Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 [101] 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

области (72.11) существует система чисел xPj и t, для которой

F{t А.....А- о) = <Р(0

и, следовательно, на основании (73.3) ф(/)<Б при t>T, что и доказывает наше утверждение.

Рассмотрим теперь функцию, определяемую равенством

V{x,.....х„, 0 = /G[F(t, X,.....х„, t)\dx. (73.4)

Здесь 0(т1) - некоторая функция от т), определенная при т)0, принимающая при т) > О только положительные значения и обращающаяся в нуль вместе со своей производной О (т)) при т) = 0. Кроме того, эта функция обладает тем свойством, что интеграл

0[*{t)\dt (73.5)

сходится для любой положительной функции ф*(0. удовлетворяющей неравенству ф* (/)< ф(/), причем сходимость будет равномерной относительно выбора функции ф*(). Ниже мы покажем, что такая функция 0(т1) может быть действительно построена.

Покажем прежде всего, что функция V во всех точках области

xj<p, />0, (73.6)

действительно существует и непрерывна.

В самом деле, пусть Ху и / лежат в области (73.6), т/, т - т-mddt-та), где т-такое целое число, что Ot - - ягсо<со. Тогда на основании (72.3) мы можем написать:

F(T, Xi.....х„, t) = F{x, Xi.....х„, / •-mco) = ф* (т),

причем функция ф*(т) при любом / и Ху и области (73.6) удовлетворяет на основании (73.1) неравенству ф* (тх; ф (т). Вводя в (73.4) вместо переменной интегрирования т переменную т, будем иметь:

V(x,.....х„, 0= J 0[ф(т)]й?т. (73.7)

Но согласно выбору функции О интеграл, стоящий в (73.7), сходится равномерно относительно ф*(т), т. е. равномерно относительно Ху и / в области (73.6). Отсюда вытекает, что в области (73.6) функция V существует и непрерывна.



Найдем теперь частные производные от V по и д;, выполняя дифференцирование под знаком интеграла. Будем иметь:

dV

О[Fix. Xi.....х„, 01bJ3.dT.

jj- = -OlF{t, xi.....x„. 01 +

+ g[f(T, X,..... x„, t) ( ) dx.

(73.8)

Однако, для того чтобы эти выражения действительно прелста-вляли частные производные функции V в области (73.6), необходимо, чтобы входящие в них интегралы сходились и притом равномерно для всех значений х и в указанной области. Для этого необходимо на функцию О наложить еще одно условие, которое может быть получено следующим образом.

В силу условий, наложенных на правые части уравнений (72.1), частные производные

dF{t,xl tg) dF{t,x\.....xl tg)

дх] dtg

будут существовать и будут непрерывными при всех значениях переменных в области х. <;р, 0<g<(D, tgjt, так как в силу устойчивости при указанных значениях переменных функции F будут оставаться в области определения функций Х. Мы можем поэтому для всякого t назначить для этих производных некоторый положительный верхний предел M{t). Мы можем при этом предполагать, что функция М (О непрерывна и не убывает при возрастании t. Тогда, если потребовать, чтобы интеграл

Jg [ф*(т)]Л1(т)й?т

(73.9)

сходился при любом выборе функции ф*(т), для которой ф*(т)< <ф(т), и чтобы сходимость была равномерной относительно ф*(т), то интегралы, входящие в выражения (73.8), будут равномерно сходиться в области (73.6). Мы будем предполагать, что функция О(ц) действительно удовлетворяет указанному условию. Тогда функция V будет определенной и непрерывной вместе со своими частными производными первого порядка во всех точках области (73.6).



Vixi.....х„,/ + ©)= J OlFix. xi, .... х„. f + 0)]rft =

= jG[F(t + (o. xi.....x„, / + (o)]rft =

= JO[F(t. xi.....x„. t)]dx = V(xi.....x„, 0.

T. e. функция V является периодической относительно t с периодом (0. Если не содержат явно t, то функция V совсем не будет зависеть от t. Это непосредственно вытекает из того обстоятельства, что в этом случае со можно считать произвольным числом.

Функция V положительна во всех точках области (73.6) и обращается в нуль только при Xi - ... =г х„ - 0. Будучи же по отношению к t периодической, она необходимо является определенно-положительной, так как мы можем писать:

V{x,.....х„, t)->W{xi, .... х„),

где W-определенно-положительная функция, представляющая собой

точный нижний предел функции V {х.....х„, f) по переменной t

на отрезке О/ю.

Составим производную от 1 по / в силу уравнений (72.1). Мы dV dV Г/

будем иметь, что """Де V - результат подстановки в функцию V произвольного решения уравнений (72.1). Но

V = Q{F{x, х\.....хО. t)]dx,

так как в силу (72.2)

-(- А.....А д-

Следовательно,

s=\ 5=1

т. е. есть функция определенно-отрицательная.

Рассмотрим подробнее свойства функции V. В силу (72.3) имеем:



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 [101] 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0089