Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [12] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

в качестве примера мы приведем здесь исследование А. И. Лурье условий устойчивости одного класса регулируемых систем. Это исследование послужило отправной точкой для целого ряда других работ, посвященных тому же вопросу.

Как показал А. И. Лурье, широкий класс регулируемых систем с одним регулирующим органом может быть описан системой дифференциальных уравнений вида

dt da dt

= -РЛ + /(о)

(5=1, 2.....n),

(12.7)

Здесь r - вещественная положительная постоянная, суть n различных постоянных с положительной вещественной частью, - также постоянные, а /(а)-некоторая функция от а. Относительно этой функции, являющейся характеристикой сервомотора, предполагается только, что она является непрерывной, переходящей от отрицательных значений при о < О к положительным при о > 0.

Задача заключается в установлении условий, которым должны удовлетворять параметры системы (постоянные и р), при которых состояние равновесия - ... = л:„ = а= О асимптотически устойчиво при любых начальных отклонениях и при любом виде функции /(о), удовлетворяющей вышеуказанным условиям.

А. И. Лурье рассматривал общий случай, когда постоянные и комплексны. Мы. однако, для упрощения изложения ограничимся здесь рассмотрением лишь того случая, когда все постоянные и вещественны. Рассмотрим квадратичную форму

И покажем, что она определенно-положительна. В силу того, что Pj > О, имеем:

Ра + Рр J

И, следовательно.

F(X,.....x„) = f 21 ax.e-i" рр) dX=:f Ifxe А

о а,р=1 О \а=1 /

1) Лурье А. И., Об устойчивости одного класса регулируемых систем. ПММ, т. XV, вып. 5, 1951; Лурье А. И., Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования, Гостехиздат, 1951.



Интеграл, стоящий в правой части, может обратиться в нуль

лишь при таких значениях .....х„, при которых подинтеграль-

ное выражение обращается в нуль. Последнее же, в силу того, что все различны, обращается в нуль только при л:, = ... =х„ = 0. Отсюда непосредственно вытекает знакоопределенность формы F.

Установив это, рассмотрим функцию

V{a. Xj.....х„) =

= f(o)doF{a,x,, aл)-i(Л,x+ ... +Ах1), о

где и - произвольные вещественные постоянные, причем все Л полржительны. При тех условиях, которые мы наложили на функцию /(а), величина

ff(a)da

при всех отличных от нуля значениях а положительна и обращается в нуль при а = 0. Но тогда очевидно, что функция V определенно-положительна относительно переменных х, х„, а, что имеет место при любых значениях этих переменных и при любом выборе функции / (а), удовлетворяющей указанным для нее условиям. Составляя производную от К в силу уравнений (12.7), будем иметь:

а=1 а,р=1 " Р

п г- п

+ г/2(а)-/(а)У д;„ Л„ + р„ +2аа У

откуда, учитывая, что

а,Г=1 +

2] «а

\а=1

получим: dV

\а=1

+ г2/(а)-

Ра + Рр

Так как г > О, то полученное выражение будет, очевидно, определенно-положительным, если коэффициент при /(а) обращается



в нуль. Однако такое условие является слишком ограничительным, dV ,

так как при этом-- будет определенно-положительным при любом г > О, а между тем ясно, что если г достаточно велико, то - получится определенно-положительным, каков бы ни был коэффициент при /(а). Для того чтобы получить более общие условия

знакоопределенности, преобразуем-- к следующему виду:

п -]2 п

dV dt

У aaXa+Vrfio)

а = 1

а=1 8=1

Следовательно, если выполняются условия

= 0,

(12.8)

рР. + Рр

то будет определенно-отрицательной функцией от а, Xj, . .., x„,

и это будет справедливо при любых значениях указанных переменных. Для выполнения дополнительного условия

lim V(Xi.....л:„, а) = оо (л: = х, , . . ., л:„ , а)

j(->oo

достаточно в данном случае, чтобы выполнялось предельное соотношение

(12.9)

>->±со *

Таким образом, мы приходим к следующему предложению: если можно подобрать п положительных постоянных таким образом, чтобы система уравнений (12.8) допускала вещественное решение для а, и если выполнено условие (12.9), то невозмущенное движение для системы (12.7) асимптотически устойчиво при любых начальных возмущениях.

Таким образом, задача нахождения области допустимых значений параметров регулируемых систем, описываемых уравнениями (12.7), сведена к алгебраической задаче определения области изменения коэффициентов системы квадратных уравнений (12.8), при которых эти уравнения допускают вещественное решение. Мы не останавливаемся здесь более подробно на этом вопросе, отсылая читателя к вышеназванным оригинальным работам, где указанный метод успешно применен к решению задачи устойчивости для целого ряда



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 [12] 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0069