Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 [120] 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

\уЛТ)\<Ц+ j ехр[у pdt]dt<-+ о о

= (1 + «Ле)< ±.(1 + 1)

что противоречит условию (Т) 1-=-g-• Таким образом, при всех

>0 будут выполняться неравенства y.s <-g-, а следовательно,

и неравенства < е, что доказывает устойчивость невозмущенного движения для уравнений (86.1).

Но условия (86.3) будут выполнены, если положить

sin t cost -Zt cost d . , ... , ,.

() =-ГТетТ-= -ln(l + cos4).

При таком выборе функции р уравнения первого приближения для системы (86.1) имеют общее решение

1 + 3 COS Ч •

из которого следует, что невозмущенное движение для первого приближения устойчиво, но не асимптотически. В то же время невозмущенное движение для полной системы (86.1) будет по доказанному устойчиво при любом выборе функций ф, удовлетворяющих условиям (86.3). Рассмотрим теперь систему уравнений)

dt--

[sinln(+ l) + cos In {t-\- 1) - 2a] x + xl (86.7)

1<2а<1+1е-". (86.8)

Общее решение уравнений первого приближения имеет вид

х, = се- Хз = С2 ехр [{t + 1) sin In (г + 1) - 2at\.

Это решение не только асимптотически устойчиво, но обладает положительным характеристичным числом. Тем не менее, невоз-

-е2 =

е В

) Perron О.. Die Stabllitatsfrage bei Differentlalgleiciiungen. Mathem. Zeitschrift, T. 32, 1930.

Пусть Т - первый момент времени, при котором хотя бы одна из величин у, пусть это будет Уй, достигает значения Тогда

из (86.4), (86.2), (86.3), (86.5) и (86.6) получим:



-----

«;2 = exp[(+l)sinln (+1) -2а] X

с2 J ехр 1- (т+ 1) sin In (т+ 1)] dr

Полагая -f-1 = е" где га > О - целое число, будем иметь: ехр lit-(- 1) sin In ( -(- 1) - 2а] = е • e(i-2«)(1 -(- ) е-я i > о и следующие опенки:

t (1 + 0

Jexp[-(T-(-l)sinln(T-(-l)]rfT> J exp]-(T-(-l)sinln(T-(-l)]£?T>

(l+t)e ~1 {l + t)e -I

= e~\t+l){e-"-e-)-

Поэтому при указанных значениях t второе слагаемое в выражении для Х2 удовлетворяет неравенству

с2ехр[(+ l)sinln(+ 1) -2а] Jexp [-(т-(- l)sin In (x+l)] dx >

-1(2н.-я)(Дя „)Д1-2«4.-я),

и, следовательно, на основании (86.8) с неограниченным возрастанием t неограниченно возрастает. Первое же слагаемое в выражении Х2 с неограниченным возрастанием t стремится к нулю. И это будет справедливо, каковы бы ни были начальные значения СхфО и Сз величин х и Х2. Таким образом, при любых начальных значениях, при которых Cj Ф О, функция Х2 будет неограниченной и, следовательно, невозмущенное движение неустойчиво.

Приведенные примеры показывают, что если уравнения первого приближения зависят явно от t, то условие асимптотической устойчивости решений этих уравнений не является ни необходимым, ни

мущенное движение для полной системы уравнений (86.7) неустойчиво. Действительно, это общее решение имеет вид



) Четаев Н. Г., Теорема о неустойчивости для правильных систем. ПММ, т. XI!, вып. 5, 1944; Четаев Н. Г., О некоторых вопросах об устойчивости и неустойчивости для неправильных систем. ПММ, т. XII, вып 5, 1948; Четаев Н. Г., Устойчивость движения, Гостехиздат, 1946.

2) См. работу, цитированную на стр. 367.

достаточным для устойчивости невозмущенного движения при любом выборе членов высших, порядков.

Необходимых и достаточных условий устойчивости по первому приближению неустановившихся движений для общего случая не найдено. Установлен, однако, ряд достаточных критериев, которые мы ниже и излагаем. Мы будем при этом заниматься только критериями устойчивости. Критериями неустойчивости по первому приближению занимался Н. Г. Четаев

Мы будем также предполагать, что уравнения первого приближения линейны.

§ 87. Критерий Ляпунова.

Рассмотрим уравнения возмущенного движения вида dx

- = /.11+••• + /.«х„ + фД, .....х„) (87.1)

(5= 1, 2.....п),

где ограничены и непрерывны при 0, и соответствующую систему уравнений первого приближения

Psxx,+ ...+р,,х„. (87.2)

Первым, установившим достаточные условия устойчивости по первому приближению для уравнений вида (87.1), был сам А. М. Ляпунов. При этом Ляпунов предполагал, что функции ф., ограниченные по отношению к t, разлагаются в ряды по степеням переменных X], . . ., х„, начинающиеся членами не ниже второго порядка. Критерий Ляпунова обобщен Э. Коттоном и К. П. Персидским ), наложившими на ф менее ограничительные условия. Мы докажем теорему Ляпунова в предположении, что функции ф. удовлетворяют в области

х,<Я, 0 (87.3)

неравенствам

ФДЛ Хр .... х„)\ <Л{х, + ...+ х„}", (87.4)

где Л и от - положительные числа, из которых второе больше единицы. Кроме того, предполагается, как обычно, что уравнения (87.1) допускают в рассматриваемой области единственное решение при заданных начальных условиях. Наложенные на ф ограничения зна-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 [120] 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0082