Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 [118] 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

dx, - J j 2 sin () X] -j- (xxg.

: - ХгЧ- (J-Xi,

(84.15)

где (X > 0. Характеристическое уравнение соответствующей системы с постоянными коэффициентами имеет, с точностью до величин второго порядка, отрицательные корни -(х и -1. Однако методы предыдущих параграфов не дают возможности сделать каких-либо заключений о знаках характеристичных чисел полной системы (84.15), так как эти методы дают пределы для модулей переменных коэффициентов, меньшие модулей корней характеристического уравнения. В рассматриваемом случае переменный коэффициент 2(xsin может вдвое превосходить модуль корня - (х.

Для системы (84.15) уравнения, определяющие коэффициенты преобразования (84.4)

>i = Xi Н- (X (/i,x, + /12X2), I

У2-=Х2+(Х(/2,Х, + /22Х2), J

имеют вид

- - fljl-j- 1 -/Sinf, -22-

dt ~"-l2 dt -

сделана по методам предыдущих параграфов. При этом если эту оценку делать при помощи функций Ляпунова, то после определения коэффициентов fsu можно уже не производить самого преобразования (84.4) и исходить непосредственно из уравнений (84.7). Действительно, функцией Ляпунова для системы (84.12) будет выражение

и следовательно, функцией Ляпунова для системы (84.7) будет выражение

= i (Р„ + (X J (х„ + i /„рХз). (84.14)

При этом верхний предел значений (х определится из условия, что производная от (84.14) в силу уравнений (84.7) является определенно-положительной ).

Пример. Пусть предложена система



§ 84] ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МАЛОГО ПАРАМЕТРА

Эти уравнения имеют такие ограниченные решения /„==2 cos/. /22 = 0. /12=1. /21 = -1.

причем

Подставляя в (84.16) и выполняя преобразование, получим вместо (84.15) следующую систему:

-РУ1 + Р2(11)„У,+Т1312У2).

= - У2 + 1 №21У1 + 1122>2)

(84.17)

il,j2 = X tl + 2 cos /+ р (- 1 + 4cos2 / - sin 2/-f 2 cos /)].

[l-2sin/-p], : [- 1 + p (- 1 + 2 sin / - 2 cos /)],

l + 2p cos/+p2.

Характеристичные числа системы (84.17) будут положительны, если величины plifyl достаточно малы. Для оценки верхнего предела этих величин воспользуемся формулой (82.10). В рассматриваемом случае Я = р. от = 2иЖ=1. Поэтому, для того чтобы характеристичные числа системы (84.17) были положительны, достаточно,

чтобы функции рф, удовлетворяли неравенствам рф.

Грубая оценка показывает, что это во всяком случае будет выполнено, если р <

Примечание. Если коэффициенты фу в преобразованных уравнениях (84.5) обладают такими же свойствами, как и коэффициенты ф*у, то эти уравнения можно подвергнуть такому же преобразованию и получить новые уравнения, у которых переменные коэффициенты будут иметь порядок малости р. Аналогичным образом можно продолжать и дальше. В частности, если коэффициенты фу являются квазипериодическими функциями, то можно построить любое число



364 НЁУСТАНоВИбШИЕСЙ ДВИЖЕНИЯ (гл. V

приближений и привести уравнения (84.1) к виду

где - постоянные. Этот прием использовал И. 3. Штокало ) для установления критериев устойчивости линейных систем с квазипериодическими коэффициентами. Однако И. 3. Штокало не устанавливает пределов для р и ограничивается доказательством, что при р, достаточно малом, невозмущенное движение будет устойчиво, если корни характеристического уравнения системы с постоянными коэффициентами

а=1

имеют отрицательные вещественные части. Более просто и в более общем виде это предложение доказано Н. П. Еругиным ).

В. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ.

§ 85. Теорема об устойчивости по первому приближению.

Мы переходим сейчас к рассмотрению нелинейных уравнений, зависящих явно от , и к установлению условий, при которых задача устойчивости решается совокупностью членов наинизшего порядка в этих уравнениях. В этом параграфе мы будем рассматривать систему вида

Чг-Т{1.....Xn) + %{t- X,.....х„), (85.1)

где ХТ - некоторые не зависящие от t формы от-го порядка (ml) переменных л:,, .. ., х„. Функции зависят также от t. Эти функции определены в области

t>0, л:,<Я, (85.2)

где они непрерывны и удовлетворяют неравенствам

ФД .....х„)<Л(х,+ ... +\х„\Г. (85.3)

) Штокало И.- 3., Критерий устойчивости и неустойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами. Матем. сб., т. 19, № 2, 1946.

2) Е р у г и н И. П., Об асимптотической устойчивости решения некоторой системы дифференциальных уравнений. ПММ, т. XI!, вып. 2, 1948.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 [118] 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0018