Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 [117] 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

<flj {t)dt.

2) Если разность какик-ниЗудь двух корней р и р уравнения (84.2) есть чисто мнимое число ib, то функции

Jф*cosWrf/, <fs\nbtdt о о

ограничены.

Условия 1) выполняются для лю5ых периодических и квазиперпо-дических функций. Для этих ,же функций будут выполняться и условия 2), если только разложения этих функций не содержат «резонирующих» гармоник cosW и smbt.

Мы переходим теперь к определению преобразования (84.4). С этой целью заменим в правой и левой частях уравнений (84.5) величины у их значениями (84.4). Тогда, принимая во внимание (84.1), получим:

ляп п

а=1 а=1 а = 1 а, 3=1

п 1 п \ п / п \

= S /.а Ua + S Uh +11]«.а a + tS /аЦр + (• • •)• а=1 \ Р=1 / а=1 \ Р=1 /

Приравнивая члены с первой степенью р, будем иметь:

PsJak - S PaJsa+sk-U is,k = l,2.....Я). (84.6)

a=l a=l

Мы получили, таким образом, для определения коэффициентов линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Из этих уравнений функции Д, могут быть определены при помощи квадратур. Необходимо, однако, чтобы эти функции вышли ограниченными, и мы сейчас покажем, что при сделанных

Чтобы вышеуказанное преобразование действительно могло быть выполнено, необходимо, чтобы коэффициенты ф*. удовлетворяли следующим условиям:

1) Существуют такие постоянные а, что функции t

j<fl.dt-a/ is, j=U 2.....л)

ограничены. При этом условии, очевидно, имеем:



Здесь р-корни уравнения (84.2). Мы будем предполагать, что такое преобразование было выполнено с самого начала и будем придерживаться прежнего обозначения переменных. Указанное предварительное преобразование не только упрощает выкладки, ной облегчает значительно вычисление коэффициентов Ду, и поэтому егс действительно целесообразно выполнить.

Уравнения (84.1) имеют теперь вид

= 9sXs + (Ф.11 + ... + Ф.„х„), (84.7)

где функции ф являются линейными комбинациями функций ф с постоянными коэффициентами и поэтому удовлетворяют тем же условиям, что и функции ф*.

Уравнения (84.6) имеют теперь следующий простой вид:

= (Р, - Р*) fsk +asu-%k (5, ft = 1, 2.....п). (84.8)

Для того чтобы эти уравнения имели ограниченное решение, положим

%sdt (s == 1, 2.....п)

а„ = 0 (s ф k; S, k=l, 2.....«).

Тогда функции Д, определяемые равенствами

fss = / iss - <Pss)

согласно условиям, которым удовлетворяют фу, будут ограниченными. Покажем, что то же самое будет справедливо и по отношению к функциям Дй(5 Ф k), если в уравнениях (84.8). которым они удовлетворяют, надлежащим образом распорядиться постоянными инте-

допущениях постоянными а, можно так распорядиться, чтобы это обстоятельство действительно имело место.

С этой целью допустим, что система (84.3) при помощи неособенного линейного преобразования с постоянными коэффициентами приведена предварительно к каноническому виду. Так как, по предположению, уравнение (84.2) не имеет кратных корней, то канонический вид системы (84.3) будет следующий:

= РЛ (5=1. 2.....«).



\f,,\<Mesu e-skat = -, (84.11)

если aj > 0. Здесь M - верхний предел функций ф . Из (84.10) и (84.11) вытекает ограниченность функций (84.9) при а =5 0. Ограниченность этих функций при а,/, = О непосредственно вытекает из условия 2), которому удовлетворяют функции ф.

Таким образом, мы действительно можем найти ограниченные функции Д, при которых подстановка (84.4) преобразует систему (84.1) к виду (84.5). При этом входящие в определение функций произвольные постоянные могут быть выбраны по произволу. При р, достаточно малом, определитель подстановки (84.4) превосходит при любом / > О некоторую положительную постоянную, вследствие чего характеристичные числа системы (84.1) совпадают с характеристичными числами системы (84.5).

Выбрав функции f,; и постоянные а, вышеуказанным образом, мы приведем систему (84.7) к виду

= Р,У, + (ха„У, + (х(,.У1+ ••• +ЬпУп)- (84.12)

Допустим, что наименьшее характеристичное число системы

-(Ps + najy, (84.13)

с постоянными коэффициентами отлично от нуля. Тогда на основании теоремы об устойчивости характеристичных чисел систем с постоянными коэффициентами величину р можно всегда выбрать настолько малой, чтобы знак наименьшего характеристичного числа системы (84.12) совпадал со знаком наименьшего характеристичного числа системы (84.13). Оценка верхнего предела для р, может быть

грирования. Действительно, обозначая мы можем положить:

fsk = - (cos sut + i sin J (cos p,t/ - / sin ф, dt,

(84.9)

где a-произвольная постоянная. Эту постоянную мы положим равной нулю при а<:0 и равной схэ при aj > 0. Тогда мы будем иметь:

/,J</MA* г e-S*rf/ = J(l (84.10)

если а.. < О, и



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 [117] 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0077