Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [11] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

§ 12] ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРЕДЫДУЩИХ ТЕОРЕМ 41

НОГО движения, который получился из общих теорем механики, оказался знакоопределенным, что сразу привело к решению задачи. В некоторых случаях общие теоремы механики дают возможность получить первые интегралы, которые сами не являются знакоопре-деленными, но из них удается скомбинировать новый интеграл, уже являющийся знакоопределенным. Таким путем Н. Г. Четаеву ) удалось получить решение важной технической задачи об устойчивости вращательного движения снаряда, к изложению которой мы сейчас и переходим.

При весьма настильной траектории стрельбы можно приближенно считать, что центр тяжести снаряда движется прямолинейно и равномерно. Пусть р - угол, который образует ось снаряда со своей проекцией на вертикальную плоскость стрельбы, а а - угол между этой проекцией и касательной к траектории центра тяжести. Эти два угла, очевидно, вполне определяют положение оси снаряда. Для этих углов имеют место следующие дифференциальные уравнения, установленные А. Н. Крыловым 2):

ЛРН- Ла sin р cos р - Спа cos = eR sin р cos а, Аа cos р - 2ЛаР sin р + Сяр = eR sin а.

(12.2)

Здесь С - аксиальный момент инерции снаряда, А-его момент инерции относительно поперечной оси, проходящей через центр тяжести, п - постоянная проекция угловой скорости вращения снаряда на его ось симметрии, е - расстояние между центром тяжести и центром давления (точкой приложения равнодействующей сил сопротивления воздуха) и R - лобовое сопротивление, которое в силу постоянства скорости центра тяжести снаряда будет также величиной постоянной.

Уравнения (12.2) допускают частное решение:

а = а = р =гр = 0,

которому отвечает винтовое движение снаряда вдоль собственной оси симметрии. Это движение мы примем за невозмущенное. Тогда уравнения (12.2) можно рассматривать как уравнения возмущенного движения. Общие теоремы механики дают для этих уравнений два первых интеграла (интеграл энергии и интеграл момента количества

) Ч е т а е в Н. Г., Устойчивость движения, Гостехиздат, 1946. См. также: Чета ев Н. Г., Об устойчивости вращательных движений снаряда. ПММ, т. X, вып. 1, 1946.

) К р ы л о в А. Н., О вращательном движении продолговатого снаряда во время полета. Собрание трудов, т. IV, Изд-во АН СССР, 1937. Вывод дифференциальных уравнений движения снаряда можно найти также в книге: Лойцянский Л. Г. и Лурье А. И., Курс теоретической механики, т. II, § 153, изд. 4-е, Гостехиздат, 1948.



dt da da dp d ~

= - e/?asin acos P4- cosp (e/? sina - Сяр+ 2Лар sinp) a - - apcospsin p - e/?pcosasin p +

+ p (eR sinp cos a - Ла2 sinp cos p + Crtacos P) = 0

и аналогично

-=0;

dFj dt

это и доказывает, что (12.3) и (12.4) действительно представляют первые интегралы уравнений (12.2). Каждый из этих интегралов не является знакоопределенным. Составим из них новый первый интеграл

V=Fi - >-F2 = const.,

где X - некоторая постоянная, и подберем эту постоянную таким образом, чтобы функция V получилась знакоопределенной (относительно а, а, р и р). Выясним, при каком условии такой выбор постоянной к возможен. Это и будет условием устойчивости. Разлагая функцию V в ряд, будем иметь;

1/ = i { Ла2 4- (Сп1 - eR) р2 + 2Л?.ар) +

+ 4 ИР + ( - ~ 2Л?.ра + . . ., (12.5)

где ненаписанные члены имеют порядок не ниже третьего. Из этого разложения сразу видно, что если каждая из квадратичных форм

Ax{CnX - eR)y±2Alxy (12.6)

будет определенно-положительной, то функция V будет также определенно-положительной. В самом деле, при выполнении указанных условий выражение, стоящее в первой скобке разложения (12.5), будет определенно-положительной квадратичной формой относительно

движения) вида

Fl (а, а, р, Р) = i Л ф2 + а2 cos2 р) + eR (cos а cos р - 1) = const.

(12.3)

/2 (а, а, р, p) = (psina - а cos р sin р cos а)+

4-Ся (cos а cos р-1) = const. (12.4)

Действительно, составляя производные и , в силу уравнений (12.2) будем иметь; dF, dF, , dFi •• , dF, , dF,



limK = oo при х1~оо.

а и р. а выражение, стоящее во второй скобке, будет такой же формой относительно а и р. Но тогда совокупность членов второго порядка в функции V будет определенно-положительной квадратичной формой всех четырех величин: а, а, р и р, и на основании результатов § 7 функция V будет также определенно-положительной.

Таким образом, невозмущенное движение будет устойчиво, если удастся подобрать такое число Я, что обе формы (12.6) будут определенно-положительными, а для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства:

Л > О, /(>.) = А-к - СпХ + е/? < 0.

Первое из этих неравенств выполняется. Что же касается второго, то, поскольку / (0) > О, ему можно будет удовлетворить подходящими значениями л тогда и только тогда, когда уравнение у (А,) = О будет иметь два вещественных не равных между собой корня 1 и В этом случае можно будет взять любое X, заключенное между и

Итак, для устойчивости достаточно, чтобы уравнение f {X) = Q имело простые вещественные корни, т. е. чтобы выполнялось условие

С2я2- AAeR > 0.

Это неравенство дает нижнюю границу угловой скорости вращательного движения снаряда, при которой его ось будет «следить» за касательной к траектории центра тяжести. Ниже будет показано, что при

СЧ" iAeR < О

невозмущенное движение будет неустойчиво.

Пример 3. Устойчивость регулируемых систем. Во многих технических задачах важно, чтобы невозмущенное движение было асимптотически устойчивым и чтобы эта устойчивость имела место при любых начальных возмущениях. Так как функция Ляпунова дает возможность не только установить асимптотическую устойчивость, но и определить область допустимых начальных возмущений, то естественно, что второй метод может быть с успехом применен к решению такого рода технических задач. При этом дело сведется к установлению условий, при которых в рассматриваемой задаче можно будет построить функцию V, удовлетворяющую всем условиям теоремы Бд). Иначе говоря, здесь надо построить функцию V, удовлетворяющую всем условиям теоремы Б при любых значениях переменных л: и еще дополнительному условию



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [11] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0082