Главная - Литература

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 [121] 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

чительно слабее," чем у Э. Коттона, и несколько сильнее, чем у К. П. Персидского.

Критерий Ляпунова выражается следующей теоремой.

Теорема. Если система уравнений, первого приближения (87.2) правильная и если все ее характеристичные числа положительны, то невозмущенное движение для уравнений (87.1) асимптотически устойчиво при любом выборе функций ф, удовлетворяющих в области (87.3) неравенствам (87.4).

Доказательство. Обозначим через x,j(t) нормальную систему

решений уравнений (87.2), а через .....Х„ - ее характеристичные

числа, так что

= Xj

и=и 2,

(87.5)

По условию теоремы все величины Xj положительны. Обозначим далее через x,j{i) фундаментальную систему решений уравнений (87.2), определяемую начальными условиями x,i{0)=bj {b,j - символ Кронекера). Тогда, если

X = min {1.....Х„],

то во всяком случае

X\x,j]>X. (87.6)

Пусть А= \x,j\ -определитель Вронского решений xj, а Д - минор этого определителя, соответствующий элементу xj. Оценим характеристичное число функций Ау/А. Применяя теоремы о характеристичных числах произведения и суммы, получим:

>{д,у}+{4-}>5;--ь+И

Но, так как система (87.2) - правильная, то

А(0)

и, следовательно.

}>-Х,

(87.7)

Из (87.5), (87.6) и (87.7) находим, что при всех г>0 справедливы оценки

Xsjim

(87.8)



где а - сколь угодно малое положительное число, а 1-некоторая постоянная (зависящая от а).

Сделаем теперь в уравнениях (87.1) замену переменных

ys=x,eyt. (87.9)

где Y < - Получим:

= • • • +Psnyn+yys+e"sii. .....е-У%), (87.10)

причем система первого приближения (87.2) перейдет в систему

= Psiyi+ ••+Psnyn + yys- (87.11)

Пусть У.5У (О-фундаментальная система решений уравнений (87.11), определяемая начальными условиями уу(0) = 6у, ysjii) - нормальная система решений этих уравнений, соответствующая системе xj уравнений (87.2), D = yy и Dj - минор определителя D, соответствующий элементу yj. Тогда, очевидно,

~ysj = "Xsj. ysj=-eyXsj, -§i = .-v.. И из (87.8) находим:

у,ДО<бе-""" y,y(0<Se(-V«+v)

(87.12)

Мы будем предполагать, что а настолько мало, что

) a + Y< - + a + Y<0. Рассмотрим неоднородную систему

%- = Р>У1+ ••+Psnyn + yys-\-fs(t).

где Д-произвольные непрерывные функции времени. Частное решение этих уравнений, если его искать по методу вариации произвольных постоянных Лагранжа, имеет вид

Уз= уI

Поэтому общее решение этих уравнений определяется равенствами

t = l (.y = l 0

где с, - начальные значения величин у.

Л (О.

(87.13)



§ 871 КРИТЕРИЙ ЛЯПУНОВА 373

Установив это, рассмотрим произвольное решение yit) уравнений (87.10) с начальными условиями y{t) = yi. На основании (87.13) мы можем писать:

y.(0 = Sy°>"()+

( = 1

+ S УЧ J ft yiW.....eyAt)]dt. (87.14)

= \ 0

Пусть e - произвольное сколь угодно малое положительное число. Мы будем при этом предполагать, что оно настолько мало, что выполняется неравенство

Так как /и > 1, то это будет выполняться при всяком е < А, где h достаточно мало. Выберем теперь 11(6) согласно неравенству

и покажем, что если у°<;т1, то при всех >0 будет \у{Щ < е, т. е. что невозмущенное движение относительно переменных у устойчиво.

В самом деле, пусть t = T - первый момент времени, при котором хотя бы одна из величин у достигает значения е. На всем отрезке [О, Т] на основании (87.4) справедливы оценки

фДЛ e-v<y,(0.....е-УУп{))\ < п"Ае-"Уг".

Поэтому, принимая во внимание (87.12), из (87.14) найдем:

j = \ 0

= йБт1е-+"+ Ч«"+ДЛв" )j ie~" e(-+°+v) J

Так как /и > 1, то а можно выбрать настолько малой, чтобы 2а--у-/иу < 0. Тогда на основании (87.13) показатели степеней в правых частях полученных неравенств будут отрицательны. Поэтому указанные неравенства принимают вид



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 [121] 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174



0.0066