Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 [109] 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

С непрерывными и ограниченными при /0 коэффициентами p,j. Докажем следующую теорему Ляпунова.

Таким образом, каждому решению одной системы соответствует решение другой системы с таким же точно характеристичным числом. Отсюда непосредственно следует, что группа характеристичных чисел одной системы совпадает с группой характеристичных чисел другой системы, что и доказывает теорему.

Допустим, что коэффициенты p,j уравнений (78.1) являются постоянными. Пусть X-корень характеристического уравнения

этой системы. Если кратность этого корня равна I, то ему отвечает I независимых решений этой системы вида

x,i{t) = eP,i{t) (j=l, 2.....I), (78.10)

где P,i - некоторые полиномы относительно t с постоянными коэффициентами. Характеристичное число каждого из решений вида (78.10) равно-Re(?v). Таким же будет и характеристичное число решения, являющегося линейной комбинацией решений (78.10). Отсюда следует, что если решения вида (78.10) построить для каждого корня характеристического уравнения, то полученная фундаментальная система решений будет нормальной. Кроме того, получаем:

Характеристичные числа системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами равны взятым с об ратными знаками вещественным частям корней ее характеристического уравнения.

Если коэффициенты p,j системы (78.1) являются периодическими функциями времени с одним и тем же периодом о), то решения этих уравнений имеют также вид (78.10) с той лишь разницей, что величины X будут являться характеристичными показателями системы, а коэффициенты полиномов Pj будут не постоянными, а периодическими функциями времени, что не влияет на характеристичное число. Поэтому имеем:

Характеристичными числами системы линейных уравнений с периодическими коэффициентами являются взятые с обратными знаками вещественные части ее характеристических показателей.

§ 79. Правильные и неправильные системы.

Пусть Aj.....А.„ - характеристичные числа системы линейных

уравнений

-••• +Р,Л (79.1)



Л(О = А(0) ехр J2]p«.

о i=l

Но, применяя к определителю А теоремы о характеристичном числе суммы и произведения, находим:

z[.o = ;{А1>Я, + Я2+ ... +Ч,

что и доказывает теорему.

Доказанная теорема устанавливает верхний предел для суммы характеристичных чисел системы линейных дифференциальных уравнений. Этот предел, действительно, достигается для многих систем. Это, например, всегда будет иметь место в случае уравнений с постоянными коэффициентами. Действительно, при р, постоянных имеем:

[Pi Pssdt =-Re(/7„+ ... +,„„) = (fl,+ ... +а„),

где Ul - вещественные части корней характеристического уравнения, которые, как было показано в предыдущем параграфе, отличаются лишь знаками от характеристичных чисел.

Можно, однако, привести примеры, когда сумма характеристичных чисел решений не достигает указанного для них в теореме предела. Вот один из таких примеров, указанный Ляпуновым. Система уравнений имеет вид

= Xi cos ln(t-{-1) -(- X2Sinln(4-1),

=XiSinln(+l)--X2C0Sln(4- 1).

Для нее

exp J 2 Pss dt = exp [it-{-1) [sin In {t -f- l)-f-cos In (+ 1)] - 1}. (79.3)

Теорема 1. Сумма 5 = A,,-j- ... характеристичных

чисел системы (79.1) не превосходит характеристичного числа функции.

t п

pfPssdt. (79.2)

о s=\

Доказательство. Пусть Xjy.....х„у(у = 1. 2.....п) - нормальная система решений уравнений (79.1) и \х,\ = А (i) - ее определитель Вронского. Имеем:

t п



Характеристичное число этой функции равно -С другой стороны, эти уравнения имеют фундаментальную систему решений

лгцехр [(/+l)sinln(/--l)], JCi2 = ехр [(t -f 1) cos In (t -f 1)]. JCji = exp [(/ + 1) sin In (/ + 1)], = - exp [(/ + 1) cos In (/ + 1)].

которая, как нетрудно убедиться, является нормальной. Характеристичное число каждого из этих решений равно -1, и следовательно, их cyMiVa менее характеристичного числа функции (79.3).

Системы линейных уравнений, для которых сумма характеристичных чисел равна характеристичному числу функции (79.2) и для которой, кроме того, выполняется условие

-{YPssdt]l = 0, (79.4)

называются, по Ляпунову, правильными.

Система уравнений с постоянными коэффициентами является правильной, так как для нее дополнительное условие (79.4), очевидно, также выполняется.

Если правильную систему подвергнуть линейному преобразованию, удовлетворяющему условиям Ляпунова (§ 78), то преобразованная система будет также правильной.

В самом деле, как было показано в предыдущем параграфе, при такого рода преобразовании характеристичные числа и, следовательно, их сумма не меняются. С другой стороны, если xj--фундаментальная система решений уравнений (79,1), yjif) - соответствующая ей фундаментальная система решений преобразованной системы, D=\aj\ - определитель преобразования, то

\y,j\=D\x,j\, X[\y,j\] = X{\x,j\

(79.6)

так как по свойству преобразования функция D - ограниченная и не исчезающая. Применяя теорему Лиувилля, находим;

.Cgexp fPsdt.

(79.6)

где Cj и Cj - постоянные и q,j - коэффициенты преобразованной системы. Из (79.5) и (79.6) следует, что характеристичное числа



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 [109] 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0021