Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 [113] 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

где А - некоторая постоянная. Покажем, что интегральные уравнения (81.10) допускают решение, удовлетворяющее неравенствам

x,(Oi < 2Ле("й+) (81Л 3)

если только величина ц в неравенствах (81.7) достаточно мала.

Будем искать решение уравнений (81.10) методом последовательных приближений, полагая

п t

4"> = .*+S P.a( t)/:„(T,x("-)(T)..... x(,"-)(T))rfT.

(81.14)

Покажем, прежде всего, что все приближения удовлетворяют неравенствам

< 2Ае<-к+)\ (81.15)

если т] настолько мало, что выполняется неравенство

АпцС

<1.

(81.16)

что мы и будем предполагать.

В самом деле, неравенства (81.15) во всяком случае выполняются при т = 0. Допустим, что они выполняются для (т - 1)-го приближения, и покажем, что они выполняются также и для т-го приближения.

Пусть а - такой индекс, для которого Р-ц Я, и для которого, следовательно, аа = 0. Тогда, полагая в условиях (81.4) у==-- и принимая во внимание (81.11), будем иметь:

.а( )а Г" •••• x(;-))dX

<

< 2пцАС

jBii,(-*+«)(l ,(*-»°-f))<4mHC(-.,+ e) gjj



При том же значении у, считая е настолько малым, что при Ч > выполняется неравенство

Х,-ц„>2е,

из (81.5) получим, что для значений а, для которых < справедливы оценки i

xit, t)z.(T, л:™-у, x("-))rfT

<

< •- 2nr\AC

2ПЦАС (-t+e)t 4пцАС (-+e)t gjjg

Принимая BO внимание (81.12), (81.17), (81.18) и (81.16), из (-81.14) находим:

UfM < < 2Ле(-*+). (81.19)

Оценим теперь величины x/+J) - л: Пусть Тогда, применяя к равенствам

п I

fxJt. T)L„(T, xf)-"-).....x(,")-x(,"-))dT

оценки (81.17) и (81.18), в которых лишь придется заменить 2А на Р, получим:

-tD-"") < 2£!n£g(-s+0 = Pee(-s+), (81.20)

где на основании (81.16)

е 2

Так как на основании (81.15) и (81.12) во всяком случае

4>-х?<зл*(-*+).



то из (81.20) следует, что

.(m+l)

<злеМ-*+).

Отсюда непосредственно вытекает, что с неограниченным возрастанием т последовательные приближения равномерно стремятся к некоторым функциям fs{t). Так как все последовательные приближения удовлетворяют неравенствам (81.15), то этим же неравенствам удовлетворяют и функции fs{t). Остается показать, что полученные таким образом функции /(0 удовлетворяют уравнениям (81.10). Имеем:

и поэтому t

a=l аа

Правая часть этих неравенств стремится к нулю при т->оо. Следовательно, л t

а=1 а.

л t

= 2 /х„(/, T)L„(T, xW, xW)rft=:

= lim (х(-+»-х,) = Д-х,,,

что и доказывает, что функции f, удовлетворяют уравнениям (81.10).

3°. Оценка характеристичных чисел. Таким образом, мы получили решение уравнений (81.10), которое является в то же самое время решением и уравнений (81.2). Как уже указывалось, изменяя в (81.10) индекс ft от 1 до п, мы получим п решений системы (81.2). Все эти решения образуют фундаментальную систему. Действительно, при / = 0 полученные решения, как это следует из опенок (81.18), будут сколь угодно мало отличаться от решений х, системы (81.1), если только т] достаточно мало, и следовательно, определитель Вронского полученной системы будет при / = О сколь угодно мало отличаться от определителя Вронского системы x,j, который заведомо отличен от нуля.

Обозначим через .....X* характеристичные числа полученной

фундаментальной системы решений уравнений (81.1). Из (81.13)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 [113] 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0139