Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 [116] 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

) Ч е т а е в Н. Г., О наименьшем характеристичном числе. ПММ, т. IX, вып. 2, 1945.

форма (83.3) будет определенно-положительной, то, так же как и в предыдущем случае, наименьшее характеристичное число системы (82.2) будет отрицательным.

Пример. Пусть предложена система

= -гх1 + ф(0х2, = гх2+ф(0х2. (83.5)

где ф(0 - непрерывная функция времени. Полагая 2V = х\-\-х, получим:

z= - - (Я, - ф) 4 + ЩуХ.

Условие знакоопределенности дает: 4Я (Я - ф) > ф2

ф<(1/8-2)Я. (83.6)

Если Я > О, то можно применить оценку предыдущего параграфа. В рассматриваемом случае

xii(0 0) = -*-°. 21 о)=-0,

Xnit. 0) = 0, Х22(0 о) = е-

и, следовательно, /И=1, т = \,п формула (82.10) дает:

ф<Я.

Полученный предел несколько выше даваемого формулой (83.6) и является для рассматриваемого случая наибольшим. В самом деле, при ф = const > Я наименьшее характеристичное число системы (83.5) отрицательно.

Определение знака наименьшего характеристичного числа при помощи функций Ляпунова может быть иногда проведено и при pj переменных. Укажем здесь на один прием, предложенный Н. Г. Четаевым ) и заключающий вышеизложенный как частный случай.

Допустим, что коэффициенты pj в уравнениях (82.1) являются непрерывными и ограниченными функциями t. Допустим, что корни уравнения (82.9), которые теперь являются функциями t, ни при каком > О не связаны соотношением (83.4). Тогда по-прежнему будет существовать квадратичная форма V {t, х,.....х„), коэффициенты которой являются функциями времени, удовлетворяющая уравнению (83.1). Допустим, что коэффициенты pj таковы, что форма

+ W(x,.....х„)



-df = Vi+ ... +;,л + 1х(ф:л+ ... +ф:л) (84.1)

(5=1, 2.....л),

где j9y - постоянные, ф* - ограниченные и непрерывные при ty>0 функции времени, р - малый параметр, характеризующий степень отклонения от системы с постоянными коэффициентами. Мы будем

) См работу автора, цитированную в сноске на сгр. 352.

будет также определенно-положительной. Тогда, если форма V окажется определенно-отрицательной, что будет, например, иметь место, когда при всех достаточно больших значениях t вещественные части всех корней уравнения (82.9) меньше некоторого отрицательного числа, то невозмущенное движение для уравнений (82.1) будет устойчиво и, следовательно, характеристичные числа этих уравнений будут во всяком случае не менее нуля. Если окажется, что при любом / > Г, где Т - достаточно большое положительное число, форма V может принимать положительные значения, и если, кроме того, она допускает бесконечно малый высший предел, т. е. ее коэффициенты являются ограниченными, то невозмущенное движение будет неустойчиво.

§ 84. Применение метода малого параметра.

Результаты предыдущих параграфов показывают, что при практическом определении знака наименьшего характеристичного числа системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами можно последние в некоторых случаях заменить подходящим образом выбранными постоянными. Если при этом отклонения этих коэффициентов от соответствующих им постоянных не превосходят некоторых установленных в предыдущих параграфах пределов, то знак наименьшего характеристичного числа системы с переменными коэффициентами будет совпадать со знаком наименьшего характеристичного числа системы с постоянными коэффициентами. Этот прием не может быть, очевидно, применен в том случае, когда наименьшее характеристичное число системы с постоянными коэффициентами равно нулю. То же самое будет и в том случае, когда указанное наименьшее характеристичное число будет численно очень мало. В этом случае верхние пределы для отклонений коэффициентов сравниваемых систем, даваемые правилами предыдущих параграфов, будут также очень малыми, вследствие чего метод может потерять всякий практический интерес. В этом параграфе мы изложим один прием), который позволяет для широкого класса систем дать практически пригодные оценки наименьшего характеристичного числа для вышеуказанных критических случаев.

Допустим, что рассматриваемая система имеет вид



= /7,,Xi+ ... + PsnXn (84.3)

имеет корни с нулевыми вещественными частями и не имеет корней с положительными вещественными частями. Таким образом, наименьшее характеристичное число системы (84.3) равно нулю. Случай, когда это число отлично от нуля, но очень мало, приводится к рассматриваемому путем отнесения малых поправочных членов к тем членам уравнений (82.1),-которые имеют множителем (х. Для упрощения дальнейших выкладок мы предположим, кроме того, что уравнение (84.2) не имеет кратных корней.

Сущность предлагаемого метода решения задачи состоит в том, что систему (84.1) при помощи подходящим образом выбранного линейного преобразования вида

у, = х,+ (х(/„х,+ ... +Л„х„) (5=1, 2.....л), (84.4)

где fsjit)-некоторые ограниченные и непрерывные при / функции времени, приводят к виду

= Psxyi+ +Л«У« + ((й.1У1+ ••• +

+ (х2(г;,,х,+ ... +%пХп)- (84.5)

Здесь aj - постоянные, а (t) - ограниченные и непрерывные при fO функции времени. Эти функции зависят, вообще говоря, от (х, относительно которого они аналитичны.

Если теперь в системе (84.5) отбросить члены с переменными коэффициентами, то может оказаться, что полученная система с постоянными коэффициентами будет иметь наименьшее характеристичное число, отличное от нуля. Это число будет, конечно, иметь порядок малости р, но в отличие от системы (84.1) порядок малости переменных коэффициентов будет не меньше р, и поэтому к полученной системе могут быть применены методы предыдущих параграфов ).

) Таким образом, сущность метода заключается в повышении порядка малости членов с переменными коэффициентами. Этот метод широко используется в работах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова по нелинейным колебаниям. Для случая периодических коэффициентов этот прием применялся Ляпуновым при решении задачи устойчивости в критических случаях (см. § 67). При этом Ляпунов рассматривал нелинейные уравнения; малыми являлись члены, нелинейные относительно х, и задача сводилась к преобразр-ванию уравнений к такому виду, чтобы переменные коэффициенты были у членов сколь угодно высокого порядка.

предполагать, что характеристическое уравнение

IMl = О (84.2)

системы с постоянными коэффициентами



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 [116] 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0014