Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 [104] 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Покажем теперь, что если Т = ~, то к моменту времени + Г мы будем иметь:

V[t, xiit, t{), x„(t, m<.L. (75.12)

Допустим противное, что это неверно. Тогда на всем отрезке \ty, tl -f- Т] будет выполняться неравенство VL, ибо если бы неравенство (75.12) выполнялось при каком-нибудь 1</<1-4-Г, то оно выполнялось бы и при t = ti-{-T, так как V[t, (f, fj),... .. ., х„ (f, tl)] есть функция убывающая. Но если при всех <; f 1-4-7 выполняется VL, то на основании (75. 11)

LV[ti + T, Xi(ti + T, tl).....Xn(ti + T, ti)]=:

-y{h x\.....xo)/ dt<l-liTO.

что невозможно, так как L - число положительное.

Таким образом, при t = ti-{-T выполняется условие (75.12). Выберем теперь L настолько малым, чтобы из (75.12) вытекало

\Xs(t. ti)\ (75.13)

где Ж -положительное число, меньшее единицы. Это возможно, так как V допускает бесконечно малый высший предел. При этом число L

не будет зависеть от tp Но тогда и Т= \ не будет зависеть

от tp Мы приходим, таким образом, к следующему выводу: для любого решения х(Л t уравнений (75.1), для начальных значений которого выполняется условие (75.8), будут при всех ty ti выполняться неравенства (75.10) и при = ,--Г, где Т - некоторое не зависящее от число, - неравенства (75.13).

Установив это, положим x(f, fi) = pxy(f, t. Условие (75.8) при этом, очевидно, выполняется. Тогда из (75.10) и (75.13) находим, что при любом tl и f > f 1

\Xs,<t- h)\ <- = c (5, 7=1, 2.....n). (75.14)

где с не зависит от tp и

Usjit+Tp tx)\<~- (75.15)

Покажем теперь, что если т - любое целое число, то

\x,j{ti + mT, ti)\<,M". (75.16)

Так как эти неравенства во всяком случае выполняются при т = \, то нам достаточно показать их справедливость, предположив, что



XsalmTti, (OT-l)r + /i]Xay[(OT~l)r + /i, tl]

a = l

<

a = l

ЧТО и доказывает наше предложение.

Рассмотрим теперь произвольные числа ty- О и / > /ц- Пусть mTt - tQ= тТ-х <С (т-j-l)T, где т - целое число. Полагая в (75.3) a = to, b = tQ~\- тТ, получим:

x,j it, to) =Zxsa it, to + тТ) Xaj ito + тТ, /«). a=l

и так как ttQ~\~ тТ, то, применяя (75.14) и (75.16), найдем: \x,jit, /о) <псМ" = псМ~-М.

Отсюда, полагая Б = -, =в-°, где а > О, в силу того

что Ж < 1, окончательно найдем, что при всех /д и / >/д выполняются неравенства (75.4), что и доказывает теорему.

Теорема 2. Если выполняются неравенства (75.4), то существует определенно-положительная функция Vit, Xi, x„), допускающая бесконечно малый высший предел, производная которой, составленная в силу уравнений (75.1), есть функция

определенно-отрицательная. При этом), если Wit, х.....x„)

есть произвольная определенно-положительная форма какого-нибудь порядка т, коэффициенты которой являются ограниченными и непрерывными функциями времени, то функция V может быть выбрана в виде формы того же порядка, для которой

~df ЪЖР • + PsnXn)-\-Qt=- {t, Xi, . ... x„).

(75.17)

) Эта часть теоремы является уточнением формулировки, данной в работе, цитированной на стр. 318.

\x,j[ii~\~(m-1)Т, tiW < Но, сделав такое предположение

и положив в тождествах (75.Ъ) t = тТ ~\-tp a = /i, = (/в -1) T-j-p будем иметь:

\x,j(niT + ii. /01 =



\P(t)\<B" \f(x)\e-""(-t)at<:B"M

e-ma(x-t) dx==

где М - верхний предел функции /(т). Таким образом, форма V обладает ограниченными коэффициентами, и, следовательно, допускает бесконечно малый высший предел.

Форма V, как это непосредственно следует из (75.19), будет во всяком случае положительной. Покажем, что она является определенно-положительной.

Обозначим с этой целью через А(т, t) определитель [хДт, t)\, через Ajix, t) - его минор, соответствующий элементу х,, и рас-

Доказательство. Обозначим через (t) = (t, xJ, .... x°, решение уравнений (75.1) с начальными условиями х(д)=х. Очевидно, имеем:

x(t)F(t. х«.....хО, g=2x,„(f, gxo. (75.18)

Пусть W(t, X,, х„) - произвольная форма от-го порядка переменных Xj, х„, коэффициенты которой являются непрерывными и ограниченными функциями времени. Рассмотрим форму от-го порядка, определяемую равенством

Vit, х„ .... х„) =

= fwix, F,(T. X,.....х„, t), F„{r, xi, x„, f)]dx, (75.19)

И покажем, что эта форма удовлетворяет всем условиям теоремы.

В самом деле, коэффициенты формы V представляют собой суммы членов вида

Pit) = il (t) (t, t) ... х™" (t, t) dx, (75.20)

где / (t) - некоторые непрерывные и ограниченные функции t, представляющие собой линейные комбинации с целочисленными коэффициентами коэффициентов формы W{t, х,, х„), а от,, in„ - целые неотрицательные числа, для которых mi-{- т-- . .. т„ = т.

Из условий (75.4) сразу вытекает, что все интегралы (75.20) сходятся и, следовательно, форма V действительно существует. Более того, из этих неравенств сразу вытекает, что все функции (75.20) ограничены при f>-0. Действительно, имеем:



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 [104] 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0018