Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 [115] 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

d - в \ У1 (X - £

где Q - наибольшее значение, принимаемое функциями \<Psj(t)\ на отрезке JO, Г], а т - число членов в выражениях (82.5). Но на

основании (82.4) Q < , и поэтому число е может быть взято

настолько малым, а число Л настолько большим, что будет выполняться неравенство

пМ , mMQ . А + а -е •

Но тогда мы будем иметь:

\хАТ)\ <лe-«

что противоречит предположению, что при t = T хотя бы одно из условий (82.8) будет выполняться со знаком равенства. Таким образом, условия (82.8) будут выполняться при всех / > О, что и доказывает теорему.

Относительно фигурирующей в условиях теоремы величины т. заметим следующее. Эта величина, равная наибольшему числу членов, входящих в каждое из выражений (82.5), не превосходит п. Но она может быть и меньше, чем п. Так, например, если в правую часть

) В отличие от уравнений (81.10) в уравнениях (82.7) все нижние пределы интегрирования приняты равными нулю. Вследствие этого отпадает необходимость в доказательстве существования решения этих уравнений.

которые, следовательно, имеют решение )• Для того чтобы доказать справедливость теоремы, достаточно, очевидно, показать, что найдется такое достаточно большое положительное число А и такое достаточно малое положительное число е, что при всех / > О будут выполняться условия

\хМ<Ае-. (82.8)

Но, считая Л > 1, мы будем на основании (82.6) иметь, что условия (82.8) выполняются при / = 0 со знаками неравенства. Следовательно, эти условия будут выполняться, по крайней мере, при / > О, достаточно малом. Допустим, что эти условия при некоторых значениях t нарушаются. Тогда должен существовать такой момент времени t=:T, при котором впервые хотя бы одно из условий (82.8) выполняется со знаком равенства. Так как при О <; / <; Г условия (82 8) во всяком случае выполняются, то, полагая е < а, из (82.7) на основании (82.6) и (82.3) получим:



) Четаев Н. Г., Устойчивость движения, стр. 194. Гостехиздат, 1946.

каждого из уравнений (82.2) входит только по одному поправочному члену, т. е. если при каждом значении s только одна из функций

Ф1, .....4>sn отлична от нуля, то /к < л. То же самое будет и

в том случае, если при каждом s только одна из функций

xiit, to).....Xs„{t, tg) отлична от нуля. Вообще, если при каждом s

число отличных от нуля функций ф1.....превосходит J9 < л,

а число отличных от нуля функций xi.....х„ не превосходит

9<л, то т. <,рд.

Рассмотрим частный случай. Допустим, что коэффициенты pj являются постоянными. Пусть X - наименьшая из величин Re(-Х, Re(-Х2).....Re(-X,), где Xi - корни характеристического уравнения

\pj-6,jX\=0. (82.9)

Тогда характеристичные числа системы (82.2) будут положительны при выполнении неравенств

fsjii)\<-- (82.10)

В самом деле, в рассматриваемом случае мы можем в условиях (82.3) положить а - Х - г, где г - сколь угодно малое положительное число.

§ 83. Оценка характеристичных чисел методом построения функций .IflnyHOBa.

Рассмотрим снова уравнения (82.1) и (82.2) в предположении, что коэффициенты pj постоянны. В предыдущем параграфе мы указали предел для величин [фДО!- при котором знак наименьшего характеристичного числа системы (82.2) совпадает со знаком наименьшего характеристичного числа системы (82.1). При этом мы предполагали, что указанный знак положителен. Можно указать другой способ оценки интересующего нас предела, который одинаково применим как в случае, когда наименьшее характеристичное число рассматриваемых систем положительно, так и в случае, когда это число отрицательно. Этот способ, предложенный Н. Г. Четаевым, основан на* построении для уравнений (82.1) функции Ляпунова).

Допустим сначала, что все корни характеристического уравнения системы (82.1) имеют отрицательные вещественные части и, следовательно, ее характеристичные числа положительны. Найдем квадратичную форму V {Xi.....X,), удовлетворяющуюуравнению

S (PslXl + • • + PsnXn) = W (Xi.....x„), (83.1)



dt = + S Ж7 1 + • • • + "fsnXn)- (83.2)

Если функции фу (t) таковы, что квадратичная форма

+ S + •. • + %пХп) (83.3)

по-прежнему определенно-положительна, то характеристичные числа системы (82.2) будут положительны. Форма (83.3) будет определенно-положительной, если величины фу(/) достаточно малы, и практически никогда не представляет труда определить верхние пределы для фу(/), при которых знакоопределенность (83.3) сохраняется. Эти пределы будут зависеть от выбранной формы W, чем можно воспользоваться для получения для этих пределов возможно больших значений.

Допустим теперь, что характеристическое уравнение системы (82.1) имеет корни с положительными вещественными частями. Тогда, если равенство

mii-f/«2X2+ ••• +«Д« = 0. (83.4)

где Xi - корни характеристического уравнения, не выполняется ни при каких целых неотрицательных п, .... т.„, связанных соотношением /«]-- mg-f- ... + /«„ = 2, то форма V, удовлетворяющая уравнению (83.1), по-прежнему существует, но она не будет ни определенно-отрицательной, ни знакопостоянной отрицательной. При этом, если форма (83.3) определенно-положительна, то наименьшее характеристичное число системы (82.2) будет отрицательным. Таким образом, и в рассматриваемом случае предел для фу(/), при котором знаки наименьших характеристичных чисел систем (82.1) и (82.2) совпадают, определяется из условия знакоопределенности формы (83.3).

Если существует система целых неотрицательных п, связанных соотношением /«] + ... + /«„ = 2, для которых удовлетворяется равенство (83.4), то можно построить форму V, удовлетворяющую уравнению

(PsiXi- - .. +)Р,Л)==ЯК+1Г(х,.....х„),

гле X-положительное число, W-определенно-положительная форма, и при Этом форма V может принимать положительные значения. Если

где W-некоторая наперед заданная определенно-положительная квадратичная форма. Форма V при этом получится определенно-отрицательной. Если мы теперь составим производную от V по / в силу уравнений (82.2), то будем иметь:

dV , dv



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 [115] 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0017