Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 [119] 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

§ 85] устойчивбсть по первому приближению 365

причем А - некоторая постоянная. Кроме того, предполагается, что уравнения (85.1) допускают в области (85.2) единственное решение при заданных начальных условиях.

Рассмотрим систему первого приближения

.....н) (85.4)

которая, вообще говоря, нелинейна. При каких условиях устойчивость для уравнений (85.4) обусловливает устойчивость для полной системы (85.1)? Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой ).

Теорема. Если невозмущенное движение для уравнений (85.4) асимптотически устойчиво, то то же самое будет справедливо и для уравнений (85.1) при любом выборе функций ф, удовлетворяющих неравенствам (85.3), если только постоянная А достаточно мала.

Доказательство. На основании теоремы § 73 существует определенно-положительная функция V(Xj, х„), производная которой, составленная в силу уравнений (85.4), т. е. выражение

±ХТ\ (85.5)

есть функция определенно-отрицательная. Рассмотрим в пространстве

переменных Xj.....х„ семейство поверхностей У=:/г>0. При h,

достаточно малом, все эти поверхности замкнуты, окружают начало координат и пересекаются интегральными кривыми уравнений (85.4) снаружи во внутрь. Пусть V = h* одна из этих поверхностей. Обозначим эту поверхность через S. В силу знакоопределенности выражения (85.5) каждая интегральная кривая системы (84.5) пересекает поверхность 5 снаружи во внутрь под углом, превосходящим некоторую положительную величину а.

Соединим радиусами-векторами все точки поверхности 5 с началом координат и уменьшим все эти радиусы-векторы в k раз. Мы получим замкнутую поверхность, окружающую начало координат, подобную поверхности S. Обозначим эту поверхность через 5. Изменяя ft от 1 до О, мы получим семейство такого рода поверхностей 2), стягивающихся при ft = О в начало координат.

Пусть А - какая-нибудь точка поверхности S и - соответствующая ей точка поверхности 5. Так как эти поверхности подобны, то касательные плоскости к ним в точках Л и параллельны. С другой стороны, касательные к интегральным кривым уравнений (85.4)

) М а л к и н И. Г., Теорема об устойчивости по первому приближению. ДАН СССР, т. LXXVI, № 6, 1951.

) Эти поверхности, вообще говоря, пересекаются между собой.



Таким образом, интегральная кривая уравнений (85.4), проходящая через точку Л, пересекает поверхность 5 под таким же углом, под каким интегральная кривая тех же уравнений, проходящая через точку Л, пересекает поверхность 5. Следовательно, так же как и поверхность S, все поверхности 5 пересекаются интегральными кривыми уравнений (85.4) снаружи во внутрь под углами, превосходящими а.

Рассмотрим теперь полную систему уравнений (85.1). Предположим, что величина А в неравенствах (85.3) настолько мала, что во всей области (85.2) поле касательных кинтегральным кривым уравнений (85.1) повернуто относительно поля касательных к интегральным кривым уравнений (85.4) на угол, меньший а. Тогда, очевидно, все интегральные кривые системы (85.1) будут пересекать поверхности 5 снаружи вовнутрь, откуда непосредственно вытекает справедливость теоремы ).

§ 86. Некоторые особенности задачи устойчивости по первому приближению для неустановившихся движений.

Таким образом, если члены наинизшего порядка в уравнениях возмущенного движения не зависят явно от t, то для устойчивости невозмущенного движения достаточно, чтобы для первого приближения имела место асимптотическая устойчивость. Можно показать, что, по крайней мере, при п=2 справедливо и обратное предложение, а именно, невозмущенное движение для уравнений (85.1) будет только тогда устойчиво при любом выборе функций ф, имеющих порядок малости выше от, когда для уравнений первого приближения имеет место асимптотическая устойчивость 2).

Значительно сложнее обстоит дело в случае, когда члены наинизшего порядка в уравнениях возмущенного движения также зависят от t. В этом случае условия асимптотической устойчивости для уравнений первого приближения недостаточно для обеспечения устойчивости для полной системы уравнений. С другой стороны, это условие не является необходимым.

Рассмотрим, например, следующую систему уравнений:

= рх,+ фЛО X,.....х„). (86.1)

) См примечание в конце книги (стр. 528).

2) Г м -оле, эго условие будет необходимым, если функции <fs удовлетворяю! неравенствам (85.3).

В точках л и также параллельны, так как в силу однородности этих уравнений имеем:



к. п. Персидский показалчто, для того чтобы для этой системы уравнений имела место устойчивость при любом выборе функций ф, удовлетворяющих в области (85.2) условию

\%{t. х,..., х„)<Л(х2 + х2Н-...Н-х„2), (86.2) где А - некоторая постоянная, достаточно, чтобы выполнялись условия

t t т

ехр j pdt<B, j ехр j р (т) Л < В, (86.3)

о 0 0

где В-также постоянная. В самом деле, полагая

У, = 5 ехр - J р dt

получим:

ф = ехр

t \

fpdt

о /

откуда

[ t

ys = c,+ J

\~\Р

\ 0

\ / t ф, t 1 \

Vn ехр jpdt

.... у„ ехр fp

(86 4)

где с,- начальные значения величин у, а следовательно, также и величин х.

Пусть е - произвольно малое положительное число. Мы будем предполагать, что

2пА

Выберем Г) согласно условию

Г]<

2В •

(86.5) (86.6)

Тогда, если с <;ri, то при всех />0 будут выполняться неравенства \у,\ <-g-- В самом деле, эти неравенства, выполняясь в начальный момент, будут выполняться и при t, достаточно малом.

) Персидский К. П., К теории устойчивости интегралов систем дифференциальных уравнений. Изв. физ.-матем. об-ва при Казанском гос. ун-те, т. VIII, 1936-1937.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 [119] 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0019