Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 [112] 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

с непрерывными и ограниченными коэффициентами и мало отличающуюся от нее систему

= (Psi + Ф.1) X, + ... + (Ps„ + Ф.„) х„ (S « 1. 2.....п). (81.2)

Пусть Хр Хз.....Х„ - характеристичные числа системы (81.1)

и Xl, Х2.....Х-характеристичные числа системы (81.2). Обозначим,

далее, через Xij.....x„j (У=1, 2.....re) нормальную систему

решений уравнений (81.1), занумерованную таким образом, что характеристичное число решения xj есть Xj. Кроме этой системы решений.

) Малкин И. Г., О характеристических числах систем линейных дифференциальных уравнений- ПММ, т. XVI, вып. 1, 1962.

системы (80.2) удовлетворяют неравенствам

Я/ -Х/<е (/=1. 2.....ге) (80.3)

при любом выборе функций (pj. удовлетворяющих при >0 неравенствам

к.ДОКл (S. 2.....п). (80.4)

Если характеристичные числа системы (80.1) устойчивы, то неравенства (80.3) останутся в силе, когда неравенства (80.4) выполняются не при tO, а при fT, где Т - сколь угодно большое число. Это непосредственно вытекает из того, что характеристичные числа системы уравнений, определяемые поведением ее решений при ->оо, зависят лишь от вида коэффициентовэтих уравнений при tT.

Отсюда следует, что если характеристичные числа системы (80.1) устойчивы и если

Птф, = 0 (S, У=1, 2.....ге), (80.5)

то характеристичные числа системы (80.2) совпадают с характеристичными числами системы (80.1). Действительно, если выполняется (80.5), то можно выбрать настолько большое Г, чтобы при / >. 7Г неравенства (80.4) выполнялись со сколь угодно малым т]. Следовательно, величина е в неравенствах (80.3) может быть взята сколь угодно малой, что и доказывает, что =

§ 81. Некоторые признаки устойчивости характеристичных чисел систем линейных дифференциальных уравнений).

Рассмотрим снова систему

-PsxXx- -Psnn («=-=1.2.....n) (81.1)



рассмотрим другую фундаментальную систему x,j (t, t) решений уравнений (81.1), определяемую начальными условиями:

x,j (tQ, /о) = sj isj - символ Кронекера) (81.3) (S. 2.....п).

Система решений x,j(t, /д) не будет обязательно нормальной. Характеристичные числа решений x,j-(t, to) обозначим, соответственно, через ру. При этом каждое из чисел р,у равно одному из чисел l.

Допустим, что система (81.1) такова, что при любом положительном Y выполняются неравенства

\x,j(t,tQ)\<Cei->4)(-o). (81.4)

если ty-tQ-O, и неравенства

х,Д/, tQ)\<Ce(-r)i-<•), (81.5)

если 0<;/<;/о- Здесь С - некоторая постоянная, зависящая только от у и не зависящая от tg. Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Если выполняются условия (81.4) и (81.5), то для всякого положительного е можно найти такое у\{г), что характеристичные числа Xl системы (81.2) удовлетворяют неравенствам

lt>h - & (1=1, 2.....re) (81.6)

при любом выборе функций фу, удовлетворяющих при fO неравенствам

\%jii)\<n- (81.7)

Доказательство. 1°. Замена системы (81.2) интегральными уравнениями. Рассмотрим неоднородную систему

=Л11+ •• +ЛЛ + Л(0. (81.8)

где f(t) - некоторые непрерывные функции t. Согласно Коши функции

K(t) = Zi J ""sa ) fa () (81.9)

определяют частное решение этих уравнений. При этом в методе Коши все постоянные йц принято считать одинаковыми, и если положить аа-=а, то функции (81.9) определяют то решение уравнений (81.8), для которого все неизвестные обращаются в нуль при t = a. Однако легко видеть, что функции x(t) будут удовлетворять уравнениям (81.8)



a=l 0=1

- /до 4- S J [.l la (. -f) + • • 4- Psn (0 it- Ц fa () =

a=l a„

n t

==fs(t)-bPslit) J ,„(. f)/„(t)rfT+ ... -I-а=1ац

+ Psn (t) Zi J /a W rft=/ДО + p.ix; -4-... + p,„x;.

a=l a

что и доказывает наше утверждение. Если теперь к peuiennip (81.9) добавить любое частное решение однородных уравнений (81.1), то снова получится решение уравнений (81.8).

Установив это, будем рассматривать в уравнениях (81.2) члены, зависящие от фу, как неоднородную часть уравнений (81.8). Тогда мы можем утверждать, что решение интегральных уравнений п t

Xs it) = Xs„ (О + S J ) ° ("") ( • °)

a=laa

(S= 1. 2.....re).

если оно существует, будет являться решением уравнений (81.2). Здесь а=Фо.1+---+ФаЛ (81-11)

а a = 0 для тех значений а, для которых а и 0 = 00 при

К < К-

Изменяя индекс fe от 1 до ге, мы получим ге решений уравнений (81.2).

2°. Доказательство существования решений интегральных уравнений. Пусть е-сколь угодно малое положительное число. Так как характеристичные числа функций Xs не менее к, то

\Xs,{t)\<Aei-h). (81.12)

при любом выборе постоянных йц, причем некоторые из этих постоянных можно положить равными бесконечности, если только соответствующие интегралы сходятся. В самом деле, непосредственным дифференцированием, принимая во внимание (81.3), находим:

a=l 0=1 а



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 [112] 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.009