Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 [105] 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

2Apa(t. f)Fii= 2 &а(Х, t)X(X, t)Xy = A(X, t) Ха. 13=1 P,Y = 1

так как

2 apax(5v = 6ay.

3 = 1

где bay-символ Кронекера: ба = 0 при афу yibay=l при a=:Y-Следовательно,

W[x, F,(t, X,.....х„, f). F„{x. X,.....х„. t)]~

- ХА"Чх, t) 2 х" >0.

0 = 1

откуда на основании (75.19) находим:

V{t, X,.....x„)>X2Q(/) 2?. (75.22)

Q{f) = Ja"(t, t)dx = J ехр { Р,,()(

смотрим форму т-го порядка переменных у,:

п ( п \

(t. Уг.....У„) - 2 2 А3а (т. t) ур , (75.21)

где к - вещественное число. Из (75.4) следует, что для величин Ара при t могут быть назначены некоторые, независящие ни от т, ни от t, постоянные верхние пределы. И так как W есть форма определенно-положительная, то отсюда следует, что постоянную X можно выбрать настолько малой, чтобы форма (75.21) была также определенно-положительной. Мы будем предполагать, что X действительно выбрано согласно этому условию. Следовательно, если в выражение (75.21) подставим вместо у любые величины, то оно будет принимать положительные значения. В частности, если положим:

У,= Х,а(Х, t)Xa = F,(X, Xj, Х„, t),

то будем иметь:

Wlx. Fi(t, Xi.....х„, О.....F,(x, х„ х„, 01 -

-?.22(2д„„(т, t)F.,i{x, Xi.....х„, о) >0.



dx = -

Применяя теорему о среднем значении, найдем:

/л \*

Q(0 = -4r.

(75.23)

где (2 Pss)*-среднее значение функции 2 интервале {t, оо).

Но так как функции р ограничены, а функция Q [f) положительна, то из (75.23) следует, что функция Q(/) превосходит при любом некоторую положительную постоянную а. Следовательно, .

из (75.22) находим:

V{t X,.....х„) > ?.2а2 2 X?,

ЧТО показывает, что форма V определенно-положительна.

Остается показать, что выполняется уравнение (75.17). С этой целью, поступая так же, как и в § 73, обозначим через V it) функцию, в которую обратится V для произвольного решения уравнений (75.1), т. е. .результат подстановки в V вместо х функций (75.18). Тогда dV dV

будем ить- = -. Но имеем тождественно (см. § 72, формулы (72.2))

/Дт, F[t, X?. . следовательно.

V(0 =/ Г[т, Fi{x, х%

FU хО, хО, /] = = \.....д.

• (- х\.....хО,

= -Г(, xi, х„),

что и доказывает наше предложение.

Справедливость (75.17) может быть, конечно, непосредственно проверена прямым дифференцированием. Для этого понадобится воспользоваться легко доказываемыми тождествами

dV dt

F{t, xJ,

dxsj (T, t)

f S /«ЛОх.„(т, 0 = 0-

(75.24)

Далее имеем тождественно



Таким образом, теорема полностью локазана.

Теорема 1 и 2 показывают, что необходимым и достаточным условием существования для уравнений (75.1) функции Ляпунова, удовлетворяющей всем условиям теоремы П об асимптотической устойчивости, является выполнение неравенств (75.4). Это более жесткое требование, чем асимптотическая устойчивость, так как при выполнении неравенств (75.4) функции х, будут с неограниченным возрастанием t стремиться к нулю как показательные функции, а между тем для уравнений с переменными коэффициентами функции х, могут при / -> оо стремиться к нулю, не удовлетворяя этому условию. Это легко видеть хотя бы из уравнения

dx 1

dt " \t

для которого o6uj.ee решение

~ \-\-t

стремится к нулю как степецная функция. Отсюда следует, что теорема II А. М. Ляпунова необратима.

Из доказанных теорем вытекает справедливость также и следующей теоремы.

Теорема 3. Если для уравнений (75.1) существует какая-нибудь функция Ляпунова, удовлетворяющая всем условиям теоремы II об асимптотической устойчивости, то для них существует функция Ляпунова, обладающая такими же свойствами и представляющая собой форму .заданного порядка.

Б. ТЕОРИЯ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ.

§ 76. Характеристичные числа Ляпунова.

В этом разделе мы занимаемся изучением с точки зрения устойчивости системы линейных уравнений с переменными коэффициентами, подобно тому как мы это делали для уравнений с постоянными и периодическими коэффициентами. Задача при этом делается, конечно, значительно сложнее. Тем не менее и здесь получены некоторые важные для практики и для теории общие результаты.

Для системы линейных уравнений с переменными коэффициентами можно подобрать некоторые числа, играющие для них такую же роль, как корни характеристического уравнения для систем с постоянными коэффициентами и характеристические показатели для систем с периодическими коэффициентами. Это - так называемые характеристичные числа решений, введенные Ляпуновым. Но прежде чем рассматривать характеристичные числа решений, дадим определение характеристичного числа функции.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 [105] 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0066