании функций Ляпунова для периодических н установившихся движений в случае асимптотической устойчивости.

Мы переходим теперь к доказательству следующей теоремы И. Л. Массера.

Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид (72.1) и если невозмущенное движение асимптотически устойчиво, то существует определенно-положительная функция V{t, Х[..... х„), производная которой

составленная в силу этих уравнений, есть функция определенно-отрицательная. При этом V будет по отноигению к t периодической функцией, периода оз, и не будет, в частности, совсем зависеть от t, если эта величина не содержится явно в функциях Х.

Доказательство. Обозначим через ф {t), где > - точный верхний предел функции

п ?1 о)-=/?(. ?.....к о) = /

по переменным и в области (72.11), так что

P[t. х\, .... х% о)<ф(0 при хО.<р, 0<,<(о, „<. (73.1)

Функция ф(0 будет, очевидно, положительной. Кроме того,

lim ф (0 = 0. (73.2)

/->оо

в самом деле, пусть е-сколь угодно малое положительное число. Выберем Т (е) настолько большим, чтобы при > Г и всех значениях и р, лежащих в области (72.11), выполнялось неравенство

P{t ?.....д<е. (73.3)

что по доказанному в предыдущем параграфе всегда возможно. Так как ф(/) является точным нижним пределом непрерывной функции в замкнутой области, то оно Судет одним из значений, которое эта функция в указанной области принимает. Другими словами, в



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 [100] 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0065