Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 [108] 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

d 1

df ilias = Ъ (Pss + ) у1 + S iPi> + Рд у. = (78.3)

s = \ s=\ 1фЬ

Очевидно, что существует такое число Я.==Я.1, при котором форма, стоящая в правой части (78.3), будет определенно-положительной, удовлетворяя неравенству

m>f (уИ ... +3>

где а - некоторая положительная постоянная.

При = 1 будем иметь, что при />0 для любого решения У] (О.....Уп (О выполняется неравенство

i >?(0> i У(0)e" (78.4)

s=l s=\

с другой стороны, существует и такое значение Я==Я2<Я.1, при котором правая часть (78.3) будет формой определенно-отрицательной, удовлетворяя неравенству

При Я,=:Я.2 будем иметь:

S У,(0<2 УО)"- (78.5)

Неравенства (78.4) и (78.5) показывают, что для любого нетривиального решения уравнений (78.1) все функции (78.2) будут исчезающими при X. = 2 и хотя бы одна из этих функций будет неограниченной при К=Ку Отсюда следует, что характеристичное число любого нетривиального решения уравнений (78.1) заключено в интервале (Я.2, Я.,), что и доказывает теорему для вещественных решений.

Остается показать справедливость теоремы для комплексных решений. Для этого достаточно заметить, что всякое комплексное решение

уравнений (78.1) складывается из двух вещественных решений и v. Таким образом, теорема полностью доказана.

Рассмотрим какую-нибудь фундаментальную систему решений

Xi(0. X2j{t).....х„ДО (У=1. 2.....«)

уравнений (78.1). Обозначим через характеристичное число решения xj. Допустим сначала, что все числа Я,, Яг.....Я„ различны.

Из этих уравнений находим:



Найдем характеристичное число решения

Xs = CiXsi-i-C2Xsi+ ...+CkXsi, (78.6)

являющегося линейной комбинацией с постоянными коэффициентами каких-нибудь k решений Xsi.....Xsi рассматриваемой фундаментальной системы. Так как все числа Я/.....Я,/ различны, то на

основании теоремы о характеристичном числе суммы функций характеристичное число решения (78.6) будет равно наименьшему из чисел

.....А./, т. е. характеристичному числу одного из решений,

входящих в комбинацию. Таким образом, если все числа Aj.....Я„

различны, то характеристичное число любого решения уравнений (78.1) будет одним из чисел К, .... к„. Имеем, таким образом, теорему:

Теорема 2. Система (78.1) не может иметь более п решений с различными характеристичными числами.

Допустим теперь, что среди чисел .....Я,„ имеются равные.

Тогда может оказаться, что при комбинации решений с одинаковыми характеристичными числами характеристичное число нового решения окажется больше, чем характеристичные числа решений, входящих в комбинацию. Если это случится, то полученное новое решение мы включим в состав фундаментальной системы вместо одного из комбинируемых решений. Если новая фундаментальная система опять будет иметь решения, комбинация которых даст решение с характеристичным числом, большим характеристичных чисел группируемых решений, то с этой новой системой поступаем так же, как с первой. Так как число различных характеристичных чисел не превосходит га, то ясно, что, поступая вышеуказанным способом, мы в конце концов придем к такой фундаментальной системе, что характеристичное число решения, скомбинированного из каких угодно решений этой системы, будет совпадать с характеристичным числом одного из решений, входящих в комбинацию. Полученная таким образом фундаментальная система называется нормальной. Характеристичные

числа Я,1.....Я,„ нормальной системы решений (среди которых могут

быть и равные) называются характеристичными числами системы дифференциальных уравнений. Характеристичное число любого решения этих уравнений равно одному из чисел .....А,„. Действительно, каждое такое решение является линейной комбинацией решений, входящих в нормальную систему.

Из предыдущих рассуждений следует, что если характеристичные числа какой-нибудь фундаментальной системы решений все различны, то эта система является нормальной. Имеет также место и следующая теорема, дающая признак нормальности фундаментальной системы решений.

Теорема 3. Всякая фундаментальная система решений, для которой сумма характеристичных чисел всех входящих



в нее решений достигает своего высшего предела, есть нормальная.

В самом деле, если бы рассматриваемая фундаментальная система не была нормальной, то из некоторых ее решений можно было бы скомбинировать новые решения с большими характеристичными числами и, следовательно, получить фундаментальную систему с суммой характеристичных чисел большей, чем в рассматриваемой, что противоречит условию.

Допустим, что система уравнений (78.1) подвергнута линейному преобразованию

y=flj(Ox, Ч ... +fl„(Ox„, x, = ft,i(Oyi+ ... -f-„(Oy«.

(78.7)

обладающему следующими свойствами: 1) коэффициенты а, и их производные ограничены; 2) коэффициенты Ь, обратного преобразования также ограничены. Преобразования, обладающие этими свойствами, мы будем называть преобразованиями Ляпунова. При таких преобразованиях коэффициенты qjit) преобразованной системы

=Ь1У1+ +Я.пУп (78.8)

определяемые формулами

"da "

4sj=-baj+ 5] sPaAj (78.9)

а=1 а, Р=1

будут также ограниченными функциями времени.

Теорема 4. Если систему уравнений (78.1) подвергнуть преобразованию Ляпунова, то группа характеристичных чисел преоб разованной системы будет тождественной с группой характеристичных чисел первоначальной.

Доказательство. Пусть (О - какое-нибудь решение системы (78.1). Тогда формулы (78.7) определят решение у{() системы (78.8) из этих формул находим:

-11(0.....у„(01>{х,(0.....х„(01.

так как характеристичные числа ограниченных функций аЩ во всяком случае не менее нуля. С другой стороны, из (78.7) таким же путем находим:

{xi(0.....x„(0}>{yi(0.....уЛО}.

так как функции а {t) также ограничены. Это дает:

ХМ). .... y„())=lxi(0.....х„(0}.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 [108] 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0014