Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 [102] 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Таким образом, функция V удовлетворяет всем условиям теоремы, и для того чтобы последняя была полностью доказана, необходимо еще показать, что существует функция О, удовлетворяющая всем указанным для нее условиям. Необходимо, следовательно, показать, что существует положительная функция 0(ti), определенная для Т1 О, обращающаяся вместе со своей производной О {ц) в нуль при т1 = 0 и обладающая тем свойством, что интегралы (73.5) и (73.9) сходятся при любом выборе функций ф*(т), удовлетворяющих условию ф* (т) -< ф (т), причем сходимость является равномерной относительно ф*(т). Фигурирующая в (73.9) величина М(х) является положительной, неубывающей, непрерывной функцией т, определенной при всех тО. функция 0{rt) может быть построена следующим образом.

Выберем последовательность чисел t„(n=l, 2, 3, . . .) таким образом, чтобы при tt„ выполнялось соотношение ф (О я -f-1

В силу (73.2) такая последовательность существует. Мы будем при этом предполагать, что in+\iпЛ-- Далее строим функ-

цию r\{t), полагая il(/„) = -; ti(/) линейна в каждом интервале

между „ и/„+1 и т] (О = 1--1 при 0<</j, где />-целое число.

1 -

Рис. 18.

--гт-1 1 1 1 1 ! 1

Рис. 19.

выбранное настолько большим, что г\ (/, - 0) < т] (/, -- 0). Очевидно, что Итт1(/)=: lim /(ti) = 0 и ((){t)<r\(i) при tii- График функ-

t=oo Ч-°°

ции ti(/) изображен на рис. 18.

Пусть i{r\)- функция, обратная r\(t). График этой функции показан на рис. 19. Тогда полагаем:

0(П)=/

е- ™ М[ГШ

(73.10)



§ 74] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА OB УСТОЙЧИВОСТИ 315

функция 0(ц), очевидно, положительна при любом т] > О, и для нее G (0) = О(0) = 0. Далее имеем:

e-n<f* (01

При tti справедлива оценка ф* (t) ф (О < Л (О и, так как t (ti) - функция убывающая, t (ф* (t)] / [т] (t)] = t. Поэтому, учитывая, что M{t) - функция неубывающая, из (73.11) находим:

откуда сразу получается равномерная сходимость интеграла (73.9). Что же касается интеграла (73.5), то, заменяя в нем нижний предел числом что для вопроса о сходимости не имеет значения, получим для него выражение

для которого справедлива оценка

и о

Заменяя во внутреннем интеграле переменную т] переменной (т]), найдем:

t, оо

Полученный интеграл, очевидно, сходится, так как, по крайней мере при ft, имеем п(01<1- Отсюда вытекает равномерная относительно ф*(/) сходимость интеграла (73.5).

Таким образом, функция V обладает всеми необходимыми свойствами, и теорема полностью доказана.

§ 74. Основная теорема об устойчивости при постоянно действующих возмущениях для периодических и установившихся движений. Приложение к вопросу об «опасных» и «безопасных» границах области устойчивости.

Построенная в предыдущем параграфе функции V, будучи периодической относительно t, не только допускает бесконечно малый высший предел, но обладает ограниченными частными производными по переменным лг,.....х. Следовательно, эта функция удовлетворяет



) Д у б о ш и н Г. Н.. К вопросу об устойчивости движения относительно посгоянно действующих возмущений. Труды ГАИШ, т. XIV, вып. 1, 1940.

2) Артемьев И. А., Осуществимые движения. Изв. АН СССР, сер. матем., № 3, 1939.

всем условиям теоремы § 70. Это приводит сразу к следующей теореме.

Теорема. Для того чтобы установившееся или периодическое движение было устойчиво при постоянно действующих возмущениях, достаточно, чтобы оно было устойчиво асимптотически в смысле Ляпунова. При этом предполагается, что правые части уравнений возмущенного движения (без членов, характеризующих постоянные возмущения) обладают непрерывными частными производными первого порядка.

Эта теорема показывает, какое важное значение имеет устойчивость в смысле Ляпунова не только в задачах устойчивости, но и во всякой другой задаче, когда точные уравнения по тем или иным причинам приходится заменять приближенными и когда независимое переменное изменяется в бесконечном интервале. Действительно, по крайней мере для уравнений с постоянными и периодическими коэффициентами, рассматриваемое решение приближенных уравнений будет мало отличаться от решения точных уравнений, если оно асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова.

Рассмотрим частный случай. Допустим, что уравнения возмущенного движения (72.1) имеют вид

= P.iXi+ ... -\-PsnXnX,(t, X,.....х„). (74.1)

где -аналитические функции, начинающиеся членами не ниже второго порядка. Если характеристические показатели первого приближения имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение будет асимптотически устойчиво и, следовательно, устойчиво при постоянно действующих возмущениях. Этот результат для случая, когда уравнения (74.1) не содержат явно (, установлен Г. Н. Дубо-шиным 1), а для общего случая периодических коэффициентов - И. А. Артемьевым 2).

В качестве приложения теоремы об устойчивости при постоянно действующих возмущениях для установившихся и периодических движений рассмотрим вопрос об «опасных» и «безопасных» границах области устойчивости, на котором мы уже останавливались в § 44. Допустим, что уравнения возмущенного движения (72.1) имеют вид

= Ps\Xi+ +PsnXn-hmrsiXi+ ...г,„х„) +

+ Xs(t, ху.....Хп) (74.2)

(5=1. 2, .. ., п).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 [102] 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0089