Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 [114] 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

Если мы теперь рассмотрим нормальную систему решений уравнений (81.2), то она будет отличаться от полученной фундаментальной системы тем, что некоторые решения последней заменены другими решениями с большими характеристичными числами. Следовательно, характеристичные числа Я,,, К, . . •, Я, нормальной системы будут

и подавно удовлетворять неравенствам (81.6).

Таким образом, теорема полностью доказана.

Теорема 2. Если при выполнении условий предыдущей теоремы система (81.1) является правильной, то ее характеристичные числа устойчивы").

Доказательство. По условию теоремы имеем:

, + 2+ ... +К = Х- ехр 2 i PaadtV

а=1 О J

Далее, на основании теоремы 1 § 79

п t п t

1+ • • • Ч-Я.« < А" ехр 2 J раа dt • ехр J фаа dt .

\ а=1 О а=1 о I

Но из (81.7), очевидно, имеем:

ехр 2 J Фс,с,}<«Л.

а=1 О

Кроме того, теорема 4 § 77 дает: xlexp f pdt. ехр f%adt 1 =

a=l О

а=1 О

(п t ( п t

ехр 2 J ехр /ф,

а=1 О J а=1 О

dt\.

так как для правильных систем выполняется условие (79.4). Следовательно,

Х[-Ь • +n<Xi-\- ... +Хп+пц. (81.21)

вытекает, что



Допустим, что характеристичные числа системы

dx, dt

••• + PsnXn (s=l. 2.....п) (82.1)

) См. примечание в конце книги (стр. 525).

2) Б ы л о в Б. Ф., О характеристичных числах решений систем линейных дифференциальных уравнений. ПММ, т. XIV, вып. 4, 1950.

3) Персидский К. П., О характеристичных числах дифференциальных уравнений. Изв. АН Казахской ССР, серия матем. и мех., вып. 1, 1947. Метод, которым мы доказывали теоремы 1 и 2, имеет много общего с методом доказательства К. П. Персидского.

*) Р о 1 п с а г ё А., Sur les equations lineaires aux differentielles ordinai-res et aux differences finies Oeuvres, т. 1, Oautiiier Villars, 1928.

5) Perron O., IJber Sfabilitat und asymptotisciies Verhalten. Atti del Congresso Intern, dei Mat., 1928.

Положим Я,г = Я,г - е + уг- Из (81.6) вытекает, что УсУ-О. Поэтому (81.21) дает yin(e-j-r\) и, следовательно,

Я-(< Я,--(я - Ое+ял-Полученные неравенства вместе с (81.6) и доказывают теорему).

Доказанная сейчас теорема аналогична теореме 2, установленной Б. Ф. Быловым).

Рассмотрим частный случай. Допустим, что коэффициенты p,j являются постоянными. Тогда для системы (81.1) условия (81.4) и (81.5), очевидно, выполняются. И так как система с постоянными коэффициентами является правильной, то мы приходим к следующей теореме, установленной К. П. Персидским З).

Теорема 3. Характеристичные числа системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами всегда устойчивы.

Допустим, что коэффициенты p,j являются постоянными, а коэффициенты фу удовлетворяют условиям

ИтфУ = 0. (81.22)

Тогда, как об этом было указано в предыдущем параграфе, из теоремы 3 непосредственно вытекает справедливость также и следующего предложения:

Теорема 4. Если коэффициенты (f,j являются постоянными и выполняются условия (81.22), то характеристичные числа системы (81.2) совпадают с характеристичными числами системы (81.1).

Эта теорема, установленная при некоторых ограничениях Пуанкаре), в общем виде высказана О. Перроном ).

§ 82. Критерий положительности характеристичных чисел.



) Малкин И. Г., О .чарактеристических числах систем линейных дифференциальных уравнений. ПММ, т. XVI, вып. 1, 1952.

все положительны. Тогда, если выполняются условия теоремы I предыдущего параграфа, характеристичные числа системы

= iPsi + Ф.1) X, + . . . + (р,„ + ф,„) х„ (5=1.2.....п) (82.2)

будут также положительны, по крайней мере, тогда, когда все величины фу(0 не превышают некоторого достаточно малого положительного числа. Знание этого наибольшего предела для функций \(fsjit)\ является, очевидно, для практики наиболее существенным. Одну из оценок этого предела дает нижеследующая теорема), в которой условия теоремы 1 § 81 несколько обобщены, а именно, вместо условий (81.4) и (81.5) мы будел предполагать, что для решений Xsjit, tg) уравнений (82.1), определяемых начальными условиями xjito, to)~bsj, выполняются неравенства

lsjit to)\ <Л1е-«(-») (s, у = 1, 2, ..." я), (82.3)

где и а - некоторые не зависящие от tg положительные

постоянные.

Теорема. Если для уравнений (82.1) выполняются условия (82.3), то характеристичные числа системы (82.2) будут положительны при любом выборе функций %jit), удовлетворяющих при tO неравенствам

\fsj(i)\< (S. У=1. 2..... п), (82.4)

где т-п - наибольшее число членов в каждом из выражений

i X,, it. -с) (ф„,х, + . . . Ч- Ф„„х„). (82.5)

Доказательство. Пусть л:(0-произвольное решение уравнений (82.2) с начальными значениями л:(0) = С, удовлетворяющими неравенствам

С,<1 (s=l, 2.....я). (82.6)

Рассматривая л:(/) как неизвестные, но вполне определенные функции времени, мы из (82.2) находим, что эти функции необходимо удовлетворяют интегральным уравнениям

Xs{t) = CaXsa(t, 0) +

а = 1

п i

+ 2] / ) [Фа11 (t) + ... + Ф„„х„ (т)] dx, (82.7)

а = 1 О



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 [114] 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0019