Допустим, что рассматриваемая система линейных уравнений имеет каноническую форму

(/=1, 2.....га), (79.15)

где H = H(t, Xj.....х„. У).....у„) - квадратичная форма переменных Xj, yj, коэффициенты которой являются непрерывными ограниченными функциями времени. Имеет место следующая теорема, установленная К. П. Персидским).

Теорема 3. Пусть "кк. к2„-характеристичные числа системы (79.15). Для того чтобы эта система была правильной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения

г + 2«-/+1 = 0 (/=1,2.....га). (79.16)

Доказательство. Система (79.15) более подробно запишется следующим образом:

ду дх

Xi+ ... Н-

дУ1 dy

dyidx„ У1+ ••• п

Хп +

dxi дх

X,- ... -

Ух -

dxidx„

дхду

Система, ей сопряженная, есть

(79.17)

dui dt

ду дх.

дх dxi

1+ •••

dxndxi

дт ду ду

и, -

дт ду„ ду

Vx+ .

дхдуп-

(79.18)

Эта система переходит в систему (79.17) при замене на У; и на -Xf. Следовательно, если Ui(t), Vi(t) есть какое-нибудь решение системы (79.18), то функции Xi = - Vi(f), У/ = И;(/) определяют

) П е р с и д с к и й К. П., О характеристичных числах дифференциальных уравнений. Изв. АН Казахской ССР, сер. матем. и мех., вып. 1, 1947.

) Четаев Н, Г., Устойчивость движения. Гостехиздат, 1946.

решение системы (79.17). Но оба эти решения обладают, очевидно, одинаковыми характеристичными числами. Следовательно, группа характеристичных чисел системы (79.15) совпадает с группой характеристичных чисел системы, ей сопряженной. Поэтому необходимые и достаточные условия правильности (79.9) принимают сейчас вид (79.16), что и доказывает теорему.

Доказанная теорема является, очевидно, обобщением теорем §§ 24 и 57.

Если система (79.15) не является правильной, то, как показал Н. Г. Четаев i) и как это вытекает из предыдущих рассуждений, равенства (79.16) заменяются неравенствами

i + Kn-i+i<0 (/=1. 2, «).

Отсюда и из (79.16) вытекает, что если система (79.15) вне зависимости от того, является ли она правильной или нет, обладает полв-жительными характеристичными числами, то она будет обладать также и отрицательными характеристичными числами. Следовательно, справедливо следующее предложение Н. Г. Четаева: для того чтобы для системы (79.15) имела место устойчивость, необходимо, чтобы все ее характеристичные числа равнялись нулю. При этом, как показал Н. Г. Четаев, система (79.15) будет необходимо приводимой.

§ 80. Устойчивость характеристичных чисел систем линейных дифференциальных уравнений.

Результаты предыдущих параграфов показывают, что характеристичные числа систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами играют для них такую же роль, как характеристические показатели для уравнений с периодическими коэффициентами и корни характеристического уравнения для уравнений с постоянными коэффициентами. Эти числа характеризуют порядок роста решений при ->со и имеют поэтому основное значение в вопросах устойчивости. Если все характеристичные числа положительны, то все решения рассматриваемой системы линейных уравнений стремятся к нулю при too п, следовательно, для этих уравнений имеет место асимптотическая устойчивость. Напротив, если хотя бы одно из характеристичных чисел отрицательно, то система допускает неограниченные решения и для нее, следовательно, имеет место неустойчивость.

Таким образом, при решении задачи устойчивости для линейных уравнений с переменными коэффициентами необходимо определить знаки ее характеристичных чисел или, по крайней мере, знак наимень-

= (Psi + Ф,1) X, + .. . + {р„ + ф,„) х„. (80.2)

Коэффициенты p,j и фу предполагаются ограниченными и непрерывными при /0. Пусть Xj>-X2 ... - характеристичные числа системы (80.1) hiXj ... - характеристичные числа системы (80.2). Примем следующее определение:

Определение. Характеристичные числа Х, Х.....Я„

системы (80.1) называются устойчивыми, если для любого сколь угодно малого положительного г можно найти такое положительное число 11(8), что характеристичные числа Xl

шего из них. Эта задача представляет очень большие трудности, и до сих пор нет достаточно эффективных методов ее решения. Мы имеем, конечно, в виду те случаи, когда уравнения не разрешаются в замкнутой форме. С частным случаем этой задачи мы уже встречались в предыдущей главе, где были показаны некоторые приемы приближенного определения характеристических показателей уравнений с периодическими коэффициентами. Наиболее эффективными из этих методов, хотя и имеющими ограниченную область применения, были те, в которых так или иначе применялся малый параметр. Сущность всех этих методов заключается в том, что определение характеристических показателей заданной системы сводят к определению этих величин для другой системы (например, для системы с постоянными коэффициентами), которая мало отличается от заданной и для которой эти величины могут быть определены. При этом используется то обстоятельство, что малое изменение коэффициентов в случае, когда эти коэффициенты периодичны, вызывает малое изменение характеристических показателей.

Это свойство характеристичных чисел уравнений с периодическими коэффициентами не имеет, вообще говоря, места в общем случае уравнений с любыми переменными коэффициентами. Можно привести примеры, когда коэффициенты одной системы уравнений сколь угодно мало отличаются при всех / О от коэффициентов другой системы уравнений и в то же время характеристичные числа одной системы отличаются на конечные величины от характеристичных чисел другой, системы. Таким образом, возникает прежде всего задача о так называемой устойчивости характеристичных чисел систем линейных уравнений. Это понятие может быть определено следующим образом.

Пусть предложена система уравнений с переменными коэффициентами

= PslXx + • • + PsnXn (5=1.2.....п). (80.1)

одновременно с которой мы будем рассматривать другую систему: