Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 [107] 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

будет исчезающей. Отсюда следует, что X {/ср} >-X,-f-р, что и требовалось доказать.

Что характеристичное число произведения может быть больше суммы характеристичных чисел множителей, легко видеть на следующем примере. Характеристичное число произведения двух функций gt sin fg-t sin равного единице, есть нуль. В то же время характеристичное число каждого из множителей, как это видно из (76.7), равно -1, и, следовательно, их сумма равна -2.

Следствие. Сумма характеристичных чисел функций /

и у- не более нуля.

Теорема 3. Для того чтобы сумма характеристичных чисел функций f " у равнялась нулю, необходимо и достаточно, чтобы выражение -1п/(/) стремилось к определенному пределу при t~>oo.

Доказательство. Если по условию lim In / (/) = а, то на основании (76.2)

X{f}=-a, X{j}=a, что доказывает достаточность высказанного в теореме условия.

будет исчезающей, так как исчезающими будут оба слагаемых. Напротив, функция

(/-{ ф)в№+г) <=/e(I+e) < фв№+«) t 77.2)

будет неограниченной при е < р - "к, так как первое слагаемое будет функцией неограниченной, а второе-исчезающей. Отсюда следует, что А{/-f-ф} = X,.

Допустим теперь, что Х, = р-. Тогда при любом е сумма (77.1) будет по-прежнему исчезающей, так как исчезающими будут оба слагаемых этой суммы. Что же касается суммы (77.2), то теперь оба слагаемых будут неограниченными, вследствие чего сумма может оказаться исчезающей. Поэтому при X = р мы можем лишь утверждать, что X [f -\- (]Ук.

Теорема 2. Характеристичное число произведения двух функций не менее суммы их характеристичных чисел.

Доказательство. Пусть X {/}=%, А(ф] = р. Тогда для всякого положительного е функция



Напротив, если In I / (О

0 = - lim

- lim

In 1/(0 I

= - lim

"1/(01 [ lim In 1/(01

<-»co

что показывает, что функции yln/(0 при ->оо имеет определенный предел. Этим доказывается необходимость высказанного в теореме условия.

Теорема 4. Если сумма характеристичных чисел функций / и у равна нулю, то характеристичное чцрло произведения из функции / и какой-либо функции ф равно сумме характеристичных чисел множителей.

Доказательство. С одной стороны, имеем:

x[f<f]:x[f] + x\].

с другой стороны, по условию теоремы

x\f] = x[f.L]:x{f] + x[j]x\f]-x\f],

X\f<f]X\<f\ + X\f],

откуда

;{ф/1 = ;{ф1 + ;{/}.

что и требовалось доказать. Рассмотрим интеграл

F(t)=ffit)dt,

где а - произвольная постоянная, если характеристичное число функции / (О отрицательно или равно нулю, и интеграл

/=•(0 = f f(t)dt.

если характеристичное число функции / (О положительно. При таком условии о пределах интегрирования имеет место следующая теорема.

Теорема 5. Характеристичное число интеграла не менее характеристичного числа подынтегральной функции.

Доказательство. Пусть Х = X {/]. Тогда при всяком положительном ц функция /е<--М) будет исчезающей и, следовательно, ограниченной. Пусть М - верхний предел модуля этой функции.

==0, то



\F{t)\<M

откуда вытекает, что функция F (t) gf-) есть исчезающая при любом 8 > т] и, следовательно, при любом е, так как х\ можно считать сколь угодно малым. Это показывает, что X [F] Х. Пусть теперь Я <! 0. Тогда

\F{t)\<M \ e-(-v)t dt = - 8-0--+const,

что показывает, что функция F (/) в<~" будет исчезающей при любом е > т] и, следовательно, при любом е. Поэтому и в рассматриваемом случае X {F} >Я.

§ 78. Характеристичные числа решений линейных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

= PsiXi+ ... + PsnXn is =1.2.....n), (78.1)

где pj - вещественные, непрерывные и ограниченные функции /, определенные при всех t-O. Пусть х, (/), .... xit)- какое-нибудь решение уравнений (78.1). Мы будем называть характеристичным числом рассматриваемого решения наименьшее из характеристичных чисел функций х it). Вообще характеристичным числом какой-нибудь группы функций flit), Д (О мы будем называть наименьшее из характеристичных чисел X {/;). Характеристичное число группы функций /,, .... Д мы будем обозначать символом X {/j, .... Д]. Докажем следующую теорему Ляпунова.

Теорема 1. Всякое решение уравнений (78.1), отличное от X, = ... =х„ = 0, имеет конечное характеристичное число.

Доказательсто. Рассмотрим сначала вещественные решения уравнений (78.1). Преобразуем эти уравнения при помощи подстановки

ys = x,et, (78.2)

где X - некоторая постоянная. Преобразованные уравнения будут иметь вид

РзхУг + • • + (Р« -ЬХ.) у, + ... -V р,„Уп

Допустим сначала, что Я > 0. Тогда, полагая т] < Я, будем иметь:



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 [107] 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0078