2Apa(t. f)Fii= 2 &а(Х, t)X(X, t)Xy = A(X, t) Ха. 13=1 P,Y = 1

так как

2 apax(5v = 6ay.

3 = 1

где bay-символ Кронекера: ба = 0 при афу yibay=l при a=:Y-Следовательно,

W[x, F,(t, X,.....х„, f). F„{x. X,.....х„. t)]~

- ХА"Чх, t) 2 х" >0.

0 = 1

откуда на основании (75.19) находим:

V{t, X,.....x„)>X2Q(/) 2?. (75.22)

Q{f) = Ja"(t, t)dx = J ехр { Р,,()(

смотрим форму т-го порядка переменных у,:

п ( п \

(t. Уг.....У„) - 2 2 А3а (т. t) ур , (75.21)

где к - вещественное число. Из (75.4) следует, что для величин Ара при t могут быть назначены некоторые, независящие ни от т, ни от t, постоянные верхние пределы. И так как W есть форма определенно-положительная, то отсюда следует, что постоянную X можно выбрать настолько малой, чтобы форма (75.21) была также определенно-положительной. Мы будем предполагать, что X действительно выбрано согласно этому условию. Следовательно, если в выражение (75.21) подставим вместо у любые величины, то оно будет принимать положительные значения. В частности, если положим:

У,= Х,а(Х, t)Xa = F,(X, Xj, Х„, t),

то будем иметь:

Wlx. Fi(t, Xi.....х„, О.....F,(x, х„ х„, 01 -

-?.22(2д„„(т, t)F.,i{x, Xi.....х„, о) >0.

dx = -

Применяя теорему о среднем значении, найдем:

/л \*

Q(0 = -4r.

(75.23)

где (2 Pss)*-среднее значение функции 2 интервале {t, оо).

Но так как функции р ограничены, а функция Q [f) положительна, то из (75.23) следует, что функция Q(/) превосходит при любом некоторую положительную постоянную а. Следовательно, .

из (75.22) находим:

V{t X,.....х„) > ?.2а2 2 X?,

ЧТО показывает, что форма V определенно-положительна.

Остается показать, что выполняется уравнение (75.17). С этой целью, поступая так же, как и в § 73, обозначим через V it) функцию, в которую обратится V для произвольного решения уравнений (75.1), т. е. .результат подстановки в V вместо х функций (75.18). Тогда dV dV

будем ить- = -. Но имеем тождественно (см. § 72, формулы (72.2))

/Дт, F[t, X?. . следовательно.

V(0 =/ Г[т, Fi{x, х%

FU хО, хО, /] = = \.....д.

• (- х\.....хО,

= -Г(, xi, х„),

что и доказывает наше предложение.

Справедливость (75.17) может быть, конечно, непосредственно проверена прямым дифференцированием. Для этого понадобится воспользоваться легко доказываемыми тождествами

dV dt

F{t, xJ,

dxsj (T, t)

f S /«ЛОх.„(т, 0 = 0-

(75.24)

Далее имеем тождественно

Таким образом, теорема полностью локазана.

Теорема 1 и 2 показывают, что необходимым и достаточным условием существования для уравнений (75.1) функции Ляпунова, удовлетворяющей всем условиям теоремы П об асимптотической устойчивости, является выполнение неравенств (75.4). Это более жесткое требование, чем асимптотическая устойчивость, так как при выполнении неравенств (75.4) функции х, будут с неограниченным возрастанием t стремиться к нулю как показательные функции, а между тем для уравнений с переменными коэффициентами функции х, могут при / -> оо стремиться к нулю, не удовлетворяя этому условию. Это легко видеть хотя бы из уравнения

dx 1

dt " \t

для которого o6uj.ee решение

~ \-\-t

стремится к нулю как степецная функция. Отсюда следует, что теорема II А. М. Ляпунова необратима.

Из доказанных теорем вытекает справедливость также и следующей теоремы.

Теорема 3. Если для уравнений (75.1) существует какая-нибудь функция Ляпунова, удовлетворяющая всем условиям теоремы II об асимптотической устойчивости, то для них существует функция Ляпунова, обладающая такими же свойствами и представляющая собой форму .заданного порядка.

Б. ТЕОРИЯ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ.

§ 76. Характеристичные числа Ляпунова.

В этом разделе мы занимаемся изучением с точки зрения устойчивости системы линейных уравнений с переменными коэффициентами, подобно тому как мы это делали для уравнений с постоянными и периодическими коэффициентами. Задача при этом делается, конечно, значительно сложнее. Тем не менее и здесь получены некоторые важные для практики и для теории общие результаты.

Для системы линейных уравнений с переменными коэффициентами можно подобрать некоторые числа, играющие для них такую же роль, как корни характеристического уравнения для систем с постоянными коэффициентами и характеристические показатели для систем с периодическими коэффициентами. Это - так называемые характеристичные числа решений, введенные Ляпуновым. Но прежде чем рассматривать характеристичные числа решений, дадим определение характеристичного числа функции.