Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 [103] 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Psii()xi+ ... -\-p„(t)x„ (s=l, 2, n). (75.1)

где p,j - произвольные непрерывные и ограниченные при / >- О функции времени. Задача заключается в определении условий, необходимых и достаточных, при которых существует допускающая бесконечно малый высший предел определенно-положительная функция

) Определение границы области устойчивости дано в § 44.

где \х ~ малый параметр, pj и rj - периодические функции времени, периода со (в частности, постоянные), а - функции, удовлетворяющие общим условиям § 72 и имеющие порядок малости выше первого. Мы будем предполагать, что система первого приближения при jj, = О не имеет характеристических показателей с положительной вещественной частью, но имеет характеристические показатели с вещественными частями, равными нулю. Таким образом, при ц = 0 система находится на границе области устойчивости), а при ф О она находится вблизи этой границы. Величина параметра р. и характеризует степень близости системы к границе области устойчивости. Мы предполагаем при этом, что коэффициенты r,j таковы, что система первого приближения при ц фО может иметь характеристические показатели с положительной вещественной частью, так что система может находиться в области неустойчивости.

Допустим, что при ц = 0 невозмущенное движение асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова. Тогда оно, по доказанному, будет устойчиво при постоянно действующих возмущениях. Следовательно, при ц, достаточно малом, величины будет оставаться малыми, если они были малы в начальный момент времени. При этом, как было показано в примечании в § 70, точка (x,, . . ., х„) будет отбрасываться в некоторую окрестность начала координат, которая, может быть сделана сколь угодно малой при ц, достаточно малом, т. е. если система находится достаточно близко от границы области устойчивости.

Таким образом, если пользоваться терминологией § 44, мы можем сказать, что участки границы области устойчивости, на которых невозмущенное движение асимптотически устойчиво, являются «безопасными». При этом не имеет никакого значения, сколько критических характеристических показателей имеет система первого приближения на границе области устойчивости.

§ 75. Условия существования функций Ляпунова для линейных уравнений в случае асимптотической устойчивости.

Мы переходим теперь к вопросу об обратимости теоремы II для уравнений вида



(75.2)

где 00-произвольная постоянная. Эти решения мы рассматриваем как функции t и t. Пусть а и b - произвольные положительные величины. Тогда п? функций xjit, а) и функций xjit, b) образуют две фундаментальные системы решений уравнений (75.1). Следовательно, между ними существуют линейные соотношения

xkit а)- CakXsait. b) (s, k=l, 2.....л),

где Cak - некоторые постоянные. Полагая в этих соотношениях t~b и принимая во внимание (75.2), находим:

и, следовательно, имеют место следующие тождества:

x,„(t, a)=ZiXsait, b)Xak(b, а). (75.3)

Докажем теперь следующие теоремы.

Теорема 1. Если для уравнений (75.1) существует определенно-положительная функция V(t, Xi.....х„), допускающая

бесконечно малый высший предел, производная которой по времени, составленная в силу этих уравнений, есть функция определенно-отрицательная, то при всех ftgH tgO выполняются неравенства

\x,j(t. g <Вв-°(-.). (75.4)

где В и а - некоторые не зависящие от положительные постоянные.

Доказательство. Согласно условиям теоремы существует такое достаточно малое положительное число А, что в. области

f>0, x,<A (75.5)

1) См. сноску 8) на стр. 306.

2) М а л к и н И. Г., Об устойчивости по первому приближению. Сб. научных трудов Казанского авиац. ин-та, № 3, 1935-

V(t, Xi.....х„), производная которой, составленная в силу уравнений (75.1), есть функция определенно-отрицательная. Эти. условия даются двумя нижеследующими теоремами, из которых первая установлена К. П. Персидским ), а вторая - автором 2).

Обозначим через xj (t, Q.....x„j (t, t) 0=!, 2.....n) фундаментальную систему решений уравнений (75.1), определяемую начальными условиями:



будут при всех ft выполняться неравенства \х,\ < А. Здесь t- произвольное положительное число. Следовательно, для этого решения все время будет выполняться условие (75.7), из которого вытекает, что функция V[t, Xi {t, tl).....x„{t, tl)] будет убывающей,

и можем поэтому для всех ty ti написать неравенство

Wilxiit, tl).....x„(t, ti)]Vlt, xi(t, tl).....x„(t, ti)]<

< V{t, x«.....xO)</(p). (75.9)

Здесь / есть верхний предел V(t, х°.....х°) при условии (75.8).

Это число не зависит от /j, так как функция V, допуская бесконечно малый высший предел, будет во всяком случае ограниченной. Так как Wi есть функция определенно-положительная, то из (75.9) вытекает, что при всех t у ti выполняются неравенства

х,(/, /i) <С*(р), (75.10)

где С* - некоторая не зависящая от постоянная.

Пусть теперь L-произвольная сколь угодно малая постоянная. Рассмотрим множество значений х, лежащих в области (75.5) и

удовлетворяющих неравенству V(t. х,.....x„)>L. Так как V

допускает бесконечно малый высший предел, то при этом необходимо будет x = max{xi..... х„}>Я(/,), где Я(Z,) - некоторая

достаточно малая постоянная. Но тогда при этом условии мы будем также иметь Wixi, . . ., х„) >(Z,), где li{L)-также некоторая постоянная. Таким образом, мы можем писать:

4г < - 2 < - () при V (t, xi.....х„) > L. (75.11)

выполняются неравенства

V{t, xi. .... x„)>r,(xi.....«). (75.6)

где Ui И -не зависящие от t определенно-положительные функции.

Так как согласно теореме II невозмущенное движение во всяком случае устойчиво, то при р, достаточно малом, для любого решения x(ty tl) уравнений (75.1), начальные значения x°=x(/j, которого связаны соотношением



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 [103] 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0113