Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 [111] 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Допустим, что рассматриваемая система линейных уравнений имеет каноническую форму

(/=1, 2.....га), (79.15)

где H = H(t, Xj.....х„. У).....у„) - квадратичная форма переменных Xj, yj, коэффициенты которой являются непрерывными ограниченными функциями времени. Имеет место следующая теорема, установленная К. П. Персидским).

Теорема 3. Пусть "кк. к2„-характеристичные числа системы (79.15). Для того чтобы эта система была правильной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения

г + 2«-/+1 = 0 (/=1,2.....га). (79.16)

Доказательство. Система (79.15) более подробно запишется следующим образом:

ду дх

Xi+ ... Н-

дУ1 dy

dyidx„ У1+ ••• п

Хп +

dxi дх

X,- ... -

Ух -

dxidx„

дхду

Система, ей сопряженная, есть

(79.17)

dui dt

ду дх.

дх dxi

1+ •••

dxndxi

дт ду ду

и, -

дт ду„ ду

Vx+ .

дхдуп-

(79.18)

Эта система переходит в систему (79.17) при замене на У; и на -Xf. Следовательно, если Ui(t), Vi(t) есть какое-нибудь решение системы (79.18), то функции Xi = - Vi(f), У/ = И;(/) определяют

) П е р с и д с к и й К. П., О характеристичных числах дифференциальных уравнений. Изв. АН Казахской ССР, сер. матем. и мех., вып. 1, 1947.



) Четаев Н, Г., Устойчивость движения. Гостехиздат, 1946.

решение системы (79.17). Но оба эти решения обладают, очевидно, одинаковыми характеристичными числами. Следовательно, группа характеристичных чисел системы (79.15) совпадает с группой характеристичных чисел системы, ей сопряженной. Поэтому необходимые и достаточные условия правильности (79.9) принимают сейчас вид (79.16), что и доказывает теорему.

Доказанная теорема является, очевидно, обобщением теорем §§ 24 и 57.

Если система (79.15) не является правильной, то, как показал Н. Г. Четаев i) и как это вытекает из предыдущих рассуждений, равенства (79.16) заменяются неравенствами

i + Kn-i+i<0 (/=1. 2, «).

Отсюда и из (79.16) вытекает, что если система (79.15) вне зависимости от того, является ли она правильной или нет, обладает полв-жительными характеристичными числами, то она будет обладать также и отрицательными характеристичными числами. Следовательно, справедливо следующее предложение Н. Г. Четаева: для того чтобы для системы (79.15) имела место устойчивость, необходимо, чтобы все ее характеристичные числа равнялись нулю. При этом, как показал Н. Г. Четаев, система (79.15) будет необходимо приводимой.

§ 80. Устойчивость характеристичных чисел систем линейных дифференциальных уравнений.

Результаты предыдущих параграфов показывают, что характеристичные числа систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами играют для них такую же роль, как характеристические показатели для уравнений с периодическими коэффициентами и корни характеристического уравнения для уравнений с постоянными коэффициентами. Эти числа характеризуют порядок роста решений при ->со и имеют поэтому основное значение в вопросах устойчивости. Если все характеристичные числа положительны, то все решения рассматриваемой системы линейных уравнений стремятся к нулю при too п, следовательно, для этих уравнений имеет место асимптотическая устойчивость. Напротив, если хотя бы одно из характеристичных чисел отрицательно, то система допускает неограниченные решения и для нее, следовательно, имеет место неустойчивость.

Таким образом, при решении задачи устойчивости для линейных уравнений с переменными коэффициентами необходимо определить знаки ее характеристичных чисел или, по крайней мере, знак наимень-



= (Psi + Ф,1) X, + .. . + {р„ + ф,„) х„. (80.2)

Коэффициенты p,j и фу предполагаются ограниченными и непрерывными при /0. Пусть Xj>-X2 ... - характеристичные числа системы (80.1) hiXj ... - характеристичные числа системы (80.2). Примем следующее определение:

Определение. Характеристичные числа Х, Х.....Я„

системы (80.1) называются устойчивыми, если для любого сколь угодно малого положительного г можно найти такое положительное число 11(8), что характеристичные числа Xl

шего из них. Эта задача представляет очень большие трудности, и до сих пор нет достаточно эффективных методов ее решения. Мы имеем, конечно, в виду те случаи, когда уравнения не разрешаются в замкнутой форме. С частным случаем этой задачи мы уже встречались в предыдущей главе, где были показаны некоторые приемы приближенного определения характеристических показателей уравнений с периодическими коэффициентами. Наиболее эффективными из этих методов, хотя и имеющими ограниченную область применения, были те, в которых так или иначе применялся малый параметр. Сущность всех этих методов заключается в том, что определение характеристических показателей заданной системы сводят к определению этих величин для другой системы (например, для системы с постоянными коэффициентами), которая мало отличается от заданной и для которой эти величины могут быть определены. При этом используется то обстоятельство, что малое изменение коэффициентов в случае, когда эти коэффициенты периодичны, вызывает малое изменение характеристических показателей.

Это свойство характеристичных чисел уравнений с периодическими коэффициентами не имеет, вообще говоря, места в общем случае уравнений с любыми переменными коэффициентами. Можно привести примеры, когда коэффициенты одной системы уравнений сколь угодно мало отличаются при всех / О от коэффициентов другой системы уравнений и в то же время характеристичные числа одной системы отличаются на конечные величины от характеристичных чисел другой, системы. Таким образом, возникает прежде всего задача о так называемой устойчивости характеристичных чисел систем линейных уравнений. Это понятие может быть определено следующим образом.

Пусть предложена система уравнений с переменными коэффициентами

= PslXx + • • + PsnXn (5=1.2.....п). (80.1)

одновременно с которой мы будем рассматривать другую систему:



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 [111] 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0095