Покажем теперь, что если Т = ~, то к моменту времени + Г мы будем иметь:

V[t, xiit, t{), x„(t, m<.L. (75.12)

Допустим противное, что это неверно. Тогда на всем отрезке \ty, tl -f- Т] будет выполняться неравенство VL, ибо если бы неравенство (75.12) выполнялось при каком-нибудь 1</<1-4-Г, то оно выполнялось бы и при t = ti-{-T, так как V[t, (f, fj),... .. ., х„ (f, tl)] есть функция убывающая. Но если при всех <; f 1-4-7 выполняется VL, то на основании (75. 11)

LV[ti + T, Xi(ti + T, tl).....Xn(ti + T, ti)]=:

-y{h x\.....xo)/ dt<l-liTO.

что невозможно, так как L - число положительное.

Таким образом, при t = ti-{-T выполняется условие (75.12). Выберем теперь L настолько малым, чтобы из (75.12) вытекало

\Xs(t. ti)\ (75.13)

где Ж -положительное число, меньшее единицы. Это возможно, так как V допускает бесконечно малый высший предел. При этом число L

не будет зависеть от tp Но тогда и Т= \ не будет зависеть

от tp Мы приходим, таким образом, к следующему выводу: для любого решения х(Л t уравнений (75.1), для начальных значений которого выполняется условие (75.8), будут при всех ty ti выполняться неравенства (75.10) и при = ,--Г, где Т - некоторое не зависящее от число, - неравенства (75.13).

Установив это, положим x(f, fi) = pxy(f, t. Условие (75.8) при этом, очевидно, выполняется. Тогда из (75.10) и (75.13) находим, что при любом tl и f > f 1

\Xs,<t- h)\ <- = c (5, 7=1, 2.....n). (75.14)

где с не зависит от tp и

Usjit+Tp tx)\<~- (75.15)

Покажем теперь, что если т - любое целое число, то

\x,j{ti + mT, ti)\<,M". (75.16)

Так как эти неравенства во всяком случае выполняются при т = \, то нам достаточно показать их справедливость, предположив, что

XsalmTti, (OT-l)r + /i]Xay[(OT~l)r + /i, tl]

a = l

<

a = l

ЧТО и доказывает наше предложение.

Рассмотрим теперь произвольные числа ty- О и / > /ц- Пусть mTt - tQ= тТ-х <С (т-j-l)T, где т - целое число. Полагая в (75.3) a = to, b = tQ~\- тТ, получим:

x,j it, to) =Zxsa it, to + тТ) Xaj ito + тТ, /«). a=l

и так как ttQ~\~ тТ, то, применяя (75.14) и (75.16), найдем: \x,jit, /о) <псМ" = псМ~-М.

Отсюда, полагая Б = -, =в-°, где а > О, в силу того

что Ж < 1, окончательно найдем, что при всех /д и / >/д выполняются неравенства (75.4), что и доказывает теорему.

Теорема 2. Если выполняются неравенства (75.4), то существует определенно-положительная функция Vit, Xi, x„), допускающая бесконечно малый высший предел, производная которой, составленная в силу уравнений (75.1), есть функция

определенно-отрицательная. При этом), если Wit, х.....x„)

есть произвольная определенно-положительная форма какого-нибудь порядка т, коэффициенты которой являются ограниченными и непрерывными функциями времени, то функция V может быть выбрана в виде формы того же порядка, для которой

~df ЪЖР • + PsnXn)-\-Qt=- {t, Xi, . ... x„).

(75.17)

) Эта часть теоремы является уточнением формулировки, данной в работе, цитированной на стр. 318.

\x,j[ii~\~(m-1)Т, tiW < Но, сделав такое предположение

и положив в тождествах (75.Ъ) t = тТ ~\-tp a = /i, = (/в -1) T-j-p будем иметь:

\x,j(niT + ii. /01 =

\P(t)\<B" \f(x)\e-""(-t)at<:B"M

e-ma(x-t) dx==

где М - верхний предел функции /(т). Таким образом, форма V обладает ограниченными коэффициентами, и, следовательно, допускает бесконечно малый высший предел.

Форма V, как это непосредственно следует из (75.19), будет во всяком случае положительной. Покажем, что она является определенно-положительной.

Обозначим с этой целью через А(т, t) определитель [хДт, t)\, через Ajix, t) - его минор, соответствующий элементу х,, и рас-

Доказательство. Обозначим через (t) = (t, xJ, .... x°, решение уравнений (75.1) с начальными условиями х(д)=х. Очевидно, имеем:

x(t)F(t. х«.....хО, g=2x,„(f, gxo. (75.18)

Пусть W(t, X,, х„) - произвольная форма от-го порядка переменных Xj, х„, коэффициенты которой являются непрерывными и ограниченными функциями времени. Рассмотрим форму от-го порядка, определяемую равенством

Vit, х„ .... х„) =

= fwix, F,(T. X,.....х„, t), F„{r, xi, x„, f)]dx, (75.19)

И покажем, что эта форма удовлетворяет всем условиям теоремы.

В самом деле, коэффициенты формы V представляют собой суммы членов вида

Pit) = il (t) (t, t) ... х™" (t, t) dx, (75.20)

где / (t) - некоторые непрерывные и ограниченные функции t, представляющие собой линейные комбинации с целочисленными коэффициентами коэффициентов формы W{t, х,, х„), а от,, in„ - целые неотрицательные числа, для которых mi-{- т-- . .. т„ = т.

Из условий (75.4) сразу вытекает, что все интегралы (75.20) сходятся и, следовательно, форма V действительно существует. Более того, из этих неравенств сразу вытекает, что все функции (75.20) ограничены при f>-0. Действительно, имеем: