Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 [106] 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

lim /(0е(+«= + сю,

<->оо

lim f{t) eC-JO.

(76Л)

Доказательство. Допустим сначала, что в интервале (к, р,) имеется число а, такое, что функция / е является ограниченной, но не исчезающей. Тогда это число а и будет искомым, так как для него, очевидно, выполняются условия (76.1). Допустим теперь, что такого числа а не существует. Тогда для всякого числа к в интервале (к, р,) функции f{t)e* будет либо неограниченной, либо исчезающей. При этом очевидно, что число к, для которого функция / (О е" является исчезающей, меньше любого к, при котором эта функция является неограниченной. Мы можем поэтому в интервале (к, Р-) вставить две последовательности чисел X, < Я, < Xj <Х,з< ... И р. > p.j > р,2 > р-з > ... так, чтобы любое число первой последовательности было меньше любого числа второй последовательности, чтобы разность к„-р,„ стремилась с возрастанием п к нулю и чтобы при

любом п функция /(/) еп былаисчезающей, а функция f {() е" неограниченной. Полученные последовательности определяет сечение а, не меньшее ни одного из чисел к„ и не большее ни одного из чисел р„. Это число а и будет искомым. Таким образом, лемма доказана.

Число а, удовлетворяющее условиям (76.1) т. е. условиям, что функция f{t)e" при любом сколь угодно малом положительном е

Мы будем рассматривать вещественные или комплексные функции / (О вещественного переменного /, определенные на всей вещественной полуоси tO. Для простоты мы будем рассматривать только непрерывные функции. Функции /(/) могут быть как ограниченные, так и неограниченные. В первом случае для всех > О выполняется неравенство < Л, где А-достаточно большое положительное

число, а во втором случае, как бы велико ни было А, найдутся такие значения t, для которых \f{t) \ > А, что, очевидно, может

быть записано таким образом: lim/(0=co.

1->ао

Ограниченную функцию /(/), для которой lim/(/) = 0, будем

t-*<x>

называть исчезающей.

Докажем прежде всего следующую лемму.

Лемма. Допустим, что для функции f (t) существуют два вещественных числа X, к р, jnuKux, что функция f (t) е является неограниченной, а функция f (t) е--исчезающей. Тогда существует вещественное число а, такое, что при любом положительном числе 8, как бы мало оно ни было, функция f{t)e+ будет неограниченной, а функция -исчезающей,

так что



Точно так же из (76.4) получаем:

In 1/(0

< -a-he. (76.6)

Выполнение неравенства (76.6) при любом / > Г и одновременное существование последовательности, для которой выполняется неравенство (76.5), и показывают, что lim - = - а, т. е. спра-

ведливость (76.2).

Формула (76.2) дает наиболее простой способ вычисления характеристичного числа заданной функции. В частности, она показывает,

что если выражение--1п/(/) стремится к определенному пределу

при / -> со, то этот предел и будет характеристичным числом функции

будет неограниченной, а функция - исчезающей, назы-

вается по Ляпунову характеристичным числом функции /(/)•

Если функция / {t) е является исчезающей при любом Я,, то мы будем говорить, что характеристичное число /(/) равно-]-эо. Если же, напротив, /(/)£* есть функция, неограниченная при любом "к, то мы будем говорить, что характеристичное число /(/) равно - оо. При этом условии любая функция /(/) имеет конечное или бесконечное характеристичное число.

Характеристичное число функции /(/) мы будем в дальнейшем обозначать символом X {/}.

Покажем, что имеем тождественно

(76.2)

<-»оо

в самом деле, пусть X {/} = а, так что при сколь угодно малом положительном е выполняются условия (76.1). Первое из этих условий показывает, чго существует последовательность /j- • • • для которой I/(/„)е*"->оо, так что, начиная с достаточно большого п, будут во всяком случае выполняться неравенства

/(„)к""">1. (76.3)

с другой стороны, из второго условия (76Л) вытекает, что при всех tyT, где Т-достаточно большое число, выполняется

/(0el«-8)< 1. (76.4)

Из (76.3) находим:

1п/(/„)+(а+е)/„>0.

1ЬШ>-а-е. (76.5)



/(/). Отсюда между прочим следует, что характеристичное число степенной функции при любом показателе степени равно нулю.

В самом деле, имеем:

hm -- = hm - = 0.

Приведем еще несколько примеров, заимствованных у А. М. Ляпунова. Имеем:

cos-

Ч)х{е-

3) X

4) X [t\ В самом деле, имеем:

=+1. = -оо.

(76.7)

±t ZOS-r

= lim

a- 11 COS J

+ 1.

откуда сразу вытекает справедливость первых двух примеров. Далее,

lim -i-n-= lim [±sinf]-=-+-l.

откуда вытекает справедливость третьего примера. Точно так же легко убеждаемся и в справедливости четвертого примера.

Отметим в заключение, что если характеристичное число функции положительно, то функция стремится к нулю как показательная функция. Если же характеристичное число функции отрицательно, то эта функция будет неограниченной.

§ 77. Основные свойства характеристичных чисел.

Докажем сейчас некоторые основные свойства характеристичных чисел функций, установленные А. М. Ляпуновым.

Теорема 1. Xарактеристичное число суммы двух функций равно наименьшему из характеристичных чисел этих функций, когда эти числа различны, и не менее их, когда они равны.

Доказательство. Пусть Х-X [f], \х = Х[ф] и допустим сначала, что Я, < р. Тогда для всякого положительного е функция

(/ -- ф) et-e) t = 4- феС-е) t (77.1)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 [106] 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0015