Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 [110] 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Pssdt (s=l, 2, n)

стремились к определенным пределам при t->co. Рассмотрим систему

-РиУ1+РпзУп = . (79.8)

сопряженную с (79.1). Имеет место следующая теорема, установленная О. Перроном 1):

Теорема 2. Пусть Х.-С •• - характеристичные

числа системы (79.1), а Hi!>H2> •• Vn - характеристичные числа системы (79.8), ей сопряженной. Для того чтобы система (79.1) была правильной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

K + Vs = (5=1. 2.....п). (79.9)

Доказательство. Докажем сначала достаточность условия. Допустим, следовательно, что выполняются условия (79.9), и дока-

•) Perron О., Die Ordnungszahlen der Differentialgleichungssysteme. Mathem. Zeitschrift, т. 31, 1929.

функции (79.2) также инвариантно относительно рассматриваемого преобразования, что и показывает, что преобразованная система будет также правильной.

Из доказанного предложения вытекает, что всякая система, которая вышеуказанным преобразованием может быть преобразована в систему уравнений с постоянными коэффициентами, т. е. всякая приводимая (§ 54) система является правильной. В частности, на основании результатов § 54 имеем такое предложение:

Всякая система линейных уравнений с периодическими коэффициентами является правильной.

Для общих систем вида (79.1) нет критериев, которые позволяли бы во всех случаях по виду коэффициентов определить, является ли рассматриваемая система правильной или нет. Эта задача решена лишь для уравнений с треугольной матрицей коэффициентов, т. е. для уравнений вида

= PslXx + . . . + PssXs (5=1.2.....п). (79.7)

Для этих уравнений имеет место следующее предложение, установленное Ляпуновым, которое мы здесь приводим без доказательства:

Для того чтобы система вида (79.7) была правильной, необходимо и достаточно, чтобы все функции



жем, что в этом случае система (79.1) является правильной. Пусть 5 = Я,1 -j- ... -+• Я-п и 5 = p,j 4- •. • -- Рп- Применяя к обеим системам теорему 1, получим:

(79.10)

и, следовательно, на основании (79.9)

S / Pss dt

-S/ Pssdt

(79.11)

причем знак равенства возможен лишь тогда, когда оба соотношения (79.10) выполняются со знаками равенства. Но по теореме о характеристичных числах обратных функций

S / Pss dt

откуда вытекает, что соотношение (79.11) и оба соотношения (79.10) выполняются со знаками равенства. Следовательно, обе системы (79.1) и (79.8) являются правильными.

Допустим теперь, что система (79.1) является правильной, и докажем справедливость соотношений (79.9). Рассмотрим с этой целью

какую-нибудь нормальную систему решеш1й Xjy..... x„j (у-1,

2.....га) уравнений (79.1) и пусть А=ху-ее определитель

Вронского. Пусть, далее,

= (79.12)

где Ау-минор элемента x,j определителя А. Покажем, что

dysj dt

= - (РиУ1;+ Р2зУ2]-\- • • • + РпзУп}) {S.J=\,2.....и), (79. 13)

Т. е. что функции уу образуют фундаментальную систему решений уравнений (79.8).

Имеем очевидные тождества

3„Л,=6н (/.у =1.2.....га).

где 6,у - символ Кронекера.



Дифференцируя эти тождества по и учитывая, что функции Xai удовлетворяют уравнениям (79.1), получим:

а, р=1 а=1

dysj

(/. 2.....n). (79.14)

Отсюда однозначно определяются производные

Чтобы по-

казать, что они совпадают с правыми частями (79.13), достаточно, очевидно, проверить, что равенства (79.14) выполняются тожде-dy

ственно, если в них -заменить правыми частями (79.13). Но,

выполняя указанную подстановку, леко убеждаемся, что равенства (79.14) при этом действительно тождественно выполняются. Пусть

ljX[yij.....y„j}.

Применяя к тождеству

теоремы о характеристичных числах суммы и произведения, получаем Но, с другой стороны, те же теоремы дают:

или, так как система (79.1) по условию правильная.

и, следовательно.

Отсюда непосредственно вытекает справедливость (79.9). Кроме того, отсюда находим:

S = ixi+ ... -i-ii„ = -(li+ ... +К) =

( i \

== - х

= Лехр

следовательно, S достигает своего верхнего предела. Поэтому решения (79.12) образуют нормальную систему и величины \Xj действительно являются характеристичными числами системы (79.8). Таким образом, теорема полностью доказана.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 [110] 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0017